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2013高考数学(理)一轮复习教案第八篇 立体几何第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系


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第3讲

空间点、直线、平面之间的位置关系

【2013 年高考会这样考】 1.本讲以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象 能力. 2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题. 3. 能运用公理、 定理和已获得

的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 【复习指导】 1.掌握平面的基本性质,在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、 线、面的位置关系及等角定理. 2.异面直线的判定与证明是本部分的难点,定义的理解与运用是关键.

基础梳理 1.平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在 这个平面内. (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. (3)公理 3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他 公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类

?共面直线?平行 ? ? ?相交 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内 ?
(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b, 把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做异面直线 a,b 所成的角(或夹角).
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π? ? ②范围:?0,2?. ? ? 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互 补.

两种方法 异面直线的判定方法: (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线 是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线 异面. 三个作用 (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断 直线上的点在平面内. (2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的 方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共 线. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)下列命题是真命题的是( A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 解析 空间中不共线的三点确定一个平面,A 错;空间中两两相交不交于一点的 三条直线确定一个平面,B 错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C 错;故 D 正确. ).

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答案 D 2.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 ).

B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

解析 由已知直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线, 但不可能为平行直 线,若 b∥c,则 a∥b,与已知 a、b 为异面直线相矛盾. 答案 C 3.(2011· 浙江)下列命题中错误的是( ).

A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析 对于 D, 若平面 α⊥平面 β,则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β,甚至 可能平行于平面 β,其余选项均是正确的. 答案 D 4.(2011· 武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱 中共有异面直线( A.12 对 解析 ). C.36 对 D.48 对

B.24 对

如图所示,与 AB 异面的直线有 B1C1;CC1,A1D1,DD1 四条,因为各棱具有相 同的位置且正方体共有 12 条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线 24(对). 答案 B 5.两个不重合的平面可以把空间分成________部分. 答案 3 或 4 12×4 2 =

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考向一

平面的基本性质

【例 1】?正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点, 那么,正方体的过 P、Q、R 的截面图形是( A.三角形 B.四边形 C.五边形 ). D.六边形

[审题视点] 过正方体棱上的点 P、Q、R 的截面要和正方体的每个面有交线. 解析

如图所示,作 RG∥PQ 交 C1D1 于 G,连接 QP 并延长与 CB 交于 M,连接 MR 交 BB1 于 E,连接 PE、RE 为截面的部分外形. 同理连 PQ 并延长交 CD 于 N,连接 NG 交 DD1 于 F,连接 QF,FG. ∴截面为六边形 PQFGRE. 答案 D 画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两 个公共点即可确定. 作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更 快的确定交线的位置. 【训练 1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中 点,则四个点共面的图形是________.

解析

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在④图中,可证 Q 点所在棱与面 PRS 平行,因此,P、Q、R、S 四点不共面.可 证①中四边形 PQRS 为梯形;③中可证四边形 PQRS 为平行四边形;②中如图所 示取 A1A 与 BC 的中点为 M、N 可证明 PMQNRS 为平面图形,且 PMQNRS 为正 六边形. 答案 ①②③ 考向二 【例 2】?如图所示, 异面直线

正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. [审题视点] 第(1)问,连结 MN,AC,证 MN∥AC,即 AM 与 CN 共面;第(2)问 可采用反证法. 解

(1)不是异面直线.理由如下: 连接 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1.又∵A1A 綉 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCDA1B1C1D1 是正方体,

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∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B?平面 α,CC1?平面 α, ∴D1,B、C、C1∈α,与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线. 证明两直线为异面直线的方法 (1)定义法(不易操作). (2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条 件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. 【训练 2】 在下图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

解析 如题干图(1)中,直线 GH∥MN; 图(2)中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN,因此直线 GH 与 MN 异面; 图(3)中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图(4)中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, ∴GH 与 MN 异面.所以图(2)、(4)中 GH 与 MN 异面. 答案 (2)(4) 考向三 异面直线所成的角

【例 3】?(2011· 宁波调研)正方体 ABCDA1B1C1D1 中. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. [审题视点] (1)平移 A1D 到 B1C, 找出 AC 与 A1D 所成的角, 再计算. (2)可证 A1C1 与 EF 垂直. 解

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(1)如图所示,连接 AB1,B1C,由 ABCDA1B1C1D1 是正方体, 易知 A1D∥B1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° .

(2)如图所示,连接 AC、BD,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, AC⊥BD,AC∥A1C1, ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD,∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° . 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种 类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平 移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 【训练 3】 A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线, EF 与 BD 共面, 则 从而 DF 与 BE 共面,

即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的 一点相矛盾.故直线 EF 与 BD 是异面直线. (2)解

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如图,取 CD 的中点 G,连接 EG、FG,则 EG∥BD,所以相交直线 EF 与 EG 所成的角,即为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG=2AC,求得∠FEG=45° ,即异面直线 EF 与 BD 所 成的角为 45° . 考向四 【例 4】?正方体 点共线、点共面、线共点的证明

ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. [审题视点] (1)由 EF∥CD1 可得; (2)先证 CE 与 D1F 相交于 P,再证 P∈AD. 证明 (1)如图,连接 EF,CD1,A1B.

∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1,

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∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈CE,CE?平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE、D1F、DA 三线共点. 要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就 是利用平面的基本性质 3,即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定 一直线,然后证明另一点也在此直线上.

【训练 4】 如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中 CF CG 2 点,F、G 分别是边 BC、CD 上的点,且 = = ,求证:三条直线 EF、GH、 CB CD 3 AC 交于一点. 证明 ∵E、H 分别为边 AB、AD 的中点, 1 CF CG 2 ∴EH 綉2BD,而CB=CD=3, FG 2 ∴BD=3,且 FG∥BD. ∴四边形 EFGH 为梯形,从而两腰 EF、GH 必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF,EF?平面 ABC,∴P∈平面 ABC. 同理,P∈平面 ADC. ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上,故 EF、GH、AC 三直线交于一点.

阅卷报告 10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误

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【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面 上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时, 各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断. 【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析. 【示例】?(2011· 四川)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 错因 受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情况. 实录 甲同学:A 乙同学:C 丙同学:D. 正解 在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故 A 错;两平行线 中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B 正确;相互平行 的三条直 线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 错;共点的三条直线不一定共面, 如三棱锥的三条侧棱,故 D 错. 答案 B 【试一试】 (2010· 江西) ).

过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都 相等,这样的直线 l 可以作( A.1 条 C.3 条 [尝试解答] ). B.2 条 D.4 条 如图,连结体对角线 AC1,显然 AC1 与棱 AB、AD,AA1 所成的角都

相等,所成角的正切值都为 2.联想正方体的

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其他体对角线,如连结 BD1,则 BD1 与棱 BC、BA、BB1 所成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,同理,体对角线 A1C、DB1 也与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等,过 A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线 都满足题意,故这样的直线 l 可以作 4 条. 答案 D

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