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江苏省数学竞赛提优教案:第38讲


第十九讲 (组)称之为不定方程(组) 。 通常不定方程(组)问题有三种类型: (1)判断不定方程(组)是否有解; (2)求不定方程(组)的解; (3)计算不定方程(组)的解的个数。 不定方程 我们把未知数的个数多于方程的个数、且未知数受到某些限制(整数、正整数)的方程 本讲主要学习二元一次不定方程(组) 、基本二次型不定方程的解法和处理不定方程问 题的一些常用知识和方法。

A 类例题 例 1.求不定方程 11x+15y=7 的整数解。 分析 注意到(11,15)=1,则存在惟一的一对整数 u,v,使得 11u+15 v=1,x=7u、y=7v 就是方程的一组特解,整数 u,v 可以通过观察试验得到,也可以用转辗相除法求得。若 t 是整数,则 x=7u+15t,y=7v-11t 也是方程的解。可以证明方程 11x+15y=7 的每一个整数解 都能化为这种形式,x=7u+15t,y=7v-11t,(t∈Z)是方程的一般解,称为通解。 解 ∵ (11,15) | 7, ∴ 方程有解。 ∵15=11×1+4,11=4×2+3,4=3×1+1。 ∴ 11×(-4)+15×3=1,即 11×(-28)+15×21=7, 故方程的解为: ? ? x ? ?28 ? 15t , (t 为任意整数) 。 ? y ? 21 ? 11t. 链接 对于二元一次不定方程 ax+by=c, a,b,c∈Z,ab≠0 有下述结论:(1)方程有整数解的充分必要条件是: (a,b) | c; (2)若方程组有一组正整数解 x0,y0,则它的所有正整数解可表示 b ? ? x ? x0 ? (a, b) t , 为: ? (其中 t∈Z) ? a ?y ? y ? t, 0 ? ( a, b) ? ——通常可以在方程两边同时除以(a, b), 使得 x, y 的系数互质。 (3) 若(a,b)=1,且 x0,y0 为不定方程 ax+by=c 的一个解,则方程 的一切解都可以表示成: ? x ? x0 ? bt, ? x ? x0 ? bt, ( t∈Z)。 或? ? y ? y ? at , y ? y ? at . 0 0 ? ? 其中(x0,y0)是方程 ax+by=c 的一个特解,t 是任意整数。 (4) n 元一次不定方程 a1x1+ a2x2+…+ anxn=c(a1,a2,…,an,c∈Z) 有解的充分必要条件是 (a1,a2,…,an) | c。 说明 求不定方程 ax+by=c 的整数解,先看(a,b) | c 是否成立,不成立则方程无 整数解,成立则可以先求方程的一组特解,然后写出方程的通解。 例 2.求不定方程 2x+3y+5z=15 的正整数解。 分析 比例 1 的方程多一个未知数,可以判断方程有整数解,若求方程的整数解,可以 考虑令 w=2x+3y,先求不定方程 w+5z=15 的整数解,再把 w 的每一个值代入 2x+3y = w 求解 方程。一般情况可以参考链接。但这里求的是方程的正整数解,x,y,z 的可取值范围较小, 如 z 只能取 1、2 两个值,可先考虑范围后讨论求解。 解 因为(2,3,5)=1,所以方程有整数解。 令 u=x+2z,得 2u+3y+z=15, 故 z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中 u,y 是任意整数,且 x>0,z>0, 即 5u+6y-30>0,???① 15-2u-3y>0,???② 由上述两式消去 u 得:-3y+15>0, 从而 0<y<5,即 y=1,2,3

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