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高中数学训练题组(选修2-3)含答案


《高中数学训练题组》
(数学选修 2--3) 第一章 计数原理 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( ) A. 81 B. 64 C. 12 D. 14 2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机 各 1 台,则不同的取法共有( ) A. 140 种 B. 84 种 C

. 70 种 D. 35 种 3. 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )
3 A. A3

B. 4 A33

5 3 C. A5 ? A32 A3

2 3 1 1 3 D. A2 A3 ? A2 A3 A3

4. a, b, c, d , e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长, 不同的选法总数是( ) A. 20 B. 16 C. 10 D. 6 5.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( ) A.男生 2 人,女生 6 人 B.男生 3 人,女生 5 人 5 人,女生 3 人 C.男生 D.男生 6 人,女生 2 人.
?x 1 ? 6.在 ? ? 3 ? 的展开式中的常数项是( x? ?2
8



A. 7

B. ?7

C. 28

D. ? 28 )

7. (1 ? 2 x)5 (2 ? x) 的展开式中 x 3 的项的系数是( A. 120 B. ?120
n

C. 100

D. ?100 )

2? ? 8. ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( x ? ?

A. 180

B. 90

C. 45

D. 360

二、填空题 1.从甲、乙,……,等 6 人中选出 4 名代表,那么(1)甲一定当选,共有 种 选法. (2)甲一定不入选,共有 种选法.(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有 种选法. 2. 4 名男生, 4 名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法. 3.由 0,1,3,5, 7,9 这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数. 4.在 ( x ? 3)10 的展开式中, x6 的系数是 .

5.在 (1 ? x2 )20 展开式中,如果第 4r 项和第 r ? 2 项的二项式系数相等, 则r ? , T4r ? .

1

6.在 1,2,3,...,9 的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这样 的四位数有_________________个? 7.用 1, 4,5, x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则 x . ,3 ,7,9 8.从 1 ,5 中任取三个数字,从 0, 2, 4, 6,8 中任取两个数字,组成没有重复数字的五位数, 共有________________个? 三、解答题 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一 次手,共握了多少次手?

(2)高二年级数学课外小组 10 人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的 选法?②从中选 2 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?

(3)有 2, 3, 5, 7,11,13,17,19 八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的 商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?

2. 7 个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头,

(2)甲不排头,也不排尾,

(3)甲、乙、丙三人必须在一起, (4)甲、乙之间有且只有两人,

(5)甲、乙、丙三人两两不相邻,

2

(6)甲在乙的左边(不一定相邻) ,

(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序,

(8)甲不排头,乙不排当中。

4 3 3.解方程 (1) A2 x ? 140 Ax ;

n ?1 n ?1 n n (2)Cn?3 ? Cn?1 ? Cn?1 ? Cn ?2

1? ? 4.已知 ? x 2 ? ? 展开式中的二项式系数的和比 (3a ? 2b)7 展开式的二项式系数的和大 128 , x? ? 1? ? 求 ? x 2 ? ? 展开式中的系数最大的项和系数量小的项. x? ?
n

n

n (1+x)的展开式中,若第 3 项与第 6 项系数相等,且 n 等于多少? 5. (1)在

3

1 ? ? (2) ? x x ? 3 ? 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128 , x? ?

n

则求展开式中二项式系数最大项。

6 . 已 知 ( 2 ?

x35 0) ? a ? a x ? 2 a2 ?? x 0 1

? 是 ?5 0 5其x 中 a0 , a1 , a2 , a5 0 常 数 , 计 算 a 0,

(a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a49 )2

(数学选修 2--3) 第一章 计数原理 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成没有重复数字的五位数, 其中小于 50000 的偶数共有( ) A. 60 个 B. 48 个 C. 36 个 D. 24 个 2. 3 张不同的电影票全部分给 10 个人,每人至多一张,则有 不同分法的种数是( ) A. 1260 B. 120 C. 240 D. 720 3. n ? N 且 n ? 55 ,则乘积 (55 ? n)(56 ? n)? (69 ? n) 等于
55? n A. A69? n 15 B. A69? n

15 C. A55?n

14 D. A69? n

4.从字母 a, b, c, d , e, f 中选出 4 个数字排成一列,其中一定要选出 a 和 b , 并且必须相邻( a 在 b 的前面) ,共有排列方法( )种. 36 72 A. B. C. 90 D. 144 5.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( A. 120 B. 240 C. 280 D. 60



4

6.把 ( 3i ? x)10 把二项式定理展开,展开式的第 8 项的系数是( A. 135 C. ?360 3i
2n



B. ?135 D. 360 3i

1 ? ? 7. ? 2 x ? ? 的展开式中, x2 的系数是 224 , 2x ? ?

