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平面向量的数量积练习题(含答案)


平面向量的数量积
A组 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2012· 辽宁)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a· b=1,则 x 等于 A.-1 1 B.-2 1 C.2 D.1 ( ) 专项基础训练

2. (2012· 重庆)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a +b|等于( A. 5 B. 10 ) C.2 5 D.10 )

3. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等于( ?7 7? A.?9,3? ? ? 7? ? 7 B.?-3,-9? ? ? ?7 7? C.?3,9? ? ? 7? ? 7 D.?-9,-3? ? ? ( )

→· → 等于 4. 在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB AC 3 A.-2 2 B.-3 2 C.3 3 D.2

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. →· → =________. 6.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC 7. 已知 a=(2,-1),b=(λ,3),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是__________. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 a=(1,2),b=(-2,n) (n>1),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

9. (12 分)设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60° ,若向量 2te1+7e2 与 向量 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

B组 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)

专项能力提升

→· → =1,则 BC 等于 1.在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23

(

)

2. 已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( A.-4 B.4 C.-2 D.2

)

|PA|2+|PB|2 3.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 |PC|2 等 于( A.2 ) B.4 C.5 D.10

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4.设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.

5.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 →· → = 2,则AE →· → 的值是________. F 在边 CD 上,若AB AF BF

6.在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且 → | |CN →| |BM →· → 的取值范围是________. 满足 = ,则AM AN → → |BC| |CD|

三、解答题 ? 1 3? 7. (13 分)设平面上有两个向量 a=(cos α,sin α) (0° ≤α<360° ),b=?- , ?.(1)求证:向量 ? 2 2? a+b 与 a-b 垂直;(2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

平面向量的数量积参考答案 A组 专项基础训练 1.答案 D 解析 2. 答案 B a· b=(1,-1)· (2,x)=2-x=1?x=1.

解析 ∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c,得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2.∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+?-1?2= 10. 3.答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2),又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 7 7 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.②联立①②解得 x=-9,y=-3. 4.答案 D →· → =|AB → |· → |· 解析 由于AB AC |AC cos∠BAC 1 →2 →2 →2 1 3 =2(|AB | +|AC| -|BC| )=2×(9+4-10)=2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5.答案 3 2解析 ∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1,

2 2 ∴a· b=|a|· |b|cos 45° = 2 |b|,|2a-b|2=4-4× 2 |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 6. 答案 -16 解析 如图所示, → =AM → +MB →, AB → =AM → +MC → AC → → → → → → → → =AM-MB,∴AB· AC=(AM+MB)· (AM-MB) → 2-MB → 2=|AM → |2-|MB → |2=9-25=-16. =AM 3? 3 ? 7. 答案 (-∞,-6)∪?-6,2?解析 由 a· b<0,即 2λ-3<0,解得 λ<2,由 a∥b 得: ? ? 3 6=-λ,即 λ=-6.因此 λ<2,且 λ≠-6. 三、解答题(共 22 分) 8.解 (1)a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4,

∴cos 45° =

2n-2 2 2 = 2 ,∴3n2-16n-12=0,∴n=6 或 n=-3(舍),∴b=(-2,6). 2 5· n +4

(2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5.又 c 与 b 同向,故可设 c=λb (λ>0),(c-a)· a=0, |a|2 5 1 1 ∴λb· a-|a| =0,∴λ=b· a=10=2,∴c=2b=(-1,3).
2

