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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第35届)


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 35 届)
1. m 和 n 都是正整数,a1,a2,...,am 是{1,2,...,n}中不同的数,只要有 ai +aj≤ n(i, j 可能相同)那么就有某个 k 使 ai +aj=ak, 求证(a1+...+am)/m≥(n+1)/2. 2. △ ABC 是等腰三角形,AB=AC,M 是 BC 的中点,O 是线 AM 上的点且 OB⊥AB, Q 为线段 BC 上不同于 B,C 的任意一点,E,F 分别在 AB,AC 上使得 E,Q,F 不同 并共线. 求证:OQ⊥EF 当且仅当 QE=QF. 3. 对任何正整数 k,定义 f(k)为集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二进制表示后恰有 3 个 1 的元素的个数, 求证对于每个正整数 m,存在至少一个 k 使 f(k)=m;并求出使得恰有一个 k 的所有 m 值. 4. 试求出所有的正整数对(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整数. 5. S 是所有大于-1 的实数集,试找出所有的从 S 到 S 的函数 f 满足对所有 x,y, f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且对于-1<x<0 和 0<x,f(x)/x 使严格递增的. 6. 试证明存在满足下列性质的正整数集合 A: 对任何由素数构成的无限集 S, 都有 k≥2 以及两个正整数 m,n,m ∈A, n 不∈A,m 和 n 都是 S 中 k 个不同元素的乘积.



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