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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:2.3.2 事件的独立性


2.3.2

事件的独立性 ?限时15分钟?

双基达标

1 2 1.已知 A、B 是相互独立事件,且 P(A)=2,P(B)=3,则 P(A B )=________; P( A B )=________. 解析 1 1 P(A)=2,∴P( A )=2,

1 P( B )=1-P(B)=3.

∵A、B 相互独立,∴A 与 B , A 与 B 也相互独立, 1 ∴P(A B )=P(A)· P( B )=6, 1 ∴P( A B )=P( A )· P( B )=6. 答案 1 6 1 6

2.下列事件 A、B 是相互独立事件的是________. ①一枚硬币掷两次,事件 A 表示“第一次为正面”,事件 B 表示“第二次为 反面” ②袋中有 2 白,2 黑的小球,不放回的摸两球,事件 A 表示“第一次 摸到白球”,事件 B 表示“第二次摸到白球” ③掷一枚骰子,事件 A 表示 “出现的点数为奇数”,事件 B 表示“出现的点数为偶数” ④事件 A 表示 “人能活到 20 岁”,事件 B 表示“人能活到 50 岁” 答案 ①

3.将一枚硬币连续抛掷 5 次,5 次都出现正面朝上的概率是________. 解析 答案 1 1 ?1? 每一次出现正面朝上的概率为2,且它们相互独立,所以 P=?2?5=32. ? ? 1 32

4.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次 16 的概率为25,则该队员每次罚球的命中率为________. 解析 设该队员每次罚球的命中率为 p(其中 0<p<1),则依题意有 1-p2=
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16 9 3 2 , p = . 又 0 < p < 1 ,因此有 p = 25 25 5. 答案 3 5

1 1 5.有一道数学难题,在半小时内甲能解决的概率是2,乙能解决的概率为3,两 人试图独立地在半小时解决,则两人都未解决的概率为________. 解析 答案 1? ? 1? 1 ? 都未解决的概率为?1-2?×?1-3?=3. ? ? ? ? 1 3

6.设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5.三人各向 目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率. 解 设 Ak 表示“第 k 人命中目标”,k=1,2,3.

这里,A1,A2,A3 独立,且 P(A1)=0.7,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5. 从而,至少有一人命中目标的概率为 1-P( A 1·A 2·A 3)=1-P( A 1)P( A
2)P(

A 3)=1-0.3×0.4×0.5=0.94.

恰有两人命中目标的概率为 P(A1· A2·A 3+A1·A 2· A3+ A 1· A2· A3) =P(A1· A2·A 3)+P(A1·A 2· A3)+P( A 1· A2 · A3) =P(A1)P(A2)P( A 3)+P(A1)P( A 2)P(A3)+ P( A 1)P(A2)P(A3)=0.7×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5=0.44. ∴至少有一人命中目标的概率为 0.94,恰有两人命中目标的概率为 0.44.

综合提高

?限时30分钟?

7.在一次数学考试中,第 14 题和第 15 题为选做题.规定每位考生必须且只须 1 在其中选做一题.设 4 名考生选做这两题的可能性均为2.则其中甲、乙两名 学生选做同一道题的概率为________. 解析 设事件 A 表示“甲选做第 14 题”,事件 B 表示“乙选做第 14 题”, B ”,且事件 A、B 相

则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“AB+ A

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互独立 ∴P(AB+ A B )=P(A)P(B)+P( A )P( B )

1? ? 1? 1 1 1 ? =2×2+?1-2?×?1-2?=2. ? ? ? ? 1 ∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为2. 答案 1 2

8.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8,0.6,0.5,则三 人都达标的概率为________,三人中至少有一人达标的概率为________. 解析 每个人是否达标是相互独立的,“三人中至少有一人达标”的对立事

件为“三人均未达标”,设三人都达标为事件 A,三人中至少有一人达标为 事件 B,则 P(A)=0.8×0.6×0.5=0.24,P(B)=1-0.2×0.4×0.5=0.96. 答案 0.24 0.96

9.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回 答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的 概率都是 0.8, 且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问 题就晋级下一轮的概率等于________. 解析 此选手恰好回答 4 个问题就晋级下一轮,说明此选手第 2 个问题回答

错误,第 3、第 4 个问题均回答正确,第 1 个问题答对答错都可以.因为每 个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为 1×0.2×0.82=0.128. 答案 0.128

1 10.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为5,身体关节 1 构造合格的概率为 4 ,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是 ________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响). 解析 1? ? 1? 3 ? 两项都不合格的概率为 P=?1-5?×?1-4?=5, ? ? ? ?

