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2013艺术班数学基础知识专题训练 3个月文数突破90分


基础知识专题训练 01 一、考试要求 内 集合及其表示 子集 集合 二 .基础知识 1、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 交集、并集、补集 容 等级要求 A √ √ √ B C





(2)集合与元素的关系用符号 ? , ? 表示。 (3) 常用数集的符号表示: 自然数集 ; 正整数集; 整数集 ;

有理数集 、 实数集 。 (4)集合的表示法: 、 、 注 意 : 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 : 如 : A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ;
(5)空集是指不含任何元素的集合。 {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系) ( 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。(注意: A ? B ,讨论时不要遗忘了 A ? ? 的情况。) 2、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 (2) A ? B ? {________________} ; A ? B ? {________________} ; CU A ? {_______________} (3)对于任意集合 A, B ,则: ① A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ A ? B ; ② A? B ? A ? ; A? B ? A ? ; CU A ? B ? ? ? ; ;

CU A ? B ? U ?

3、集合中元素的个数的计算: 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是 __________,所有非空真子集的个数是 。 三.基础训练 1.设集合 P ? ?1,2,3,4?, Q ? ?x ? ?? ? x ? 2, x ? R? ,则 P ? Q 等于 ( A、{1,2} B、{3,4} C、{1} D、{-2,-1,0,1,2} ) )

2.已知全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1,2,5} , CU B ? {4,5,6} ,则集合 A ? B ? ( A. {1,2} B. {5} C. {1,2,3} D. {3,4,6}
1

3. 已知集合 A ? {x | y ? 2 x ? 1} , B ? { y | y ? x 2 ? x ? 1} ,则 A ? B 等于 ( A. {( 0,1), (1,3)} B.R C. (0,??)



4.设 A ? ( x, y ) y ? ?4 x ? 6 , B ? ( x, y ) y ? 3 x ? 8 ,则 A ? B ? ( 5. 已知集合 M 满足 M ? ? , 2? ? ? , 2, 3? , 则集合 M 的个数是( 1 1 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. A= ? x ? x ? 1? ? 3x ? 7? ,则 A ? Z 的元素的个数
2

?

?

?

?

3 D. [ ,??) 4
)

A.? ( 2? ? ) , 1

B? . ? 2 ? ( ,

2 ) C?

? ?( 3 , .

1D ) ?

??. ( 4,


2) .

. 个

7. 满足 {a} ? M ? {a, b, c, d} 的集合 M 有
2

8、集合 A ? {x | ax ? (a ? 6) x ? 2 ? 0} 是单元素集合,则实数 a= 9. 集合 A ? {3,2 }, B ? {a, b}, 若A ? B ?{2}, 则A ? B ? ____________________.
a

x 10. 已知集合 M= {x | y ? lg(1 ? x)} ,集合 N ? { y | y ? e , x ? R}(e 为自然对数的底数) ,则 M ? N =

11..已知集合 M ? {0,1,2}, N ? {x | x ? 2a, a ? M }, 则集合M ? N 等于 12. 设全集为 U ,用集合 A、B、C 的交、并、补集符号表图中的阴影部分。 U A U A

B

B

(1)______________

(2)_________________

基础知识专题训练 02 一、 考试要求 内 常用 逻辑 用语 命题的四种形式 全称量词与存在量词 简单的逻辑联结词 必要条件、充分条件、充分必要条件 二 基础知识 1、 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} , 若 ;则 p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____B ; √ √ 容 A √ √ 等级要求 B C

2



;则 p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____B ; ;

2、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 注意: “若 ?p ? ?q ,则 p ? q ”在解题中的运用, 如: sin ? ? sin ? ”是“ ? ? ? ”的 “ 条件。 3.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”“任意一个”等,用 ? 表示; 、

全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词--------“存在一个”“至少有一个”等,用 ? 表示; 、 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ; 4. (1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念:当“若 p 则 q”形式的命题为真时,就记作 p ? q,称 p 是 q 的充分条件,同时称 q 是 p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念,对于符号“ ? ”要熟悉它的各种同义词语: “等价于”“当且仅当” , , “必须并且只需”“??,反之也真”等. , (3)数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据, 又是概念所具有的性质. (4)从集合观点看,若 A ? B,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A、B 互为充要条 件. (5)证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即 条件的必要性). 三.基础训练 1. 命题“ 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是( ... A. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 C. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1 )

B.若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 D. 若a ? b, 则a ? 1 ? b ? 1
2

2.已知原命题: “若 m ? 0 ,则关于 x 的方程 x ? x ? m ? 0 有实根, ”下列结论中正确的是 ( A.原命题和逆否命题都是假命题 C.原命题和逆命题都是真命题 B.原命题和逆否命题都是真命题 D.原命题是假命题,逆命题是真命题



? 3.已知命题 p: x ? R,使 tan x ? 1,命题 q: ? 3x ? 2 ? 0 的解集是 {x |1 ? x ? 2} ,下列结论: x2
①命题“ p ? q ”是真命题; ②命题“ p ? ?q ”是假命题; ③命题“ ? p ? q ”是真命题; ④命题“ ? p ? ? q ”是假命题 其中正确的是( A.②③ ) B.①②④ ) C.①③④ D.①②③④

4.有关命题的说法错误的是 ( ..