1 的系数是( x2 A. 14 B. 28 C. 56 D. 112




8.在 (1 ? x3 )(1 ? x)10 的展开中, x 5 的系数是(



A. ?297 B. ?252 C. 297 D. 207 二、填空题 1. n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果? 2, 9 2.以 1, 3?, 这几个数中任取 4 个数,使它们的和为奇数,则共有 种不同取法. 3.已知集合 S ? ??1,0,1? , P ? ?1, 2,3, 4? ,从集合 S , P 中各取一个元素作为点的坐标,可作出不 同的点共有_____个. 4. n, k ? N 且 n ? k , 若 Ckn?1 : Ckn : Ckn?1 ? 1: 2 : 3, 则 n ? k ? ______.
1 ? ? 5. ? x ? ? 1? 展开式中的常数项有 x ? ?
5

6.在 50 件产品 n 中有 4 件是次品,从中任意抽了 5 件,至少有 3 件是次品的抽法共有 ______________种(用数字作答). 7. ( x ? 1) ? ( x ? 1)2 ? ( x ? 1)3 ? ( x ? 1)4 ? ( x ? 1)5 的展开式中的 x 3 的系数是___________ 8. A ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8,9? ,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题 1.集合 A 中有 7 个元素,集合 B 中有 10 个元素,集合 A ? B 中有 4 个元素,集合 C 满足 (1) C 有 3 个元素; (2) C

A? B

(3) C ? B ? ? , C ? A ? ? 求这样的集合 C 的集合个数.

5

2 97 3 2.计算: (1) C100 ? C100 ? A101 ;

?

?

3 3 3 (2) C3 ? C4 ? ? ? C10 .

(3)

m n Cn ?1 Cn ?m?1 ? n?m Cm Cn n

m m 3.证明: A m ?mAn ?1 ? An?1 . n

4.求 ( x ?

1 ? 2)3 展开式中的常数项。 x

5.从 ??3, ?2, ?1,0,1, 2,3, 4 中任选三个不同元素作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数,问能组 ? 成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

6

6. 8 张椅子排成,有 4 个人就座,每人 1 个座位,恰有 3 个连续空位的坐法共有多少种?

(数学选修 2--3) 第一章 计数原理 [提高训练 C 组] 一、选择题
3 4 1.若 An ? 6Cn ,则 n 的值为(



A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2.某班有 30 名男生, 30 名女生,现要从中选出 5 人组成一个宣传小组, 其中男、女学生均不少于 2 人的选法为( )
2 2 1 A. C30 C20 C46 5 5 5 B. C50 ? C30 ? C20

5 1 4 4 1 C. C50 ? C30C20 ? C30C20

3 2 2 3 D. C30C20 ? C30C20

3. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是(
2 A. C62C4



B.

2 2 C62C4 C2 A3 3

C. 6 A 3 3

3 D. C 6

4.设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ,其中由 3 个元素 组成的子集数为 T ,则 A.

T 的值为( S



20 128 16 128

B. D.

15 128

C.

21 128

5.若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的值为( A. 1 C. 0 B. ?1 D. 2 ) )

6.在 ( x ? y )n 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( A. 13,14 C. 12,13 B. 14,15 D. 11,12,13

7.不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有( A. 3 个 B. 4 个



7

C. 6 个 D. 7 个 8.由 0,1, 2,3,...,9 十个数码和一个虚数单位 i 可以组成虚数的个数为(



A. 100 B. 10 C. 9 D. 90 二、填空题 1.将数字 1, 2,3, 4 填入标号为 1, 2,3, 4 的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与 所填的数字均不同的填法有 种? 2.在△ AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共个点,以这 12 个点为顶 点的三角形有 个. 3.从 0 , 1, 2,3, 4,5, 6 这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数
a , b, c 则可组成不同的函数_______个,其中以 y 轴作为该函数的图像的对称轴的函数有

______个.

?a 9 x? 3 4.若 ? ? ? 的展开式中 x 的系数为 ,则常数 a 的值为 ?x ? 4 2? ?
2 2 2 5.若 C32 ? C4 ? C5 ? ? ? Cn ? 363, 则自然数 n ? _____.

9

.

6.若

1 1 7 ? m ? ,则 C8m ? __________ . m C5 C6 10C7m

7. 0.9915 的近似值(精确到 0.001 )是多少? 8.已知 (1 ? 2 x)7 ? ao ? a1 ? a2 x2 ? ? ? a7 x 7 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 等于多少? 三、解答题 1.6 个人坐在一排 10 个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4 个空位只有 3 个相邻 的坐法有多少种?(3) 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?

2.有 6 个球,其中 3 个黑球,红、白、蓝球各 1 个,现从中取出 4 个球排成一列,共有多少种 不同的排法?

3.求 (1 ? 2x)5 (1 ? 3x)4 展开式中按 x 的降幂排列的前两项.

8

4.用二次项定理证明 C 2 n ? 2 ? 8n ? 9 能被 64 整除 ? n ? N ? .

0 2 n 5.求证: Cn ? 2Cn ? ? ? (n ? 1)Cn ? 2n ? n ? 2n?1 .

6.(1)若 (1 ? x)n 的展开式中, x 3 的系数是 x 的系数的 7 倍,求 n ;

(2)已知 (ax ? 1)7 (a ? 0) 的展开式中, x 3 的系数是 x2 的系数与 x4 的系数的等差中项,求 a ;

(3)已知 (2 x ? xlg x )8 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120 ,求 x .

