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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-3)练习:2.2 第3课时]


第二章
一、选择题 1.独立重复试验应满足的条件是( ①每次试验之间是相互独立的

2.2

第 3 课时

)

②每次试验只有发生与不发生两种结果 ③每次试验中发生的机会是均等的 ④每次试验发生的事件是互斥的 A.①② C.①②③ [答案] C 2.设在一次试验中事件 A 出现的概率为

p,在 n 次独立重复试验中事件 A 出现 k 次的 概率为 pk,则( ) B.②③ D.①②④

A.p1+p2+?+pn=1 B.p0+p1+p2+?+pn=1 C.p0+p1+p2+?+pn=0 D.p1+p2+?+pn-1=1 [答案] B [解析] 由题意可知 ξ~B(n,p),由分布列的性质可知 ?pk=1.
k=0 n

3 1 3.某电子管正品率为 ,次品率为 ,现对该批电子管进行测试,设第 ξ 次首次测到正 4 4 品,则 P(ξ=3)=( )

?1?2 3 A.C2 3 4 × ? ? 4
1?2 3 C.? ?4? ×4 [答案] C

?3?2 1 B.C2 3 4 × ? ? 4
3?2 1 D.? ?4? ×4

1? 4.已知随机变量 ξ~B? ?6,3?,则 P(ξ≥2)=( 16 A. 143 473 C. 729 [答案] C 471 B. 729 D. 1 243

)

[ 解析 ] 故选 C.

473 0?1?0?2?6 1?1??2?5? P(ξ≥2) = 1 - P(ξ≤1) = 1 - (P6(0) + P6(1)) = 1 - ? ?C6?3? ?3? +C6?3??3? ? =729 .

65 5.在 4 次重复试验中事件 A 出现的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的概率为 ,则 81 事件 A 在 1 次试验中出现的概率为( 1 A. 3 5 C. 6 [答案] A 65 1 [解析] P(ξ≥1)=1-P4(0)=1-C0 P0· (1-P)4=1-(1-P)4= ,∴P= .故选 A. 4· 81 3 80 6.对同一目标独立地进行四次射击,至少命中一次的概率为 ,则此射手的命中率为 81 ( ) 1 A. 3 1 C. 4 [答案] B [解析] 设此射手的命中率为 P,则此射手对同一目标独立地进行四次射击,一次都没 有命中的概率为 80 1 (1-P)4,由题意得(1-P)4=1- = , 81 81 1 2 ∴1-P= ,∴P= . 3 3 7. 电灯泡使用时数在 1 000 小时以上的概率为 0.2.则三个灯泡在 1 000 小时以后最多有 一个坏了的概率是( A.0.401 C.0.410 [答案] B
2 [解析] P=P3(0)+P3(1)=(0.2)3+C1 30.8×(0.2) =0.104.故选 B.

) 2 B. 5 3 D. 4

2 B. 3 1 D. 5

) B.0.104 D.0.014

二、填空题 8.下列说法正确的是________. ①某同学投篮命中率为 0.6,他 10 次投篮中命中的次数 ξ 是一个随机变量,且 ξ~ B(10,0.6); ②某福彩的中奖概率为 P, 某人一次买了 8 张, 中奖张数 ξ 是一个随机变量, 且 ξ~B(8,

p); ③从装有 5 红 5 白的袋中,有放回的摸球,直到摸出白球为止,则摸球次数 ξ 是随机变 1? 量,且 ξ~B? ?n,2?. [答案] ①② [解析] ①、②显然满足独立重复试验的条件,而③虽然是有放回的摸球,但随机变量 ξ 的定义是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合 二项分布的定义. 9.下列例子中随机变量 ξ 服从二项分布的有________. ①随机变量 ξ 表示重复抛掷一枚骰子 n 次中出现点数是 3 的倍数的次数; ②某射手击中目标的概率为 0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数 ξ; ③有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次品,采用有放回抽取方法,ξ 表示 n 次抽取中 出现次品的件数(M<N); ④有一批产品共有 N 件,其中 M 件为次品,采用不放回抽取方法,ξ 表示 n 次抽取中 出现次品的件数. [答案] ①③ 1 [解析] 对于①,设事件 A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是 3 的倍数”,P(A)= .而在 3

?1? n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生了 k 次(k=0、1、2、??、n)的概率 P(ξ=k)=Ck n× 3 ? ?
k

2?n-k 1 ×? ?3? ,符合二项分布的定义,即有 ξ~B(n,3). 对于②,ξ 的取值是 1、2、3、??、P(ξ=k)=0.9×0.1k 1(k=1、2、3、??n),显然


不符合二项分布的定义,因此 ξ 不服从二项分布. ③和④的区别是:③是“有放回”抽取,而④是“无放回”抽取,显然④中 n 次试验是 M? 不独立的,因此 ξ 不服从二项分布,对于③有 ξ~B? ? n, N ? . 故应填①③. 三、解答题 10. (2014· 乌鲁木齐诊断)某公司招聘员工, 先由两位专家面试, 若两位专家都同意通过, 则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这 两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录 用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 0.5,复审能通过的概率为 0.3,各专家评 审的结果相互独立. (1)求某应聘人员被录用的概率; (2)若 4 人应聘,设 X 为被录用的人数,试求随机变量 X 的分布列.

