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高考数学答题技巧及知识归纳总结


掌握高考数学答题技巧 ,力求正常发挥
高三数学组 1. 摸透“题情” 刚刚拿到试卷,一般心里比较紧张,不要忙于作答,要从头到尾通览全卷,从卷面 上获取最多的信息,为实施正确的集体策略做全面调查。 2. 信心十足 答题中,见到简单题要细心,莫忘乎所以。 面对偏难的题,要有耐心, 千万不要着急, 力求做到:坚定信心,稳扎稳打,步步为营。整个过程中要记住:人易我易,我不大意。人难我 难,我不畏惧。 3. 两先两后 即“先易后难”和“先高后低” 。所谓先高后低指后半段时间如后两题都会做,则先 做高分题,后作低分题。即使时间不足也少丢分,到最后十分钟,也应对那些拿不下来的题目就 高分题“分段得分” ,以增加在时间不足前提下的得分。 4. 讲求方法 做选择题时,除用直接法外,要牢记另外一些常用的,有效地方法,如排除法,特例 检验法,估算法,数形结合法等。 5. 分段得分 分段得分的基本精神:会作的题目力求不失分,部分理解的题目力争多得分。 (1)缺步解答 若遇到一个很困难的问题,聪明的策略是:将它们分解为一系列的步骤,或者 是一个个小问题,先解决问题的一部分,能解决多少就解决多少,能演算几步就写几步,特别是 那些集体层次明显的题目,或者是已经程序化了的方法,每进行一步得分点的演算都可以得分, 最后结论虽然未得出,但分数却已过半,这叫“大题拿小分” 。 (2)退步解答 “以退求进”是一个重要的解题策略。当某个问题不易解决时,可以考虑问题 的特殊形势,局部情形等,有时往往茅塞顿开。 (3)辅助解答 辅助解答的内容十分广泛,如准确做图,书写规范,完整,字迹清楚等都是辅 助解答。有些选择题, “大胆猜测”也是辅助解答。 6. 立足中下题目,力争高水平 中下题目在全卷占百分之八十,是试卷的主旋律,是得分的重要 来源。能拿下这些题目,实际上就已经打了个胜仗。 以上是答题技巧的几点建议,另外要特别注意考前的状态,提前进入角色也很重要。 ※热门问答 问:选择题怎么才能拿到高分? 答:选择题主要体现了对双基的考查,知识点是轮换的,除了通常的直选法 (由条件求得正确的 答案来)外,还得注意解题的特殊技巧,比如用特殊代替一般,排除法,验证法;此外还应注意数形 结合、合理猜想等等。 问:答题比较慢,模拟考总是觉得时间不够用。 答:考场上要有“适时”放弃的思想,作答时还是按序答题,如果拿到题目,5 分钟还没有找到解 题思路,这时候就可以放弃。如果有方向,但感觉计算繁杂就要考虑及时调整解题的途径,寻找简洁 的方法,要学会换位思考。 问:最后这么几天了还需要做些什么才能够最有效地达到提高的目的呢? 答:最后一段时间不用再做新的大量的题目了,而要对学科知识、已做过的各类试题进行梳理、 归纳和总结,构建完整的、明晰的知识网络结构,提炼涉及的数学解题思想、方法与技巧。花四五个 单位时间(每个单位半个小时)来翻看复习用书并做好笔记,着重对所学的定义、公式、公理、定理进 行梳理。 此外,把做过的模拟试卷进行翻阅,温故而知新。再有是要保持答题的感觉,训练要有目的性, 针对薄弱环节,答题有紧张感,要提高运算的准确度,在复习期间做试卷不必从选择题做起,把精力 放在后面的解答题部分的思路、方法上。

问:遇到没见过的题心里就发慌怎么办?另外考试时时间怎么分配? 答:背景新颖的试题,难度不一定很大,关键是找出知识的切入点,书写步骤越细越好,书写规 范,表述严密,谨防扣分。时间分配要因人而异,一般来说成绩比较好的同学在 45 分钟左右的时间 要完成选择、填空部分;数学基础较薄弱的同学可能在填空和选择题部分会花较多的时间,“小题大 做”力求在基础题上得高分,解答题应把重点放在解答题第 1 题,立几题(立几思维较为固定,答题较 为规范),其他解答题也应努力接触,因为一般都有多个小问题,第一问很有可能是送分题。 问:临场时还需要注意些什么? 答:立体几何解答题如需添加辅助线,建议先用铅笔画线,在解答完毕之后再用签字笔重描。如果试 卷偏难,须有一个良好的心态,要控制好自己的情绪,努力解答,力求多得分。在解答过程中,对已 书写的答题部分感觉没把握但又找不到新的解决办法,切忌删除已书写的内容,要牢记解答题是按步 得分。 高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.
(3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①列举法 ②描述法 ③图示法 (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的 集合叫做空集( ? ). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 (1)A ? A (2) ? ? A (3) 若 A ? B 且 B ? C ,则 A 中的任一元 素都属于 B 示意图

