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22.1 一元二次方程(录像课件)


人教版数学九年级上册

22.1

一元二次方程

复习旧知 启动思维
1、什么是方程? 2、你已经学过什么方程? 能使方程左右两边相等的未知数的 3、方程的解是如何定义? 值就叫方程的解。

新课探索
问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度 比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部 应设计为多高? A 2-x 分析: AC BC C ? 即 BC2 ? 2 AC BC 2 设雕像下部高xm,于是得方程

x
B

x2 ? 2(2 ? x) 2 ? 2x ? 4 ? 0 x

问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它 的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分 折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒 的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去 多大的正方形? 分析:设切去的正方形的边长为xcm,则盒 底的长 (100-2x)cm , 宽为(50-2x)cm 。 根据方盒的底面积为 3600cm2,得

3600
x
100㎝

50㎝

(100 ? 2 x)(50 ? 2 x) ? 3600
即x
2

? 75 x ? 350 ? 0

问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两 队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件, 赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织 者应邀请多少个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 球队的个数X每个球队的比赛场数=全 个队各赛1场, 部比赛的场数 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛 1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x ? 1) 场. 2 1 x( x ? 1) ? 28 即 x2 ? x ? 56 2

x ? 2x ? 4 ? 0
2

x ? x ? 56
2

x ? 75 x ? 350 ? 0
2

这三个方程都不是一元一次方程。那么这两 个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们有什 么共同特点呢? 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2。

明晰新知
一元二次方程的概念 像这样的等式两边都是整式, 只含有一个未知数 (一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方 程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown) 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2。

一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax ? bx ? c ? 0 的形式,我们把 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形 式。
为什么要限制a≠0,b,c可以为零吗?

a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数

师生互动 巩固新知 1、判断下列方程是否为关于X的一元二次方程?

(1) 3 x ? 2 ? 5 y ? 3

(2) x

2

?4

x?2 2 ?1 ? x (3) x ?1
(4)

x ? 4 ? ( x ? 2)
2

2

2、将下列方程化为一般形式,并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数:

3x( x ? 1) ? 5( x ? 2)
解:3x2-8x-10=0
注意:二次项、二次项系数、一次项、一 次项系数、常数项都是包括符号的 .

3、下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一 元二次方程的是( D )

A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0

4、下面哪些数是方程

x ? x ? 6 ? 0 的根?
2

-4

-3

-2
2

-1

0

1

2

3

4

5、试写出方程 x

? x ? 0 的根,你能写出几个?

0或1
即:平方后是它本身的数是哪些?

例题讲解 提炼方法
? 例1 方程(2a—4)x2 —2bx+a=0, 在什 么条件下此方程为一元二次方程?在什 么条件下此方程为一元一次方程? 解:当a≠2时是一元二次方程; 当a=2,b≠0时是一元一次方程。

例2.当m为何值时,方程

(m ? 1) x

4m

?2

? 27 mx ? 5 ? 0

是关于x的一元二次方程。

解:由一元二次方程的定义可知:
|4m|-2=2 解得m=±1

又m+1≠0

∴m≠-1

综上可得m=1。 二次项的系数非零

拓展延伸

1)若a ? b ? c ? 0, 则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0必有一解为 1 .
2

当x取何值时,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 中 的 a,b,c满足 a ? b ? c ? 0 。

2)根据下表的对应值, 试判断一元二次 方程ax ? bx ? c ? 0的一解的范围是? C?
2

x
2

3.23

3.24

3.25 0.03

3.26 0.07

ax ? bx ? c -0.06 -0.02
A、3<x <3.23 C、3.24<x <3.25

B、3.23<x <3.24 D、3.25<x <3.26

小结与反思
1、这节课你获得了哪些知识与方法? 2、这节课你在解决问题的过程中, 有哪些易错点? 3、这节课你还有哪些疑惑未解决?


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