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圆与圆的位置关系


圆和圆的位置关系
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教学目的
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使学生掌握圆和圆的五种位置关系的定义。 使学生掌握圆和圆的五种位置关系中圆心距与半 径之间的数量关系,并了解它是性质又是判定。 使学生能初步会运用两圆相切的性质和判定。

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使学生掌握相交两圆的性质定理。
使学生初步会应用相交两圆的性质定理。
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教学重点、难点
重点
1、两圆相交、相切的概念
2、两圆相切的性质和判定、相交性质的应用。

难点
例2的辅助线添加。
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教学过程
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复习提问 知识导入 例题选讲 课堂练习 小结
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直线和圆的位置关系
d
C

d

E

C

复习提问
d F
C

l

直线 l与⊙A 相交 d <r 两个公共点 直线 l是⊙A的 割线

直线 l与⊙A 相切 d =r 唯一公共 点 直线 l是⊙A的 切线 点C是切点

直线 l与⊙A 相离 d >r 没有公共点
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知识导入
圆和圆的五种位置关系
设两圆的半径为R和r,圆心距为d

定理1

相交两圆的性质定理
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圆和圆的五种位置关系

外离

外切

相交

O1O2>R+r

O1O2=R+r

R-r<O1O2<R+r

内切

内含

同心圆

(一种特殊的内含)
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O1O2=R-r

0≤O1O2<R-r

O1O2=0

相交两圆的性质定理
相交两圆的连心线垂直平分公共弦
已知:⊙O1和⊙O2相交于A、B(如图) 求证:O1O2是AB的垂直平分线 证明:连结O1A、O1B、O2A、 O2B
A

∵ O1A=O1B ∴ O1点在AB的垂直平分线上 ∵ O2A=O2B

O

1

O2 B

∴ O2点在AB的垂直平分线上
∴ O O 是AB的垂直平分线

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例题选讲
例1 求证:如果两圆相切,那么其中任一个圆的过
两圆切点的切线,也必是另一个圆的切线.

动画演示

B D O1 O2 C A

例2 如图,⊙O1与⊙O2内切于
点T,⊙O1的弦TA,TB分别交 ⊙O2于C,D,连结AB,CD。 求证:AB∥CD

分析

动画演示

证明过程

T
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证明过程
例2 如图,⊙O1与⊙O2内切于点T,⊙O1的弦TA,
TB分别交⊙O2于C,D,连结AB,CD。 求证:AB∥CD
D B A

证明:过点T作⊙O1的切线PT,则

O1 O2

C

PT也是⊙O2的切线,即∠BTP既是 ⊙O1的弦切角,也是⊙O2的弦切角,

∴∠BAT=∠BTP,∠DCT=∠BTP,
∴∠BAT=∠DCT

P

T

∴ AB∥CD

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分析
例2 如图,⊙O1与⊙O2内切于点T,⊙O1的弦TA,
TB分别交⊙O2于C,D,连结AB,CD。
求证:AB∥CD 问:要证AB∥CD,只要哪些角相等?
B D O1 O2 C A

答:∠BAT=∠DCT 。 问:要证∠BAT=∠DCT ,能从图中找到合
适的媒介?若不能,该怎么办? 答:添辅助线。 的启发?

T

问:已知⊙O1与⊙O2内切,你能从例1的结果得到怎样

答:过切点T作两圆的公共切线。

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小结
1、圆和圆的五种位置关系。 2、圆心距与半径之间的数量关系是性质定理也是判 定定理。 3、相切两圆的连心线(经过两圆心的直线)必过切 点。可用来证明三点共线。 4、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。可用 来证明两线垂直或线段相等。 5、两种常用的添辅助线方法: 两圆相交添两圆的公共弦
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两圆相切添两圆的公共切线


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