A? B
子集 (或

A(B)

B ? A)

A?C (4) 若 A ? B 且 B ? A ,则 A? B

B

A

真子 集

A?B
?

A(A 为非空子集) A ? B ,且 B (1)?? ?
中至少有一元 素不属于 A (2) 若 A ? B 且 B ? C , 则
? ?
B A

(或

B ? A)
?

A? C
?

集合 相等

A?B

A 中的任一元 素都属于 B,B 中的任一元素 都属于 A

(1)A ? B (2)B ? A

A(B)

n n n (7)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 个子集,它有 2 ? 1 个真子集,它有 2 ? 1 个非空子集,

它有 2 ? 2 非空真子集.
n

【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名 称 交 集 记号 意义 性质 (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? A 示意图

{x | x ? A, 且

A? B
x ? B}

A

B

并 集

{x | x ? A, 或

A? B
x ? B}

A? B ? B (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? A A? B ? B
1 A ? (?U A) ? ? 2 A ? (?U A) ? U

A

B

补 集

? UA

{x | x ?U , 且x ? 痧 A } U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B)
痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B)

〖1.2〗函数及其表示 (1)函数的概念①概念②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也 相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而 后者必须 a ? b . (3)求函数的定义域 (4)求函数的值域或最值 (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. (6)映射的概念

〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1、x2,当 x < 时 , 都 有 1 2 . . . . x . f(x )<f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x) 在这个区间上是增 . 函数的 单调性 函数 . .. 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1、x2,当 x < 时 , 都 有 1 2 . . . . x . f(x )>f(x ) ,那么就说 1 2 . . . . . . . . . . . f(x) 在这个区间上是减 . 函数 . .. 图象 判定方法 (1)利用定义 (2) 利用已知函数 的单调性 (3) 利用函数图象 (在某个区间图 象上升为增) (4) 利用复合函数 (1)利用定义 (2) 利用已知函数 的单调性 (3) 利用函数图象 (在某个区间图 象下降为减) (4) 利用复合函数

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

o

x1

x2

x

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函 数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为
y

减,则 y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u ) 为减,

u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减.

(2)打“√”函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) 的图象与性质 x

o

x

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a ,0) 、

(0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义

【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x ,都有 f( - x)= - f(x) , 那么函 . . . . . . . . . . . 数 f(x)叫做奇函数 . ... 函数的 奇偶性 图象 判定方法 (1) 利用定义 (要 先判断定义域是 否关于原点对称) (2) 利用图象 (图 象关于原点对称) (1) 利用定义 (要 先判断定义域是 否关于原点对称) (2) 利用图象 (图 象关于 y 轴对称)

如果对于函数 f(x)定义 域内任意一个 x ,都有 f( - x)= f(x) , 那么函数 . . . . . . . . . . f(x)叫做偶函数 . ...

②若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数 (或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 〖补充知识〗函数的图象 (1)作图 利用描点法作图:要准确记忆各种基本初等函数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x)
原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图: 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究

函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图: 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是 探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法. 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)分数指数幂 (1) a n ? (2) a
m ? n

m

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

?

1 a
m n

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

(2)根式的性质 (1) ( n a )n ? a .(2)当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时, a n ?| a |? ?
n

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

(3)有理指数幂的运算性质

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理 数指数幂都适用 【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称 定义
x
p

指数函数 函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y
图象

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性

1

x 0
R
(0, ??)

O

1
x 0

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 对图象的影响
〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图 象越低.