离散型随机变量解答题精选(选修 2--3) 1. 人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复, 试求下列事件的概率: (1)第 3 次拨号才接通电话; (2)拨号不超过 3 次而接通电话.

9

解:设 Ai ? {第 i 次拨号接通电话}, i ? 1, 2,3 (1)第 3 次才接通电话可表示为 A1 A2 A3 于是所求概率为 P( A1 A2 A3 ) ?

9 8 1 1 ? ? ? ; 10 9 8 10

(2)拨号不超过 3 次而接通电话可表示为: A1 ? A1 A2 ? A1 A2 A3 于是所求概率为

P( A1 ? A 1A 2 A A A2) ? P( A )? P( 1 A ) ? 1 A 2? 3 1

1 9 1 9 8 1 3 P 1A 2A 3? ? ( A ) ? ? ? ? ?. 10 10 9 10 9 8 10

2. 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗到红灯这一事件是相

1 互独立的,并且概率都是 . 3 (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数 ξ 的期望和方差。 解: (1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯,
所以

1 1 1 4 P ? ( 1? ) ( 1 ? ? ? ) . 3 3 3 27 1 ∴ E? ? 6 ? ? 2. 3 1 1 4 D? ? 6 ? ?( 1 ? ) ? . 3 3 3

1 (2)易知 ? ~ B(6, ). 3

3. 奖器有 10 个小球, 其中 8 个小球上标有数字 2 ,2 个小球上标有数字 5 , 现摇出 3 个小球, 规定所得奖金(元)为这 3 个小球上记号之和,求此次摇奖获得奖金数额的数学期望 解:设此次摇奖的奖金数额为 ? 元, 当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时, ? ? 6 ; 当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2 ,1 个标有数字 5 时, ? ? 9 ; 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2 , 2 个标有数字 5 时, ? ? 12 。 所以, P(? ? 6) ?
C83 7 ? 3 C10 15 P(? ? 9) ?
1 C82C2 7 ? 3 C10 15

P(? ? 12) ?

1 2 C8 C2 1 ? 3 C10 15

7 7 1 39 E? ? 6 ? ( ? 9 ? ?1 2 ? ? ) 15 15 15 5

39 元 5 4.某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9 , 数学为 0.8 ,英语为 0.85 ,问一次考试中 (Ⅰ)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (Ⅱ)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解:分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A, B, C , 则 P( A) ? 0.9, P( B) ? 0.8, P(C ) ? 0.85
答:此次摇奖获得奖金数额的数字期望是 (Ⅰ) P( A ? B ? C) ? P( A) ? P(B) ? P(C)
? [1 ? P( A)][1 ? P( B)][1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8)(1 ? 0.85) ? 0.003

10

答:三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003 (Ⅱ) P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) ) (

? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A) ? P(B) ? P(C) ? P( A) ? P( B) ? P(C) ? P( A) ? P( B) ? P(C)
? [1 ? P( A)]P( B) P(C ) ? P( A)[1 ? P( B)]P(C ) ? P( A) P( B)[1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9) ? 0.8 ? 0.85 ? 0.9 ? (1 ? 0.8) ? 0.85 ? 0.9 ? 0.8 ? (1 ? 0.85) ? 0.329 答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329 5.如图, A, B 两点之间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1, 2, 2,3, 4 .现从

中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. (I)设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x ,当 x ? 6 时,则保证信息畅通. 求线路信息畅通的概率; (II)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.

解: (I)?1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6,? P( x ? 6) ?

1 1 1 ? C2 ? C2 1 ? 3 C6 4

5 1 ? 20 4 3 ?1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8,? P( x ? 8) ? 20 2 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 9,? P( x ? 9) ? ? 20 10 1 1 3 1 3 ? P( x ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 20 10 4 ?1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7,? P( x ? 7) ?

(II)?1 ? 1 ? 2 ? 4, P( x ? 4) ?

1 3 ,?1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5, P( x ? 5) ? 10 20

∴线路通过信息量的数学期望

? 4?

1 3 1 1 3 1 ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 6.5 10 20 4 4 20 10

11

答: (I)线路信息畅通的概率是

3 . 4

(II)线路通过信息量的数学期望是 6.5

1 3 3 6.三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作的概率分别为 , , , 将它们中某两个元件并联后再和第三元 2 4 4 件串联接入电路. (Ⅰ)在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? (Ⅱ)三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时 电路图,并说明理由.

