tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2009年全国高中数学联赛湖北省预赛试题


8 8  

数 学 通 讯— — 2 0 O 9年 第 l 1 、 1 2期 ( 上 半 月)  

? 课 外 园地 ?  

2 0 0 9年全 国高 中数 学联 赛 湖北 省 预 赛试 题 




填 空题 ( 本 题满 分 5 6分 , 每小 题 7  <

br />
( 1 ) 证明: 对 一切  ∈ N, 有口 井 2 —2 n  l  
— a  + 2;  

分. )  

1 . . 已知复数 m满 足  +  一 1 , 则i n , 2 0 0 8  
m  
。  

( 2 ) 证明: 1 +1 +… +
al   口2



L <1 .  

( Z 2 0 0 9  

1  
2 OD 9 — — ’  

1 O . 求 不定 方程 X l +X 2 +z 3 +3 z 4 +3 z 5   +5 x e = = : 2 1的正整数 解 的组数 .  

l  

2 . 设  ) : 丢 c o s   计  s i r l X C O S X + 2 ’  
∈ [ 一 詈 , 号 ] , 则, ( z ) 的 值 域 为 ——.  
3 .设等 差数列 { 口   ) 的前  项和 为 S   , 若 
S 。  > o , S 。  < 0 , 则  ,   , …, S I A s中最 大 的 
_ _ _

1 1 .已知 抛物线 C: Y一   z   与直线 z : Y  


k x一1 没有公 共点 , 设 点 P为直线 z 上的动 

点, 过 P作 抛物线 C 的两条切线 , A, B 为  切点.   ( 1 ) 证明: 直线 A B 恒过定 点 Q;   。  

( ‘l  

a2  

Ul 5  



( 2 ) 若点 P与 ( 1 )中的定 点 Q 的连 线交 
. 
— —

4 .已知 0是锐 角 △A B C 的外心 , A B: : :  

抛物 线 C 于 M , N 两 点,证 明:  


6 , A C一 1 0 , 若A - 5 一z A - g+  
1 0 y; 5 , 则 c o s  B AC 一
— —

, 且2 z +  
. 

I   Q M  l   l   Q N   l 。  
l 2 . 设口 , b , C , d为正实数 , 且口 +b +C + 

5 . 已知 正方 体 A B C D_ A   B 。 C 。 D。的棱  长为 1 , 0为底面 AB C D 的中心 , M, N分别是  棱 A。 D  和 C c  的 中点 , 则 四面 体 O - MNB。  

d一 4 . 证明:  
+  5 2+ 了 C 2+ d 2≥ A a 6 十  十  十 


的体 积为—



.  



4+ ( -6 4十  a- ) , 。 . ?  

6 . 设 A   U   B   U   C一 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) , 且 

A  n   B= ( 1 , 2 ) , { 1 , 2 , 3 , 4 )   B   U   C, 则符 合 
条件 的 ( A, B, C )共 有
— —

{ 雷 } 芍 否 渠 
— —

组 .(   注: A,  



1 .0 .  

B, C顺 序 不 同视 为不 同组)  
7 . 设  — s i n x+ C O S X+ t a n x+ c o t x+ 

由 m+  
m  

一1 , 得  一 m+ 1= 0 , 从而 m 。 +1  

= ( m+1 ) ( m 一 m + 1 )一 0, 即 m。一一 1 .  

s e c x+C S C . . Z ' , 则 J   Y   I 的最 小值为





. 

因此, m2 D 0  + 

( m。 )   6 9?m + 
一 一 m + m = 0.  