[解析] 设“两位专家都同意通过”为事件 A,“只有一位专家同意通过”为事件 B, “通过复审”为事件 C. (1)设“某应聘人员被录用”为事件 D,则 D=A+BC, 1 1 1 1 1 1 3 ∵P(A)= × = ,P(B)=2× ×(1- )= ,P(C)= , 2 2 4 2 2 2 10 2 ∴P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B)P(C)= . 5 (2)根据题意,X=0,1,2,3,4, Ai 表示“应聘的 4 人中恰有 i 人被录用”(i=0,1,2,3,4), 3 4 81 ∵P(A0)=C0 , 4×( ) = 5 625 2 3 3 216 P(A1)=C1 , 4× ×( ) = 5 5 625 2 2 3 2 216 P(A2)=C2 , 4×( ) ×( ) = 5 5 625 2 3 3 96 P(A3)=C3 , 4×( ) × = 5 5 625 2 4 3 0 16 P(A4)=C4 . 4×( ) ×( ) = 5 5 625 ∴X 的分布列为 X P 0 81 625 1 216 625 2 216 625 3 96 625 4 16 625

一、选择题 1.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的 概率,则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是( A.[0.4,1) C.[0.6,1) [答案] A [解析] 由条件知 P(ξ=1)≤P(ξ=2),
3 2 2 2 ∴C1 4p(1-p) ≤C4p (1-p) ,

)

B.(0,0.4] D.(0,0.6]

∴2(1-p)≤3p,∴p≥0.4,又 0≤p<1,∴0.4≤p<1. 2.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列 {an}:
? ?-1 第n次摸取红球, an=? 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 那么 S7=3 的概率为( ?1 第n次摸取白球, ?

)

?1?2 ?2?5 A.C5 7× 3 × 3 ? ? ? ? ?1?2 ?1?5 C.C5 7× 3 × 3 ? ? ? ?
[答案] B

?2?2 ?1?5 B.C2 7× 3 × 3 ? ? ? ? ?1?2 ?2?2 D.C2 7× 3 × 3 ? ? ? ?

[解析] 由 S7=3 知,在 7 次摸球中有 2 次摸取红球,5 次摸取白球,而每次摸取红球 2 1 ?2?2 ?1?5 的概率为 ,摸取白球的概率为 ,则 S7=3 的概率为 C2 7× 3 × 3 ,故选 B. ? ? ? ? 3 3 3.100 件产品中有 3 件不合格产品,每次取一件,有放回地抽取三次,则恰有 1 件不 合格产品的概率约为( A.0.03 C.0.67 [答案] D
1 2 [解析] P(X=1)=C1 3(0.03) ×(0.97) ≈0.085.故选 D.

) B.0.33 D.0.085

二、填空题 4.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9,则服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为________(用数字作答). [答案] 0.9477 [解析] C3 0.93· 0.1+(0.9)4=0.9477. 4· 1 5.如果 ξ~B(20,p),当 p= 且 P(ξ=k)取得最大值时,k=________. 2 [答案] 10 1 k ?1?k ?1?20-k=?1?20· [解析] 当 p= 时,P(ξ=k)=Ck 20 2 ·2 ? ? ? ? ?2? C20,显然当 k=10 时,P(ξ=k)取得 2 最大值. 三、解答题 6.某人射击 5 次,每次中靶的概率为 0.9,求他至少有 2 次中靶的概率. [解析] 设某人射击 5 次中靶 ξ 次,依题意可知 ξ~B(5,0.9), 故所求事件的概率 P=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)+P(ξ=5) =1-P(ξ=0)-P(ξ=1)
0 5 1 4 =1-C0 50.9 ×0.1 -C50.9×0.1

=0.99954. 即该人至少有 2 次中靶的概率为 0.99954. 7.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠.若该电梯在底层 1 载有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 ξ 表示这 5 位乘客在 3 第 20 层下电梯的人数,求随机变量 ξ 的分布列.

[解析] 考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复试验. 1? k ?1?k?2?5-k 即 ξ=B? ?5,3?.即有 P(ξ=k)=C5?3? ?3? , k=0、1、2、3、4、5. 从而 ξ 的分布列为 ξ P 0 32 243 1 80 243 2 80 243 3 40 243 4 10 243 5 1 243

8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和系统 B 在任 1 意时刻发生故障的概率分别为 和 p. 10 49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 1 49 [解析] (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1-P( C )=1- · p= . 10 50 1 解得 p= . 5 (2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事 件 D, 那么 P(D)=C2 3 = 972 243 = . 1000 250 1 1 1 · (1- )2+(1- )3 10 10 10

答:系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 243 . 250


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