解:记“三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,则

1 3 3 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 2 4 4
(Ⅰ)不发生故障的事件为 ( A2 ? A3 ) A1 . ∴不发生故障的概率为

P ? P[( A2 ? A3 ) A1 ] ? P( A1 ? A3 ) ? P( A1 ) 1 ? [1 ? P( A2 ) ? P( A3 )] ? P( A1 ) 1 1 1 15 ? [1 ? ? ] ? ? 4 4 2 32

(Ⅱ)如图,此时不发生故障的概率最大.证明如下: 图 1 中发生故障事件为 ( A1 ? A2 ) A3 ∴不发生故障概率为

P2 ? P[( A1 ? A2 ) A3 ] ? P( A1 ? A2 ) ? P( A3 ) ? [1 ? P( A1 ) ? P( A2 )]P( A3 ) ?
? P2 ? P 1

21 32

图 2 不发生故障事件为 ( A1 ? A3 ) A2 ,同理不发生故障概率为 P3 ? P2 ? P 1 7.要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05 ,而乙机床废品率为 0.1 ,而它们 的生产是独立的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率. 解:设事件 A ? “从甲机床抽得的一件是废品”; B ? “从乙机床抽得的一件是废品”. 则 P( A) ? 0.05, P( B) ? 0.1 (1)至少有一件废品的概率

12

P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 0.95 ? 0.90 ? 0.145 (2)至多有一件废品的概率 P ? P( A ? B ? A ? B ? A ? B) ? 0.05 ? 0.9 ? 0.95 ? 0.1 ? 0.95 ? 0.9 ? 0.995 8.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6 ,被甲或乙解出的 概率为 0.92 , (1)求该题被乙独立解出的概率; (2)求解出该题的人数 ? 的数学期望和方差

解: (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A, B . 设甲独立解出此题的概率为 P1 ,乙为 P2 . 则 P( A) ? P ? 0.6, P( B) ? P2 1
P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? (1 ? P )(1 ? P2 ) ? P ? P2 ? P P2 ? 0.92 1 1 1 ? 0.6 ? P2 ? 0.6 P2 ? 0.92 则0.4 P2 ? 0.32即P2 ? 0.8 (2) P(? ? 0) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 P(? ? 1) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? 0.6 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.44 P(? ? 2) ? P( A) ? P( B) ? 0.6 ? 0.8 ? 0.48

?的概率分布为 :
?
0 0.08

1
0.44

2
0.48

P

E? ? 0 ? 0.08 ? 1 ? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 0.44 ? 0.96 ? 1.4 D? ? (0 ? 1.4) 2 ? 0.08 ? (1 ? 1.4) 2 ? 0.44 ? (2 ? 1.4) 2 ? 0.48 ? 0.1568 ? 0.0704 ? 0.1728 ? 0.4 或利用D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 ? 2.36 ? 1.96 ? 0.4

9.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在 一年内 E 发生的概率为 p , 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十, 公司应要求顾客交多 少保险金? 解:设保险公司要求顾客交 x 元保险金,若以 ? 表示公司每年的收益额,则 ? 是一个 随机变量,其分布列为: ? x x?a p 1? p P 因此,公司每年收益的期望值为 E? ? x(1 ? p) ? ( x ? a) p ? x ? ap . 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,只需 E? ? 0.1a ,即 x ? ap ? 0.1a , 故可得 x ? a( p ? 0.1) . 即顾客交的保险金为 a ( p ? 0.1) 时,可使公司期望获益 0.1a . 10.有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品不能出 厂.已知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是 0.2 . (1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字);

13

(2)求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).
1 解:(1)这批食品不能出厂的概率是: P ? 1 ? 0.85 ? C5 ? 0.84 ? 0.2 ? 0.263 .

(2)五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是:
1 P ? C4 ? 0.2 ? 0.83 ? 0.8 1

五项指标全部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是:
1 P2 ? C4 ? 0.2 ? 0.83 ? 0.2

由互斥事件有一个发生的概率加法可知,五项指标全部检验完毕,才能确定这批
1 产品是否出厂的概率是: P ? P ? P2 ? C4 ? 0.2 ? 0.83 ? 0.4096 . 1

11.高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛. 比赛 规则是:①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛; ②代表队中每名队员至少参加一盘

1 比赛,不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为 . 2 (Ⅰ)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少?
解: (I)参加单打的队员有 A32 种方法.
1 参加双打的队员有 C2 种方法.

1 所以,高三(1)班出场阵容共有 A32 ? C2 ? 12 (种)

(II)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两 盘胜,

1 1 1 1 1 3 所以,连胜两盘的概率为 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8
12.袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. (1)摸出 2 个或 3 个白球 (2)至少摸出一个黑球. 解: (Ⅰ)设摸出的 4 个球中有 2 个白球、 3 个白球分别为事件 A, B ,则
P( A) ? C52 ? C32 3 C 2 ? C1 3 ? , P( B) ? 5 4 3 ? C84 7 C8 7

∵ A, B 为两个互斥事件

∴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ?

6 7

即摸出的 4 个球中有 2 个或 3 个白球的概率为 (Ⅱ)设摸出的 4 个球中全是白球为事件 C ,则
P(C ) ?

6 7

C54 1 ? 至少摸出一个黑球为事件 C 的对立事件 C84 14

14

其概率为 1 ?

