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高中数学必修4重点公式


高中数学必修 4 重点公式与解题技巧
公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 公式二: 设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα

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tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六:

? 3? ±α 及 ±α 与 α 的三角函数值之间的关系: 2 2
? +α)=cosα 2 ? cos( +α)=-sinα 2 ? tan( +α)=-cotα 2 ? cot( +α)=-tanα 2
sin(

? -α)=cosα 2 ? cos( -α)=sinα 2 ? tan( -α)=cotα 2 ? cot( -α)=tanα 2
sin(

3? +α)=-cosα 2 3? cos( +α)=sinα 2 3? tan( +α)=-cotα 2 3? cot( +α)=-tanα 2
sin( (以上 k∈Z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于 k· ±α(k∈Z)的个三角函数值,

3? 2 3? cos( 2 3? tan( 2 3? cot( 2
sin(

-α)=-cosα -α)=-sinα -α)=cotα -α)=tanα

? 2

①当 k 是偶数时,得到 α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到 α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。 (奇变偶不变) 然后在前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如: sin(2π-α)=sin(4· -α),k=4 为偶数,所以取 sinα。 当 α 是锐角时,2π-α∈(270° ,360° ),sin(2π-α)<0,符号为“-”。
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? 2

所以 sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是: 奇变偶不变,符号看象限。 公式右边的符号为把 α 视为锐角时,角 k·360°+α(k∈Z),-α、180° ± α,360° -α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切; 四余弦”。 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”。 其他三角函数关系: ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα =1 sinα ·cscα =1 cosα ·secα =1 商的关系: sinα /cosα =tanα =secα /cscα cosα /sinα =cotα =cscα /secα 平方关系: sin^2(α )+cos^2(α )=1 1+tan^2(α )=sec^2(α ) 1+cot^2(α )=csc^2(α ) 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法: (参看图片或参考资料链接) 构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间 1"的正六边形为模型。 (1)倒数关系:对角线上两个函数互为倒数; (2)商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 (主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积) 。由此,可得商数关系式。 (3)平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面 顶点上的三角函数值的平方。

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两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sin(α -β )=sinα cosβ -cosα cos(α +β )=cosα cosβ -sinα cos(α -β )=cosα cosβ +sinα tanα +tanβ tan(α +β )= —————— 1-tanα ·tanβ tanα -tanβ tan(α -β )= —————— 1+tanα ·tanβ

sinβ sinβ sinβ sinβ

倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin2α =2sinα cosα cos2α =cos^2(α )-sin^2(α )=2cos^2(α )-1=1-2sin^2(α ) 2tanα tan2α = ————— 1-tan^2(α ) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式) 1-cosα sin^2(α /2)= ————— 2 1+cosα cos^2(α /2)= ————— 2 1-cosα tan^2(α /2)=————— 1+cosα ⒌万能公式 2tan(α /2) sinα = —————— 1+tan^2(α /2)
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1-tan^2(α /2) cosα =—————— 1+tan^2(α /2) 2tan(α /2) tanα =—————— 1-tan^2(α /2) 万能公式推导 附推导: sin2α =2sinα cosα =2sinα cosα /(cos^2(α )+sin^2(α ))......*, (因为 cos^2(α )+sin^2(α )=1) 再把*分式上下同除 cos^2(α ),可得 sin2α =tan2α /(1+tan^2(α )) 然后用α /2 代替α 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3α =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =4cos^3(α )-3cosα 3tanα -tan^3(α ) tan3α = —————— 1-3tan^2(α ) 三倍角公式推导 附推导: tan3α =sin3α /cos3α =(sin2α cosα +cos2α sinα )/(cos2α cosα -sin2α sinα ) = (2sin α cos^2( α ) + cos^2( α )sin α - sin^3( α ))/(cos^3( α ) - cos α sin^2( α ) - 2sin^2(α )cosα ) 上下同除以 cos^3(α ),得: tan3α =(3tanα -tan^3(α ))/(1-3tan^2(α )) sin3α =sin(2α +α )=sin2α cosα +cos2α sinα =2sinα cos^2(α )+(1-2sin^2(α ))sinα =2sinα -2sin^3(α )+sinα -2sin^2(α ) =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =cos(2α +α )=cos2α cosα -sin2α sinα
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=(2cos^2(α )-1)cosα -2cosα sin^2(α ) =2cos^3(α )-cosα +(2cosα -2cos^3(α )) =4cos^3(α )-3cosα 即 sin3α =3sinα -4sin^3(α ) cos3α =4cos^3(α )-3cosα 三倍角公式联想记忆 记忆方法:谐音、联想 正弦三倍角:3 元 减 4 元 3 角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”)) 余弦三倍角:4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有“余” ) ☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。 和差化积公式 ⒎三角函数的和差化积公式 α +β α -β sinα +sinβ =2sin—----·cos—--2 2 α +β α -β sinα -sinβ =2cos—----·sin—---2 2 α +β α -β cosα +cosβ =2cos—-----·cos—----2 2 α +β α -β cosα -cosβ =-2sin—-----·sin—----2 2 积化和差公式 ⒏三角函数的积化和差公式 sinα ·cosβ =0.5[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ·sinβ =0.5[sin(α +β )-sin(α -β )] cosα ·cosβ =0.5[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ·sinβ =- 0.5[cos(α +β )-cos(α -β )] 和差化积公式推导 附推导: 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb, sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

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我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb, cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 向量的运算 加法运算 AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB,则以 O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量 a,有:0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,-(-a)=a,零向量的相反向量仍然 是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 数乘运算 实数λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λ a,|λ a|=|λ ||a|,当 λ > 0 时,λ a 的方向和 a 的方向相同,当λ <0 时,λ a 的方向和 a 的方向相反,当λ = 0 时, λ a = 0。 设λ 、μ 是实数,那么: (1)(λ μ )a =λ (μ a)(2)(λ +μ )a =λ a +μ a(3)λ (a± b)= λ a±λ b(4)(-λ )a=-(λ a)=λ (-a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积 已知两个非零向量 a、b,那么|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积或内积,记作 a?b,θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cosθ (|b|cosθ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影。零向量与 任意向量的数量积为 0。 a?b 的几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

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