(1)对数的定义: a b ? N ? loga N ? b (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式 (3)对数的运算性质

log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
M ? log a M ? log a N ; N

若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;(2) log a (3) loga M n ? n loga M (n ? R) . (4)对数的换底公式 log a N ? 推论 log a m b ?
n

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m

【2.2.2】对数函数及其性质 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域

R

过定点 奇偶性 单调性

图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是增函数 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图 象 的 影 在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象
响 (6)反函数的概念及性质: 越靠高. 原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? a x (a ? 0 , a ? 1) 与 y ? loga x(a ? 0 , a ? 1) 互为反函数
〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义:形如 y ? x? (? ? R) 的函数叫做幂函数。 (2)幂函数的图象

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1 、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴交点的横坐标。即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.
3、函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并 ○ 利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次 函数有两个零点.
2

2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

3) △<0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根, 二次函数的图象与 x 轴无交点, 二次函数无零点. 高中数学 必修 2 知识点 第一章 空间几何体 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和
2

2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R
2 2

3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r 5 球的表面积 S ? 4?R
2

2

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h
1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

2 锥体的体积 4 球体的体积

V ?

1 S底 ? h 3 4 V ? ?R 3 3

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义: 2 平面的画法及表示 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α ? L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内

(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B ? α ? C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , ? 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L β 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据
P α ? L 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在 两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, 2 ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平 行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P β ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念: 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念: 2、倾斜角α 的取值范围: 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 3、直线的斜率: 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/(x2-x1) 3.1.2 两条直线的平行与垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ? 3.2.1

A1 B1 C1 ;② ? ? l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; A2 B2 C2

直线的点斜式方程

1、 直线的点斜式方程:直线 l 经过点 P ,且斜率为 k 0 ( x0 , y0 )

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b

2、 、直线的斜截式方程:已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) 3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点式方程:已知两点 P 其中 ( x1 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 )

? x2 , y1 ? y2 )

x y ? ?1 2 、 直 线 的 截 距 式 方 程 : a b ( a、 b 分 别 为 直 线 的 横 、 纵 截 距 ,
a、b ? 0 )
3.2.3 直线的一般式方程

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

1、直线的一般式方程:关于 x, y 的二元一次方程 Ax 2、各种直线方程之间的互化。

? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)

3.3 直线的交点坐标与距离公式 点到直线距离公式:点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

2、两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
第四章 4.1 圆的方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .

C1 ? C2 A2 ? B 2

圆的方程

(2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 )圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y ( 圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 1 )( y ? y 2 )? 0 B( x2 , y2 ) ).
2 2 (1) 过 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 与 圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是

4.2 圆系方程

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. 2 2 (2) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 2 ? 0 的交点的圆系 1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F
2 2 方程是 x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数.

4.3 点与圆的位置关系
2 2 2 点 P( x0 , y0 ) 与 圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的 位 置 关 系 有 三 种 : 若 d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 , 则

d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
4.4 直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
4.5 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线;

d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
4.6.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切点弦方 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切 线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .
2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 . 4.7.空间两点间的距离公式 空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式
P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

高中数学

必修 3 知识点 第一章 算法初步

1.1.1 算法的概念 1、算法概念 2. 算法的特点 1.1.2 程序框图 第二章 2.1.1 简单随机抽样 1.总体和样本 2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。 特点是:每个样本被抽中的可能性相同,样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥 性。 2.1.2 系统抽样 2.1.3 分层抽样 2.2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、本均值: x ? 统计

x1 ? x2 ? ? ? xn n

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 2、 .样本标准差: s ? s ? n
2

3. (1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数,标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k,标准差变为原来的 k 倍

(3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间 ( x ? 3s, x ? 3s) 的应用; “去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.两个变量的线性相关 1.线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系
n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ? ?b ? n 2 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法) ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。 第三章 概 率

3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义 3.1.3 概率的基本性质 1、基本概念:2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3) 若事件 A 与 B 为对立事件, 则 A∪B 为必然事件, P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1, 于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生, 其具体包括三种不同的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生 (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生, 其包括

两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情 形。 3.2.1 —3.2.2 古典概型及随机数的产生 1、 (1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)

A包含的基本事件数 = 总的基本事件个数
3.3.1—3.3.2 几何概型及均匀随机数的产生 1、基本概念:

(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型; (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体 积) 的区域长度(面积或体 积) P(A)= 试验的全部结果所构成 ;
几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; 2)每个基本事件出现的可能性相等. 高中数学 必修 4 知识点

第一章 三角函数 1、任意角的概念 2、象限角的概念 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

?

?
l . r

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

? 180 ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? 57.3? . ? 180 ? ? ?
?
?

?

?

7、若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为

y P T v O M A x

1 1 S ,则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2
8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? , 它与原点的距离是 r r ?

?

x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

9、三角函数在各象限的符号 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 11 三 角 函 数 的 基 本 关 系 : ?1? sin
2
2 2 ?? 1 ? co ? s ? ? cos2 ? ? 1 ? s i n 2 ,c ? os ? ? 1 2? n ?s i;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、三角函数的诱导公式: (口诀:函数名称不变,符号看象限)

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? .

? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

13、图像的平移 14、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

x ? 2k? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

既无最大值也无最小值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周 期 偶

2?
奇函数

?
奇函数



? ?? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2 2? ? ?
单 调 性

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ; 在

? k ??? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?

在 ? k? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是减函数.

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对 对 称 对 称 中 心 对 称 中 心

? k? ,0?? k ???
称 轴









? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

?

x ? k? ?

?
2

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

?k ? ??

第二章 平面向量 1、向量的基本概念 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质: ①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 4、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

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?a ? ? a ;

?

?

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的

?

?

?

?

方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .

?

?

⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 5、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 6、平面向量基本定理: 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对 实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 7 、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当

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??? ? ???? ? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 ?. 1? ? ? ? 1? ?
8、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

? ?

? ?

??

? ?

?

?

⑵运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . (3)坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

? ?

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?2

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,

?
?

?

?

?

?

?

?

?

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? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b 则 cos ? ? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y12 x2 ? y2
第三章 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) .

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos ? ? 2 sin 2

? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? . ?

3、合一变形 ?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的

y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

4、常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间 的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解, 对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2
?(

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

??) ;

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1” 的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。

常用降幂公式有: 无 理 式 有:



。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对

1 ? cos?


常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式 ;

5.三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理, 特殊值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? 高中数学 (一)解三角形: 1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, ,则有 a ( R 为 ??? C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ?
sin ? ? b c ? ? 2R sin ? sin C

tan ? ? cot ? ?



必修 5 知识点

a b , sin ? ? , sin C ? c ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R
2 2 2

3、三角形面积公式: S???C ? 1 bc sin ? ? 1 ab sin C ? 1 ac sin ? .
2 2 2 2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? ,推论: cos ? ? b ? c ? a 2bc

(二)数列: 1.数列的有关概念:

2.数列的表示方法:

3.数列的分类:
? S1 , ( n ? 1) an ? ? ? S n ? S n ?1 , (n ? 2)

4.数列{an}及前 n 项和之间的关系: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 5.等差数列与等比数列对比小结 等差数列 定义

等比数列
an ? q(n ? 2) an ?1

an ? an?1 ? d (n ? 2)
1. an ? a1 ? ? n ?1? d

1. an ? a1q n?1

an ? am ? ? n ? m? d , ? n ? m?
公式 2. Sn ?

an ? amqn?m ,(n ? m)
2.
?na1 ? q ? 1? ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? ? na1 ? d 2 2

1. a, b, c成等差 ? 2b ? a ? c , 称 b 为 a 与 c 的等差中项 性质 2.若 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 , 则 am ? an ? ap ? aq q?? ) 3.Sn , S2n ? Sn ,S3n ? S2 n 成等差数
*

1. a, b, c成等比 ? b2 ? ac , 称 b 为 a 与 c 的等比中项 2 .若 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 ,则 am ? an ? a p ? aq q ? ?* ) 3. Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数 列

列 (三)不等式

1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商) 、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法 4、均值定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即
2 a?b a?b ? ; ? ab . ab ? ? ? ? ? a ? 0, b ? 0? 2 ? 2 ?

⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;

⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ;

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 5、均值定理的应用:设 x 、 y 都为正数,则有
⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。 6、线性规划问题:两类主要的目标函数的几何意义: ① z ? ax ? by -----直线的截距;② z ? ( x ? a) ? ( y ? b) -----两点的距离或圆的半径;
2 2

选修 1-1,1-2 知识点 第一部分 简单逻辑用语 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、原命题: “若

p ,则 q ” q p 逆命题: “若 ,则 ” ? p ,则 ? q ” 逆否命题: ? q ,则 ? p ” 否命题: “若 “若

4、四种命题的真假性之间的关系: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 利用集合间的包含关系: 例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B, 则 A 是 B 的充要条件;

6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式 p ? q ;⑵或(or) :命题形式 p ? q ; ⑶非(not) :命题形式 ? p .