1 13 ? 14 14

练习: 1. 抛掷 2 颗骰子,所得点数之和记为 ? ,那么 ? ? 4 表示的随机试验结果为____________。 2. 设某项试验的成功概率是失败概率的 2 倍,用随机变量 ? 描述 1 次试验的成功次数, 则 P(? ? 0) ? _______________。 3.若 ? 的分布列为: 0 1 ? P p q 其中 p ? (0,1) ,则 E? ? ____________________, D? ? ____________________,

数学选修 2-3 第一章 计数原理 [基础训练 A 组] 一、选择题 1.B 每个小球都有 4 种可能的放法,即 4 ? 4 ? 4 ? 64 2.C
1 2 1 分两类: (1)甲型 1 台,乙型 2 台: C4C52 ; (2)甲型 2 台,乙型 1 台: C4 C5

1 2 1 C4C52 ? C4 C5 ? 70

3.C 4.B 5.B

5 3 5 3 不考虑限制条件有 A5 ,若甲,乙两人都站中间有 A32 A3 , A5 ? A32 A3 为所求

1 1 不考虑限制条件有 A52 ,若 a 偏偏要当副组长有 A4 , A52 ? A4 ? 16 为所求

2 1 3 设男学生有 x 人,则女学生有 8 ? x 人,则 Cx C8? x A3 ? 90,

即 x( x ? 1)(8 ? x) ? 30 ? 2 ? 3 ? 5, x ? 3 6.A
1 4 8? r ? r 8? r x 1 1 1 Tr ?1 ? C8r ( )8? r (? 3 )r ? (?1)r ( )8? r C8r x 3 ? (?1) r ( )8? r C8r x 3 2 2 2 x

4 1 6 令 8 ? r ? 0, r ? 6, T7 ? (?1)6 ( )8?6 C8 ? 7 3 2
7.B
3 2 (1 ? 2x)5 (2 ? x) ? 2(1 ? 2 x)5 ? x(1 ? 2 x)5 ? ... ? 2C5 (?2 x)3 ? xC5 (?2 x)2 ? ...

2 3 ? (4C5 ? 16C5 ) x3 ? ... ? ?120 x3 ? ...

8.A

只有第六项二项式系数最大,则 n ? 10 ,
r Tr ?1 ? C10 ( x )10 ? r ( 5 5? r 2 r 5 r 2 ) ? 2r C10 x 2 ,令 5 ? r ? 0, r ? 2, T3 ? 4C10 ? 180 x2 2

二、填空题 1. (1) 10 2. 8640
3 C5 ? 10 ; (2) 5

C54 ? 5 ; (3) 14

4 4 C6 ? C4 ? 14

4 4 4 先排女生有 A64 ,再排男生有 A4 ,共有 A6 ? A4 ? 8640

15

3. 480 4. 1890

1 5 1 5 0 既不能排首位,也不能排在末尾,即有 A4 ,其余的有 A5 ,共有 A4 ? A5 ? 480

4 r Tr ?1 ? C10 x10?r (? 3)r ,令 10 ? r ? 6, r ? 4, T5 ? 9C10 x6 ? 1890x6

15 5. 4, ?C20 x30

4 C2 r0? 1 ? C r ? 01 4 ? 1 r ? ? ? 1 2 , r

2r0 , T 4? 6C ? 1,

1 5 2 0

5 ? x ( 2 ?1?) x C

1 5 2 0

3 0

6. 840 7. 2

2 先排首末,从五个奇数中任取两个来排列有 A52 ,其余的 A72 ,共有 A52 ? A7 ? 840

4 当 x ? 0 时,有 A4 ? 24 个四位数,每个四位数的数字之和为 1 ? 4 ? 5 ? x

2 4 ( ? ? ?5 ? ) 1 4 x

x 288, x ? ;当 2 ? 0 时, 288 不能被 10 整除,即无解

8. 11040

3 5 3 1 4 不考虑 0 的特殊情况,有 C5 C52 A5 ? 12000, 若 0 在首位,则 C5 C4 A4 ? 960,

3 2 5 3 1 4 C5 C5 A5 ? C5 C4 A4 ? 12000 ? 960 ? 11040

三、解答题
2 2 1.解: (1)①是排列问题,共通了 A11 ? 110 封信;②是组合问题,共握手 C11 ? 55 次。

2 2 (2)①是排列问题,共有 A10 ? 90 种选法;②是组合问题,共有 C10 ? 45 种选法。

(3)①是排列问题,共有 A82 ? 56 个商;②是组合问题,共有 C82 ? 28 个积。
6 6 2.解: (1)甲固定不动,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A6 ? 720 种;

1 6 1 6 (2)甲有中间 5 个位置供选择,有 A5 ,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A5 A6 ? 3600 种;

3 (3)先排甲、乙、丙三人,有 A3 ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当

5 5 3 于 5 人的全排列,即 A5 ,则共有 A5 A3 ? 720 种;

2 (4)从甲、乙之外的 5 人中选 2 个人排甲、乙之间,有 A52 ,甲、乙可以交换有 A2 ,

把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于 4 人的全排列,
2 4 则共有 A52 A2 A4 ? 960 种;

4 (5)先排甲、乙、丙之外的四人,有 A4 ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排

3 3 4 这五个空位,有 A5 ,则共有 A5 A4 ? 1440 种;

7 (6)不考虑限制条件有 A7 ,甲在乙的左边(不一定相邻) ,占总数的一半,



1 7 A7 ? 2520 种; 2

(7)先在 7 个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有 A74 ,留下三个空位,甲、乙、丙
16

4 三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即 A7 ? 840

7 6 6 (8)不考虑限制条件有 A7 ,而甲排头有 A6 ,乙排当中有 A6 ,这样重复了甲排头,

5 7 6 5 乙排当中 A5 一次,即 A7 ? 2 A6 ? A5 ? 3720

4 3.解: (1) A2 x ?1

?2 x ? 1 ? 4 ?x ? 3 ? 3 ? 140 Ax ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)2 x(2 x ? 1)(2 x ? 2) ? 140 x( x ? 1)( x ? 2) ?