9.解

1 ∵e1· e2=|e1|· |e2|· cos 60° =2×1×2=1,

2 2 ∴(2te1+7e2)· (e1+te2)=2te2 e2=8t+7t+2t2+7=2t2+15t+7. 1+7te2+(2t +7)e1·

1 由已知得 2t2+15t+7<0,解得-7<t<-2.当向量 2te1+7e2 与向量 e1+te2 反向时, ?2t=λ, 14 14 设 2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则? ?2t2=7?t=- 2 或 t= 2 (舍). ?λt=7 14 14 1 故 t 的取值范围为(-7,- 2 )∪(- 2 ,-2). B组 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1.答案 A →· → =1,且 AB=2,∴1=|AB → ||BC → |cos(π-B),∴|AB → ||BC → |cos B=-1. 解析 ∵AB BC 在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B,即 9=4+|BC|2-2×(-1). ∴|BC|= 3. 2.答案 A 解析 a· b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投影的乘积, 得 a· b=|b||a|· cos 〈a, b〉 , 即-12=3|a|· cos〈a,b〉 , ∴|a|· cos〈a,b〉=-4. 3. 答案 D → =CA → -CP → ,∴|PA → |2=CA → 2-2CP →· → +CP → 2. 解析 ∵PA CA → =CB → -CP → ,∴|PB → |2=CB → 2-2CP →· → +CP → 2.∴|PA → |2+|PB → |2 ∵PB CB → 2+CB → 2)-2CP →· → +CB → )+2CP → 2=AB → 2-2CP →· → +2CP → 2. =(CA (CA 2CD → 2=16CP → 2,CD → =2CP →, 又AB → |2+|PB → |2=10|CP → |2,故所求值为 10. 代入上式整理得|PA 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 专项能力提升

4.答案

2解析

利用向量数量积的坐标运算求解.

a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)· b=(3,3m)· (m+1,1)=6m+3=0, 1 ∴m=-2.∴a=(1,-1),∴|a|= 2. 5.答案 2解析 方法一 坐标法.

以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B( 2, → =( 2,0),AF → =(x,2),AE → =( 2,1),BF → =(x- 2,2), 0),E( 2,1),F(x,2).故AB →· → =( 2,0)· →· → = 2,∴x=1.∴BF → =(1- 2,2). ∴AB AF (x,2)= 2x.又AB AF →· → =( 2,1)· ∴AE BF (1- 2,2)= 2-2+2= 2. → ,BC → 表示AE → ,BF → 是关键. 方法二 用AB → =xAB → ,则CF → =(x-1)AB →. 设DF →· → =AB →· → +DF → )=AB →· → +xAB → )=xAB → 2=2x,又∵AB →· → = 2,∴2x= 2, AB AF (AD (AD AF 2 → → → → ? 2 ?→ → → ?→ ? 2 ?→ ? → +BE → )· ?BC+? -1?AB ? ∴x= 2 .∴BF =BC+CF=BC+? -1?AB .∴AE· BF=(AB ?2 ? ? ?2 ? ? ?→? ? → 1 → ?? → ? 2 =?AB+2BC??BC+? -1?AB? ? ?? ?2 ? ? 1 ? 2 ?→2 1→2 ? 2 ? =? -1?AB +2BC =? -1?×2+2×4= 2. 2 2 ? ? ? ? 6.答案 [1,4] → ,AN → 都用AB → ,AD → 表示,再求数量积. 解析 利用基向量法,把AM 如图所示, → | |CN →| |BM 设 = → | |CD →| |BC → =λBC →, =λ(0≤λ≤1),则BM → =λCD → ,DN → =CN → -CD → =(λ-1)CD →, CN →· → =(AB → +BM → )· → +DN → )=(AB → +λBC → )· → +(λ-1)CD → ]=(λ-1)AB →· → +λBC →· → ∴AM AN (AD [AD CD AD →· → 取得最大值 4;当 λ=1 时,AM →· → 取得最 =4(1-λ)+λ=4-3λ,∴当 λ=0 时,AM AN AN →· → ∈[1,4]. 小值 1.∴AM AN

三、解答题 7.(1)证明 ?1 3? ∵(a+b)· (a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-?4+4?=0, ? ?

故向量 a+b 与 a-b 垂直. (2)解 由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2, 3 ? 1? 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0,而|a|=|b|,所以 a· b=0,即?-2?· cos α+ 2 · sin α=0, ? ? 即 cos(α+60° )=0,∴α+60° =k· 180° +90° , k∈Z, 即 α=k· 180° +30° ,k∈Z, 又 0° ≤α<360° ,则 α=30° 或 α=210° .


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