8 . 设 P是 给定 的正偶数 , 集 合 A  一{  l  
2  < z< 2   ,  一 3 m, m ∈ N) 的所 有元素  的和是  .  
2 . [ 2 , 2  

二、 解答 题 ( 本题满分 6 4分 , 第 9题 1 4  

分。 第1 O题 1 5分 , 第1 1 题1 5分 . 第1 2题 2 0  
分. )  

f ( x ) 一 ÷ c o s 2 z + √ - F   s i n x c o s x + 2 一 ÷ ( 1 +  

9 .设数 列 { n   ) (  ≥ 0 ) 满足 n  一 2 , a  

c 。 s 2 z ) + 每   2 z + 2 = ÷ s i n ( 2 z + 詈 ) +   9 .  
? 。



+口   一   一m+  一 去( 口 2   +Ⅱ 2   ) , 其中/ 7 l ,  ∈  
厶 
?
. .

z ∈ [ 一 詈, 号 ] ,   . 2   + 詈∈E 一 詈,  ] ,  

N, 7 r t ≥ , z .  

s i n ( 2 z + 詈 ) ∈E 一   1 , 1 ] , 所 以. 厂 ( z ) 的 值 域 为  

?

课 外 园地 ?  

数 学 通讯 — — 2 0 o 9 年第 1 1 、 1 2期 ( 上半 月)  

8 9  

法; 再安排元素 5 , 6 , 可 供 选 择 的 区 域 为 m, n , t , s , r ,   [ 2 , 2  
各有 5 种选法.  

3 . 量 
a8  

因此 , 符合条件 的( A, B, C ) 共有 z ×2 ×4 ×4×  
5× 5— 1 6 O O ( 组) .  

由s  一 1 5 n B >o , 知口   >o , 再 由s  一  
×1 6< 0知 a 9< 0 .  

7. 2  

一 1 .  

— s i n z+ c 。 s z十 



+ 
. 

所以, 当9 ≤ ≤ 1 5 时,   <o . 当1 ≤ ≤ 8 时,  

令£ ;s i n x +c o s z , 则s i n x c o s x 一÷( £ 。 一1 ) , 其  
> 0.  
n ^ 

中 I   t   I ≤  , 且 l   t   I ≠ 1 .  
—  

且由口 l> a 2> … > 口 8> 0, S l < S z< … < 

S, 知  最 大 .  

+ 去 +   一 c + 告 
+1 .  
l   t—

一 t 一1 +÷
、 

4 . ÷ .  
因为 0 是 z  ̄ A BC 的 外 心 , 所 以  ?   一  
. 

当 £ > 1  ̄ t , t -1 + 
+ 1  

≥ 2   , 此 时 Y≥ 2  

l  

I . 1  
又 

卜c 0 s LO AC = 了 1  l  
+j ,   , 所以( z  

l  
+  

5 0
) ?  

:  

当£ <1 时, 一  =l 一£ + r  一 l ≥2   一1 .   故 I   I ≥2   一1 , 且当t =l 一   时 ,l   l 一 



5 o , 即 


1  

I . c 0 s  B Ac+ ? I  

l 。 =5 0 ,  

2  

一 1.  

即 6 0 x ?C O S   B AC + 1 0 0 y一 5 0 .  

因 此 ,l   y   l 的最小值为 2 √ 2 —1 .  
8. 2 。 r 一 2   .  

因为 △A B c是锐角 三角形 , 易 知 z≠ 0 , 所 以 

c 。 s / S A C 一  
5? — 4 — 8  

一  一 ÷ ;  

2 ’+ 2; ( - 1 )  + 2= 1+ 2= 0 ( mo d 3 ),   2 升l一 2   E  2 ( - 1 )  一 2; 2— 2   1  0 ( m ̄ d 3 ) .  

集合 A ,中 的元 素 组 成 以 3 为 公 差 的 等 差 数列 ,   其首项为 2   +2 , 末项为 2 升  一2 .  
设 共 有  项 , 由2 一  一 2= 2   +2 +3 (  一 1 ) , 得 
2  一 1  

如图 1 , 过 O作 AB 的平 
行线 , 分别与棱 A D, B C交 于 
点 E, F, 连结 B E, 并取 B F 的 

中点 Q .  

一丁
}B E}  B1 M,  

‘  
一  

集合 A ,的 所 有 元 素 的 和 S 一  

则 ∞ ∥ 平 面 MNB1 .  
故 、 , o _ M N 日 ,一 、 ,  ^   B ,  
又 S A N Q B l— S 麟 1 B l— S △  
,  

二  . 1   ! ±  ±  : 二   一2 z   一2  .  
3   2  

二、 9 . ( 1 ) 在 已知 关 系 式 口   +口 一  一 m+ , l 一  
1(

】  

3  

1  

7  

一l 一 百 一而 一 百  而 ‘  

n z  + n h) 中, 令m— n , 可得 a 。一 O ;  
令  一 0 , 可 得 

故  一 。   = ÷ s  a  
6. 16 0 0.  