3 2 ∴至少有一项合格的概率是 1-5=5. 答案 2 5
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11.某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不 合格”,两部分考核都是“合格”,则该课程考核“合格”,若甲、乙、丙 三人在理论考核中合格的概率分别为 0.9,0.8,0.7, 在实验考核中合格的概率分 别为 0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响. (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率; (2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数). 解 记“甲理论考核合格”为事件 A1,“乙理论考核合格”为事件 A2,“丙

理论考核合格”为事件 A3, 记事件 A i 为 Ai 的对立事件, i=1,2,3.记“甲实验 考核合格”为事件 B1,“乙实验考核合格”为事件 B2,“丙实验考核合格” 为事件 B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C,记 C 为事件 C 的对立事件, P(C)=P(A1A2A3+A1A2 A3 +A1 A2 A3+ A1 A2A3) =P(A1A2A3)+P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3) =0.9×0.8×0.7+0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7=0.902. 所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902. (2)记“三个人该课程考核都合格”为事件 D. P(D)=P[(A1· B1)· (A2· B2)· (A3· B3)] =P(A1· B1)· P(A2· B2)· P(A3· B3) =P(A1)· P(B1)· P(A2)· P(B2)· P(A3)· P(B3) =0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254. 所以,这三个人该课程考核都合格的概率为 0.254. 12.如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能 通过 T1,T2,T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各 元件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999.

(1)求 p; (2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率.
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记 Ai 表示事件:电流能通过 Ti,i=1,2,3,4.A 表示事件:T1,T2,T3 中至

少有一个能通过电流.B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过. (1) A = A 1·A 2·A 3,A1,A2,A3 相互独立, P( A )=P( A 1·A 2·A 3)=P( A 1)P( A 2)P( A 3) =(1-p)3,又 P( A )=1-P(A)=1-0.999=0.001, 故(1-p)3=0.001,p=0.9. (2)B=A4+( A 4· A1· A3)∪( A 4·A 1· A2· A3) P(B)=P(A4)+P( A 4· A1· A3+ A 4·A 1· A2· A3), =P(A4)+P( A 4)P(A1)P(A3)+P( A 4)P( A 1)P(A2)P(A3) =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.989 1. 1 1 13.(创新拓展)甲、乙两人破译一密码,它们能破译的概率分别为3和4,试求: (1)两人都能破译的概率; (2)两人都不能破译的概率; (3)恰有一人能破译的概率; (4)至多有一人能破译的概率; (5)若要使破译的概率为 99%,至少需要多少乙这样的人? 解 设事件 A 为“甲能译出”,事件 B 为“乙能译出”,则 A、B 相互独立,

从而 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 均相互独立. (1)“两人都能译出”为事件 AB,则 1 1 1 P(AB)=P(A)P(B)=3×4=12. (2)“两人都不能译出”为事件 A B ,则 P( A B )=P( A )P( B )=[1-P(A)][1-P(B)]

1?? 1? 1 ? =?1-3??1-4?=2. ? ?? ? (3)“恰有一人能译出”为事件 A B + A B, 又 A B 与 A B 互斥, 则 P(A B +

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A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B) 1? ? 1? 1 5 1 ? =3×?1-4?+?1-3?×4=12. ? ? ? ? (4)“至多一人能译出”为事件 A B + A B+ A 斥,故 P(A B + A B+ A B) B, 且 A B 、 A B、 A B 互

=P(A)P( B )+P( A )P(B)+P( A )P( B ) 1? ? 1? 1 ? 1? ? 1? 11 1 ? =3×?1-4?+?1-3?×4+?1-3?×?1-4?=12. ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? (5)设至少需 n 个乙这样的人,而 n 个乙这样的人译不出的概率为?1-4?n,故 ? ? 1? ? n 个乙这样的人能译出的概率为 1-?1-4?n≈99%. ? ? 解得 n=16. 故至少需 16 个乙这样的人,才能使译出的概率为 99%.

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