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 假 假 假

p?q
真 真 真 假

?p
假 假 真 真

7、⑴全称量词——“所有的” 、 “任意一个”等,用“ ? ”表示; 全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词——“存在一个” 、 “至少有一个”等,用“ ? ”表示; 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ; 第二部分 圆锥曲线 1、椭圆的定义: PF 1 ? PF 2 ? 2a(2a ? F 1 F2 ) 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

范围

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
长轴的长 ? 2 a

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
短轴的长 ? 2b

轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

3.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 x 2 y0 x2 y 2 ? ?1. (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 0 a b a 2 b2

4.椭圆的的内外部(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

95. 椭圆的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b
(1)椭圆 3、双曲线的定义

PF1 ? PF2 ? 2a(2a ? F1 F2 )
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

4、双曲线的几何性质: 焦点的位置

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
虚轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
实轴的长 ? 2 a

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

渐近线方程 2.双曲线的内外部

y??

b x a

y??

a x b

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 3.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 , a b a b
焦点在 y 轴上). (4). 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y 2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 2 2 2 2 2 3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b
1)双曲线 (5).实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 6、抛物线的定义:到定点的距离与到定直线的距离相等的点的集合。 PF ? d 7、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0?

对称轴

x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2

y轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2
e ?1

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

3.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” ,即

?? ? 2 p .
4.抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式
2

抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ?
2

p p p .过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2

5.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P (
2

y? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 y?2 ? 2 px? . 2p

6..抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? ?2 py( p ? 0) .
2 2

7.抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(2)过抛物线 y ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2
2 2 (3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC .

第三部分 导数及其应用

1、导数定义: f ? x ? 在点 x0 处的导数记作 y ?

x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; . ?x

2、函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 3、常见函数的导数公式:
' ① C ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ;

y ? f ? x?

在点

? ? x0 , f ? x0 ??

处的切线的斜率.

③ (sin x) ' ? cos x ;④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑦ (log a x ) ?
'

⑤ (a x ) ' ? a x ln a ;⑥ (e x ) ' ? e x ; 4、导数运算法则:

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

?1?

? ? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? 2? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? ? 2 g x ? ? ? ? ? 3? ? g ? x ? ? ? ?



5、在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增; 若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 6、求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x? ? 0 ,右侧 f ? ? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
8、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? ,
f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
第四部分 复数
2

(1) z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z ≥0;(2) z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); 2 (3) z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z <0; (4) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i;(2) z1.z2 = (a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

1.基本概念

(3) z1÷z2 =

(a ? bi)(c ? di) ? bd bc ? ad (z ≠0) ; ? ac 2 ? i 2 (c ? di)(c ? di) c ? d 2 c2 ? d 2

3.几个重要的结论: (1) (1 ? i) 2 ? ?2i ; (2) i 性质:T=4; i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; (3) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ?

i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;
4.运算律: (1) z
m

1 。⑷ 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i; z 1? i 1? i
m m

? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z2 ) m ? z1 z2 (m, n ? N );
z1 z ) ? 1 ;⑷ z ? z 。 z2 z2

5.共轭的性质:⑴ ( z1 ? z 2 ) ? z1 ? z 2 ;⑵ z1 z 2 ? z1 ? z 2 ;⑶ (

高中数学选修 4-1 知识点总结 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段 也相等。 推理 1 :经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2 :经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定: 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似 比(或相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似,需考虑 6 个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应 边是否分别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法: (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与三角形 相似。 判定定理 1 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那 么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。 判定定理 2 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且 夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 判定定理 3 :对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例, 那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边。 定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;

(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。 定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这 两个直角三角形相似。 相似三角形的性质: (1) 相似三角形对应高的比、 对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; (2) 相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。 直角三角形的射影定理 射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边 上射影与斜边的比例中项。 圆周定理 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1 :同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2 :半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1 :圆的内接四边形的对角互补。定理 2 :圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1 :经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2 :经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 与圆有关的比例线段 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角。 高中数学选修 4-4 知识点总结 1.伸缩变换:设点 P( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ?

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用 ?y? ? ? ? y, (? ? 0).

下,点 P( x, y ) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定 一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐 标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;

以极轴 Ox 为始边, 射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角, 记为 ? 。 有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (? ? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (? ? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一 点。如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时, 极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。 5.极坐标与直角坐标的互化: 6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ;

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; 在极坐标系中,以 C ( a,

?
2

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

7.在极坐标系中,? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直 线.在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a . 8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在这条曲线上,那么这 ? ? y ? g (t ),
个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x , y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9.圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? .

椭圆

? x ? acos? , x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . 2 a b ? y ? bsin?.
2

抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ?

? x ? 2 px 2 , ? y ? 2 pt .

(t为参数 ) .经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的

直线 l 的参数方程可表示为 ?

? x ? xo ? tcos? , ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必 须使 x , y 的取值范围保持一致.


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