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2014年大纲版全国卷高考理科数学试卷及答案(word版)



2014 年普通高等学校统一考试(大纲) 理科
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设 z ?

10i ,则 z 的共轭复数为( 3?i
B. ?1 ? 3i
2

) D. 1 ? 3i

A. ?1 ? 3i

C. 1 ? 3i

2.设集合 M ? {x | x ? 3 x ? 4 ? 0} , N ? {x | 0 ? x ? 5} ,则 M A. (0, 4] B. [0, 4) C. [?1, 0) D. (?1, 0] ) D. c ? a ? b

N ?(



3.设 a ? sin 330 , b ? cos 550 , c ? tan 350 ,则( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a

4.若向量 a, b 满足: | a |? 1 , (a ? b) ? a , (2a ? b) ? b ,则 | b |? ( A.2 B. 2 C.1 D.



2 2

5.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女 医生组成一个医疗小组,则不 同的选法共有( A.60 种 ) C.75 种 D.150 种

B.70 种

6.已知椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,过 F2 的 2 a b 3


直线交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1 B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 3 2
x ?1

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8


D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

7.曲线 y ? xe A.2e

在点(1,1)处切线的斜率等于( C .2 D.1

B.e

8.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4, 底面边长为 2,则该球的表面积

为( A.

) B. 16? C. 9? D.

81? 4

27? 4

9.已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在 C 上,若 | F1 A |? 2 | F2 A | ,则

cos ?AF2 F1 ? (
A.

) C.

1 4

B.

1 3

2 4

D.

2 3


10.等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3

11.已知二面角 ? ? l ? ? 为 600 , AB ? ? , AB ? l ,A 为垂足, CD ? ? , C ? l ,

?ACD ? 1350 ,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为(
A.



1 4

B.

2 4

C.

3 4

D.

1 2

12.函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? g ( x ) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称, 则 y ? f ( x) 的反 函数是( A. y ? g ( x ) ) B. y ? g ( ? x ) C. y ? ? g ( x ) D. y ? ? g (? x )

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. (

x y 8 ? ) 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 y x

.

? x? y ?0 ? 14.设 x、y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? 4 y 的最大值为 ? x ? 2y ?1 ?
2 2

.

15.直线 l1 和 l2 是圆 x ? y ? 2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为(1,3) ,则 l1 与 l2 的夹角的 正切值等于 .

16.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 (

? ?

, ) 是减函数,则 a 的取值范围是 6 2

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文 字说明、证明过程或演 算步骤.)

17.(本小题满分 10 分)

1 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ? , 3
求 B. 18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 10 , a2 为整数,且 S n ? S 4 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 900 ,

BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 .
(1)证明: AC1 ? A1 B ; (2)设直线 AA1 与平面 BCC1 B1 的距离为 3 ,求二面角 A1 ? AB ? C 的大小.

20. (本小题满分 12 分)

0.5、 0.5、 0.4 ,各人是 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率 分别为 0.6、
否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 21. (本小题满分 12 分)

已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为
2

Q,且 | QF |?

5 | PQ | . 4

(1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的 垂直平分线 l ' 与 C 相较于 M、N 两点, 且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求的方程. 22. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax (a ? 1) . x?a

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 a1 ? 1, an ?1 ? ln(an ? 1) ,证明:

2 3 . ? an ? n +2 n?2


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