?x ? 3 ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 35( x ? 2) ? ?x ? 3 ? ? ?x ? N ? 2 ?4 x ? 35 x ? 69 ? 0

得x?3

(2)C

2 n ?3

?C

2 n ?1

1 2 2 1 2 2 ? Cn ?1 ? Cn , Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? Cn ? 2 ? Cn

1 2 Cn ? 2 ? Cn , n ? 2 ?

n(n ? 1) ,n ? 4 2
8

1? 1 ? 4.解: 2n ? 27 ? 128, n ? 8 , ? x 2 ? ? 的通项 Tr ?1 ? C8r ( x2 )8?r (? )r ? (?1)r C8r x16?3r x? x ?

当 r ? 4 时,展开式中的系数最大,即 T5 ? 70 x4 为展开式中的系数最大的项; 当 r ? 3, 或5 时,展开式中的系数最小,即 T2 ? ?56 x7 , T6 ? ?56 x 为展开式中 的系数最小的项。
2 5 5.解: (1)由已知得 Cn ? Cn ? n ? 7

1 3 5 (2)由已知得 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 128,2n?1 ? 128, n ? 8 ,而展开式中二项式

1 系数最大项是 T4 ?1 ? C84 ( x x ) 4 ( 3 ) 4 ? 70 x 4 3 x 2 。 x

6.解:设 f ( x) ? (2 ? 3x)50 ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a50 ? (2 ? 3)50 令 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a50 ? (2 ? 3)50
(a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a49 )2 ?

(a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a50 )(a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a50 ) ? (2 ? 3)50 (2 ? 3)50 ? 1
17

数学选修 2-3 第一章 计数原理 一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.A

[综合训练 B 组]

1 1 3 1 1 3 个位 A2 ,万位 A3 ,其余 A3 ,共计 A2 A3 A3 ? 36

3 相当于 3 个元素排 10 个位置, A10 ? 720

15 从 55 ? n 到 69 ? n 共计有 15 个正整数,即 A69? n

2 3 从 c, d , e, f 中选 2 个,有 C4 ,把 a , b 看成一个整体,则 3 个元素全排列, A3

2 3 共计 C4 A3 ? 36

5.A

1 先从 5 双鞋中任取 1 双,有 C5 ,再从 8 只鞋中任取 2 只,即 C82 ,但需要排除

1 4 种成双的情况,即 C82 ? 4 ,则共计 C5 (C82 ? 4) ? 120

6.D 7.A

7 T8 ? C10 ( 3i)3 (? x)7 ? 360 3ix7 ,系数为 360 3i

r Tr ?1 ? C2n (2x)2n?r (

1 r r ) ? 22n?r C2n x2n ?2r ,令 2n ? 2r ? 2, r ? n ? 1 2x
C83 ?2 14 x ? 2 4 x

n? n? 则 22 C2n 1 ? 224, C2n 1 ? 56, n ? 4 ,再令 8 ? 2r ? ?2, r ? 5, T6 ?

8.D

5 2 (1 ? x3 )(1 ? x)10 ? (1 ? x)10 ? x3 (1 ? x)10 ? (C10 ? C10 ) x5 ? ... ? 207 x5 ? ...

二、填空题 1. 2n 2. 60 3. 23 4. 3 5. ? 51 每个人都有通过或不通过 2 种可能,共计有 2 ? 2 ? ... ? 2(n个2) ? 2n
1 3 3 1 四个整数和为奇数分两类:一奇三偶或三奇一偶,即 C5C4 ? C5 C4 ? 60

1 1 2 ,其中 (1,1) 重复了一次 C3 C4 A? 1 ? 2 3 2

n ? 1 ,k ? 2

1 ? ? ( x ? )? x ?
'

1 1 ? 1 的通项为 Cr5 ( x ? )5?r (?1)r , 其中 ( x ? )5? r 的通项为 ? x x ?
' ' '

5

r r r C5?r x5?r ?2r ,所以通项为 (?1)r C5 C5?r x5?r ?2r ,令 5 ? r ? 2r ' ? 0

得 r' ?

5?r ,当 r ? 1时, r ' ? 2 ,得常数为 ? 30 ;当 r ? 3 时, r ' ? 1 ,得常数为 ? 20 ; 2

当 r ? 5 时, r ' ? 0 ,得常数为 ?1 ;??30 ? (?20) ? (?1) ? ?51 6. 4186
3 2 4 1 3 件次品,或 4 件次品, C4 C46 ? C4 C46 ? 4186

18

7. 15

原式 ?