口 2  一 4 a  一 2 m 
令 m 一 ”+ 2 , 可 得 
2 + n 2— 2- 一  1( 口  


① 

画出韦恩 图 , 将 A   U   B   U   C分 成 七 个 区域 ( 如图 2 ) .   先安排元素 1 , 2 , 可 供选择 的   区域为 P , q , 各 有 2种 选 法 ;   再安排元素 3 , 4 , 可 供选择 的   区域 为 ” , t ,   , r , 各 有 4种 选 
图2  

t - a 2 n )  

② 

由① 得 口 2 计2 : 4 口 升l 一2 (  + 1 ) , n 2= 4 a l 一2  
— 6, 丑 z  4— 4 a 计z一 2 (  + 2 ) , n 2  : 4 a  一 2 n,  

代人 ② , 化简得 n  2— 2 n  1 一n   十2 .  
( 2 )由 口  2— 2 n  l 一口  + 2, 得( n 计2 一a  ̄ 4 - 1 )= 

9 0  

数 学通 讯— — 2 O O 9 年第1 1 、 1 2期 ( 上半月)  

? 课 外 园地 ?  

( 口  l —a   ) +2 , 故 数 列  计 l 一4   } 是 首项 为 a l —a o   =2 , 公差为 2 的等差数列 , 因此 口  。 一a  = 2 n +2 .  





 

+  壁   _  
Xo一   X o—  

:o
.  

设 M( x 3 , Y 3 ) , N( x 4 , Y 4 ) , 则 

于 是口 。 一∑ ( n 。 一 n  ) + 口 。 一∑ ( 2   ) + o  
= l   ^; l  

  .

2 k xo一 4

( 2 k 0— 2 ) z o一 2 k  

。 十 ‘一  

二T ’ 勋 矗  ——■ = _

 
① 

— n ( n+ 1 ) .  

因 为土

aw

1  


 

1  



寺 1   一   _ l 1   (   ≥ 1 ) , 所 以  

要证  I   P N  l  一  J   0 2 q   l   ,只需 证 明— X 3 - — X o= 
甄 一 面  


口 l  口 2  

+  +… + — L =( 1 -虿 1
0 - 2 0 0 9  

Z   ) + ( ÷ Z   一 ÷ )  
Z‘ 一 R 

即 

’   ② 

+ … +   一   _ 1 ) 一 1 一   _< l 1 .  
1 0 .令 X l +X 2 +X 3   z, z 4 + 5 一Y , z 6   ,  

2 x 3 丑 一( 点+ z o ) ( z 3 +z I ) +2 k x o= 0   由① 知,  

则 z≥ 3 , Y≥ 2 , z≥ 1 .  

② 式左 边 :  
+ 2如 。   o.  

呈   孕二  一 ( 愚+ 面)  
a T. o一  

先 考虑 不 定 方 程 z +3  + 5 z一 2 1 满 足 X≥ 3 ,  
Y≥ 2 , z ≥ 1的 正 整 数 解 .  
z≥ 3 , y≥ 2 , z ≥ 1 , . . . 5 z一 2 1 一z 一3  ≤ 1 2 ,  
. . . 1≤ z≤ 2 .  

故 ② 式成立 , 从 而结 论 成 立 .  

