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2.2.2.4圆锥曲线的简单几何性质总结


椭圆的性质
标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
y P
F1
OF
2

y2 x2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 2 a b y
F2
P x







x

|x|≤ a,|y|≤ b
( ? a ,0 ),(0,

|x|≤ b,|y|≤ a


F1

O

对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称。

? b)

? b ,0

),(0,

? a)

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

长半轴长为a,短半轴长为b. 焦距为2c;

a,b,c关系 离 心 率

a2=b2+c2

b2=a2-c2

c2=a2-b2

c e ? a

(0<e<1)

焦点位置的 判断

哪个变量的分母大,焦点就在哪个轴上

椭圆的第一定义与第二定义。

定义 1
平面内与

图形

定义 2
平面内与
一 个定 点的 距

两个定点 F1、 F2的距离的和
等于常数(大
焦点: F1 (?c,0)、F2 (c,0) a2 准线: x?? c

离 和它 到一 条 定 直线 的距 离 的比是常数
e? c ( 0 ? e ? 1) a

于 F1F2 )的点
的轨迹。

的点的轨迹。
焦点: F1 (0,?c )、F2 (0, c )

a2 准线: y?? c

双曲线的性质

B2

. .
B2

图形

. .
F1(-c,0)
F1 A1 A2
O
2 2 2 2

y

y
A2
F2

B1 F2(c,0)
2

F2

x

A1O F1

B1

F2(0,c)
x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
x ? a 或 x ? ? a,y ? R

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
2 2 2

y ? a 或 y ? ?a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

双曲线的第二定义:
动点 M 与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e ? (e ? 1),则这个点的轨迹是双曲线. a y y l 定点是焦点; l' 2 F2 d a .M 定直线是准线; A2 y?
F1 O x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1中 : 2 a b a

常数e是离心率. .

.

F2

x

c

O

a2 右焦点F2 (c, 0),对应的右准线方程是 x ? ; c 2 a 左焦点F1 (?c, 0),对应的左准线方程是x ? ? . c
c

x??

a2 x? c

A1 F1

xa 2 y?c

抛物线的性质

方程 图 形 范围
对称性

y2 = 2px

y2 = -2px
l

x2 = 2py (p>0) y
F x O l x

x2 = -2py (p>0) y
P(x0,y0)

(p>0) (p>0) y P(x0,y0) y
l O F x F
P(x0,y0)

l
x

O

F P( x , y )
0 0

O

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2



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