( x ? 1)[1 ? ( x ? 1)5 ] ( x ? 1) ? ( x ? 1)6 ? , ( x ? 1)6 中含有 x4 的项是 1 ? ( x ? 1) x

2 C6 x4(? 1 )2? 1 5,所以展开式中的 x 3 的系数是 15 x4

8. 105

直接法:分三类,在 4 个偶数中分别选 2 个, 3 个, 4 个偶数,其余选奇数,
2 3 3 2 4 1 5 5 4 1 C4 C5 ? C4 C5 ? C4 C5 ? 105 ;间接法: C9 ? C5 ? C5 C4 ? 105

三、解答题 1.解: A ? B 中有元素 7 ? 10 ? 4 ? 13
3 3 3 C13 ? C6 ? C3 ? 286 ? 20 ? 1 ? 265 。

2 3 3 3 3 2.解: (1)原式 ? (C100 ? C100 ) ? A101 ? C101 ? A101 ?

3 A101 1 3 ? A101 ? 1 ? A33 ? 。 3 A3 6

3 4 4 4 4 4 4 4 (2)原式 ? C3 ? C5 ? C4 ? C6 ? C5 ? ? ? C11 ? C10 ? C11 ? 330 。

4 3 3 3 3 3 另一方法: 原式 ? C4 ? C4 ? C5 ? ? ? C10 ? C5 ? ?C10

4 3 3 4 3 4 ? C6 ? C6 ? ? ? C10 ? ? ? C10 ? C10 ? C11 ? 330

(3)原式 ? 3.证明:左边 ?
?

m m m Cn ? Cn ?1 Cn ?1 C m ?1 C m ?1 ? m ? 1? n m ? nm ? 1 Cm Cn Cn Cn n

n! m ? n! (n ? m ? 1) ? n !? m ? n ! ? ? (n ? m)! (n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)!

(n ? 1)! m ? An ?1 ? 右边 [(n ? 1) ? m]!

所以等式成立。 4.解: ( x ?

(1 ? x ) 1 3 3 ,在 (1 ? x )6 中, x 的系数 C6 (?1)3 ? ?20 ? 2)3 ? 3 x x
6

就是展开式中的常数项。 另一方法: 原式 ? ( x ?
1 x
3 )6 , T4 ? C6 (?1)3 ? ?20

5.解:抛物线经过原点,得 c ? 0 , 当顶点在第一象限时, a ? 0, ?
?a ? 0 b 1 1 ? 0,即 ? ,则有 C3C4 种; b?0 2a ? ?a ? 0 b 2 ? 0,即 ? ,则有 A4 种; b?0 2a ?

当顶点在第三象限时, a ? 0, ?

1 1 2 共计有 C3C4 ? A4 ? 24 种。

19

4 6.解:把 4 个人先排,有 A4 ,且形成了 5 个缝隙位置,再把连续的 3 个空位和 1 个空位

4 当成两个不同的元素去排 5 个缝隙位置,有 A52 ,所以共计有 A4 A52 ? 480 种。

数学选修 2-3 第一章 计数原理 [提高训练 C 组] 一、选择题 n! n! ? 6? , n ? 3 ? 4, n ? 7 1.B (n ? 3)! ( n ? 4)!? 4! 2.D
2 3 3 2 男生 2 人,女生 3 人,有 C30C20 ;男生 3 人,女生 2 人,有 C30C20

2 3 3 2 共计 C30C20 ? C30 C20

3.A 4.B

2 2 2 甲得 2 本有 C62 ,乙从余下的 4 本中取 2 本有 C4 ,余下的 C2 ,共计 C62C4

含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ? 210 ,由 3 个元素组成的子集数 3 T C10 15 3 为 T ? C10 , ? 10 ? S 2 128
(a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )

5.A

? (2 ? 3)4 ? (2 ? 3)4 ? 1
6.D 分三种情况: (1)若仅 T7 系数最大,则共有 13 项, n ? 12 ; (2)若 T7 与 T6 系数相 等且最大,则共有 12 项, n ? 11 ; (3)若 T7 与 T8 系数相等且最大,则共有 14 项,
n ? 13 ,所以 n 的值可能等于 11,12,13

7.D

1 四个点分两类: (1)三个与一个,有 C4 ; (2)平均分二个与二个,有

C 42 2

1 共计有 C4 ?

8.D

C42 ?7 2 复数 a ? bi,(a, b ? R) 为虚数,则 a 有 10 种可能, b 有 9 种可能,共计 90 种可能

二、填空题 1. 9
1 分三类:第一格填 2 ,则第二格有 A3 ,第三、四格自动对号入座,不能自由排列;

1 第一格填 3 ,则第三格有 A3 ,第一、四格自动对号入座,不能自由排列;

1 第一格填 4 ,则第撕格有 A3 ,第二、三格自动对号入座,不能自由排列;

1 共计有 3 A3 ? 9

2. 165 3. 180,30

C13 2 ? C 36? C 3? 165 7
1 1 1 2 a ? 0 , C6C6C5 ? 180 ; b ? 0, A6 ? 30

20

4. 4

3r ?9 a x 2 3r Tr ?1 ? C9r ( )9 ? r (? ) r ? (?1) r ( ) r a 9 ? r C9r x 2 ,令 ? 9 ? 3, r ? 8 x 2 2 2

(?1)8 (

2 8 8 9 9 ) aC9 ? a ? , a ? 4 2 16 4
2

5. 13

3 2 2 2 2 2 2 C3 ? C 3 ? C 4? C ? ? ? Cn ? 3 6 3 C, ? 3 ?4C ? ? ? Cn ? ? 1 4C 5 5

364,

3 2 2 3 C5 ? C5 ? ? ? Cn ? ... ? Cn?1 ? 364, n ? 13

6. 28

5! ? m ! ( 5 m ) !m ?