1 2 .因 为 n +6 +c + d= 4 , 要 证 原 不等 式 成 立 ,  
等价于证 明  
az

当z =1 时, 有z +3 y= 1 6 , 此方 程 满 足 工≥ 3 ,   y≥ 2的 正整 数 解 为 ( z, j , )= ( 1 0 , 2 ) , ( 7 , 3 ) , ( 4 , 4 ) .   当  一 2 时, 有z +3 y一 1 1 , 此方 程 满 足 z≥ 3 ,   Y≥ 2的 正整 数 解 为 (  ,   )= ( 5 , 2 ) .  
所 以不 定 方 程 + 3  +5 z =2 1 满足 x ≥3 , Y≥ 

十了 b z 十  c z十  d z  

≥n +6 十c +d十 干 4 (   a 干 -  b ) 干 2  
口 十 D十 C 1- n  

① 

2 ,  ≥ 1 的正整数解 为 (  , y , z ); ( 1 0 , 2 , 1 ) , ( 7 , 3 ,  
1 ), ( 4, 4, 1 ) , ( 5 , 2 , 2 ) .  

事实上 ,  

车+芝+  +   一( 。 + 6 +   +d )  
0  C   d  a 


又方程 z 1 +  2 +z   一x ( x∈ N, z≥ 3 ) 的 正 整 

数 解 的 组数 为 C   , 方程 X   十z s— y ( y∈ N, y≥ 2 )  

( 譬 + 6 — 2 n ) + ( 譬 + c 一 2 6 ) + ( 导 + d  
2 c )+ (   + n一 2 d )  
— 

的正整数解的组数 为 c L   , 故 由分步计数原理知 , 原 
不 定 方 程 的 正 整 数解 的组 数 为 
C 5 C } +c i C 5 +C i C { +c i C j  
= 3 6+ 3 0+ 9+ 6— 8 1 .  


1( 口- -b ) 。 + 

D  
d 



( 6 一 c   + 吉 Ⅱ   ( c —   ) 。  
一  ② 

+上 ( d一口 ) 。  

1 1 . ( 1 ) 设A ( x l , Y 1 ) , 则Y 1 一 ÷z  

由柯 西 不 等 式 知  

由Y =÷z   得Y   =z , 所以Y   I 一  =z   .  
于是 抛 物 线 C在 A 点 处 的 切 线 方程 为 Y —y l — 
X1 ( z— z 1 ) , 即 y   zl 3 7 , 一Y 1 .  

[   0   + 

C  

+  

. 一



(  一 口 )  
 

口 

n 

] ( n  

+b +C +d ) ≥ ( I   n —b   I +I   6 一c   I +I   c —d   l +l   d—  a   I ) 。   ③ 

设 P( 勘, 如。 一1 ) , 则有 垃。 一1 =I o  l —Y 1 .  
设 B( x 2 , Y 2 ) , 同理有 如。 一 l= z o z 2 一Y 2 .  

又由 1   b —C   I +I   C —d   I +} d一 口I ≥l   b 一 口l 知  ( I 口 一b   I +l   6 一C   l +l   c —d   l +l   d —a   1 )   ≥4 ( a 一6 )   ④ 

所 以 AB的方 程 为  z o 一1 =X 0 X -Y, 即z o ( z 一  ) 一(  一 1 ) 一0 , 所 以直 线 A B 恒 过定 点 Q( k , 1 ) .  
( 2 ) P Q 的方 程 为 Y 一 —  ̄ 2 7 _ , o __ - 7 (  一 ) +l


由②, ③, ④, 可知 ① 式成立 , 从 而 原 不 等 式 成 
立.  

与 抛 

物线方程 Y= ÷  联 立 , 消去 Y , 得 


推荐相关:

2009全国高中数学联赛湖北省预赛试题参考答案和评分标准

2009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 7 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可...


2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛.doc

2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛.doc2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛.doc隐藏>> 2009 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准说明: 说...


2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案

更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》 2010 年全国高中数学联赛湖北省预赛 2010 年全国高中数学联赛湖北省预赛由湖北省数学竞赛组织委员会...


2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题(含答案和解析)

2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题(含答案和解析)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准说明: 1. 评阅试...


2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90...


2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及参考答案

2010 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案 (高一年级)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;第 9 小题 4 分一档,...


2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二)试题参考答案

2011 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛(高二年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在...


2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)

2015全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案(高二)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准(高二年级)说明: 1. 评阅试卷时,请依据...


2009年全国高中数学联赛吉林省预赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛吉林省预赛试题及答案_数学_自然科学_专业资料。声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com