6! 7 7! 2 ? ? , m ? 2 m ? 4? 3 2 ! (m ? 6 ) ! m 0 ?m!( 7 1 )!

0

而 0 ? m ? 5 ,得 m ? 2, C8m ? C82 ? 28 7. 0.956
0.9915 ? (1 ? 0.009)5 ? 1 ? 5 ? 0.009 ? 10 ? (0.009)2 ? ... ? 1 ? 0.045 ? 0.00081 ? 0.956

8. ?2

设 f ( x) ? (1 ? 2 x)n ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (1 ? 2)7 ? ?1 令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 , a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?1 ? a0 ? ?2

三、解答题
6 1.解: 6 个人排有 A6 种, 6 人排好后包括两端共有 7 个“间隔”可以插入空位.

(1)空位不相邻相当于将 4 个空位安插在上述 7 个“间隔”中,有 C74 ? 35 种插法,
6 故空位不相邻的坐法有 A6 ? 7 ? 25200 种。 C4

(2)将相邻的 3 个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往 7 个“间隔”里插
6 2 有 A72 种插法,故 4 个空位中只有 3 个相邻的坐法有 A6 A7 ? 30240 种。

(3) 4 个空位至少有 2 个相邻的情况有三类: ① 4 个空位各不相邻有 C74 种坐法;
1 ② 4 个空位 2 个相邻,另有 2 个不相邻有 C7 C62 种坐法;

③ 4 个空位分两组,每组都有 2 个相邻,有 C72 种坐法.
6 4 1 2 2 综合上述,应有 A6 (C7 ? C7C6 ? C7 ) ? 118080 种坐法。

4 2.解:分三类:若取 1 个黑球,和另三个球,排 4 个位置,有 A4 ? 24 ;

若取 2 个黑球,从另三个球中选 2 个排 4 个位置, 2 个黑球是相同的,
2 2 自动进入,不需要排列,即有 C3 A4 ? 36 ;

若取 3 个黑球,从另三个球中选 1 个排 4 个位置, 3 个黑球是相同的,

21

1 1 自动进入,不需要排列,即有 C3 A4 ? 12 ;

所以有 24 ? 36 ? 12 ? 72 种。 3.解: (1 ? 2x)5 (1 ? 3x)4 ? ?(2 x ? 1)5 (3x ? 1)4
1 1 ? ?[(2 x)5 ? C5 (2 x)4 ? ...][(3x)4 ? C4 (3x)3 ? ...]

? ?(32x5 ? 80x4 ? ...)(81x4 ? 108x3 ? ...)
? ?(2592 x9 ? 81 ? 80 x8 ? 32 ? 108 x8 ? ...) ? ?2592 x9 ? 3024 x8 ? ...

4.解: 32n? 2 ? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9
0 1 n ?1 n n ?1 ? Cn ?1 8n ?1 ? Cn ?1 8n ? ? ? Cn ?1 82 ? Cn ?1 8 ? Cn ?1 ? 8n ? 9 0 1 n ?1 ? 64(Cn ?1 8n ?1 ? Cn ?1 8n ? 2 ? ? ? Cn ?1 ) ? 8(n ? 1) ? 1 ? 8n ? 9 0 1 n ?1 ? M ? 64(记M ? Cn ?1 8n ?1 ? Cn ?1 8n ? 2 ? ? ? Cn ?1 )

? M 为整数 ,? 64M 能被64整除.
0 1 2 n 5.证明: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? (n ? 1)Cn

0 1 2 n 1 2 n ? (Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ) ? (Cn ? 2Cn ? ... ? nCn )

1 2 n ?1 ? 2n ? n(1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ... ? Cn ?1 )

? 2n ? n ? 2n ?1
3 1 6.解: (1) Cn ? 7Cn ,

n(n ? 1)(n ? 2) ? 7n, n2 ? 3n ? 40 ? 0,由n ? N * ,得n ? 8 ; 6

5 3 4 (2) C7 a2 ? C7 a4 ? 2C7 a3 ,21a2 ? 35a4 ? 70a3 , a ? 0

得 5a 2 ? 10a ? 3 ? 0 ? a ? 1 ?

10 ; 5

(3) C84 (2 x)4 ( xlg x )4 ? 1120, x4(1?lg x) ? 1,lg2 x ? lg x ? 0 得 lg x ? 0 ,或 lg x ? ?1 所以 x ? 1, 或x ?

1 。 10

22


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新课标高中数学测试题组(选修2-3)

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