A.命 题“若x 2 ? 3x ? 2 ? 0 则 x ? 1 ”的 逆 否 命 题 为: x ? 1 , 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”. “若 B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.
3

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题. D.对于命题 p : ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 .
2 2

5.如果命题“ p 且 q ”是假命题, “非 p ”是真命题,那么( A.命题 p 一定是真命题 C.命题 q 一定是假命题
2

)

B.命题 q 一定是真命题 D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题 )

6. “ x ? ?1 ”是“ x ? x ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

7.命题“若函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则 loga 2 <0”的逆否命题是( A.若 log a 2 <0,则函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 B.若 log a 2 ≥0,则函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 C.若 log a 2 <0,则函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 D.若 log a 2 ≥0,则函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 8. 已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 0 ,则 ?p :
x

9. 命题“ ?x ? 0 ,有 x 2 ? 0 ”的否定是 . 2 10. 若命题“ ? x∈R,使 x +(a-1)x+1<0”是假命题,则实数 a 的取值范围为
2 , 11. 命题 p : a ? M ? {x | x ? x ? 0} ;命题 q : a ? N ? {x || x |? 2} p 是 q 的

. 条件.

12. 已知非零向量 a, b, c, 则 a ? b ? a ? c 是 b ? c 的

条件

13. m =-1 是直线 mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 和直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直的________________条件 14.设 f ( x ) , g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x ) , g ( x) 均为偶函数”是“ h( x) 为偶函数”的 条件

基础知识专题训练 03 一、考试要求 函 概 与 本 等 数 数 念 基 初 函 内 容 等级要求 A B √ √ C

函数的有关概念 函数的基本性质

二 .基础知识 1、函数的概念 2、函数的三要素: , , 。 (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑) :②换元法:③待定系数法:④赋值法:
4



(2)函数定义域的求法: ①y?

f ( x) ; ② y ? 2n f ( x) (n ? N * ) ;③ y ? [ f ( x)]0 ; ④ y ? log f ( x ) g ( x) ; g ( x)
ax ? b , x ? (m, n) ;④换元法;⑤三角有界法; cx ? d

(3)函数值域的求法; ①配方法:②分离常数法(或求导)如: y ?

⑥基本不等式法;⑦单调性法; ⑧数形结合等; 3、函数的性质: (1)单调性:定义() ;注意定义是相对与某个具体区间而言。判定方法:定义;导数;复合函数和图像。 (2)奇偶性:定义() ;注意区间是否关于原点对称,比较 f(x) 与 f(-x)的关系。 f(x) -f(-x)=0 ? f(x) =f(-x) ? f(x)为偶函数 ? 图像 关于()对称; f(x)+f(-x)=0 ? f(x) =-f(-x) ? f(x)为奇函数 ? 图像 关于()对称。 (3)周期性:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期(T 为非零常 数) 4、函数图像变换: (1)平移变换 ; (2)对称变换 ; (3)伸缩变换 三.基础训练 1.设 f ( x) ? ? A. 10

? x ? 2, ( x ? 10) 则 f (5) 的值为( ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)
C. 12 D. 13 )



2. 下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ?

B. 11

1 x

D. y ? ? x 2 ? 4 )

3.若偶函数 f (x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? )

3 2

3 2

3 2 3 D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2
B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2) )

4.已知 f ( x) ? ax 3 ? bx ? 4 其中 a , b 为常数,若 f (?2) ? 2 ,则 f (2) 的值等于(

A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?10 5.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学 校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( ) d d0 O A. (A) y ? ? x , x ? R
3

d d0 t0 t B. O t0 t

d d0 O C. ( ) (B) y ? sin x, x ? R (D) y ? ( ) , x ? R
5

d d0 t0 t O D. t0 t

6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

(C) y ? x, x ? R

1 x 2

7.若函数 f (2 x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f (3) = 8.函数 y ?

. 。

x?2 的定义域 x2 ? 4

9.函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1的最小值是_________________。 10.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f (x) 的递减区间是 .

11.若函数 f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。 12、函数 y ? ? (x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为 个。

13.函数 f(x)=(x-1)

1? x 的奇偶性___; 1? x

14. f ( x) ?

a 2x ? a ? 2 · 为奇函数,则实数 a =____ 2x ? 1

15.已知 f ( x) ? 2 f ( ?x) ? 3x ? 2 ,则 f ( x ) 的解析式为____________________

基础知识专题训练 04 一、考试要求 函 概 与 本 等 数 二 .基础知识 1.指数函数: y ? a (a ? 0, a ? 1)
x

数 念 基 初 函

内 指数与对数



等级要求 A B √ √ √ C

指数函数的图象和性质 对数函数的图象和性质

指数运算法则: 指数函数:y= a
x







(a>o,a≠1),图象恒过点(0,1) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分

a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 a ?1 图象 定义域 值域 (1)过定点( ) (2)当 x ? 0 时,__________; x ? 0 时___________. (3)在( )上是______________

0 ? a ?1

性质

(2)当 x ? 0 时,__________; x ? 0 时__________. (3)在(
6

)上是_______________

2.对数函数: y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 指数运算法则: 对数函数:y= loga x ; ; ;

(a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分

a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 a ?1 图象 定义域 值域 (1)过定点( ) (2)当 x ? 1 时,________________ 当 0 ? x ? 1 时________________ (3)在______________是增函数 注意: (1) y ? a x 与 y ? loga x 的图象关系是

0 ? a ?1

性质

(2)当 x ? 1 时,__________________ 当 0 ? x ? 1 时___________________ (3)在_____________是减函数 ;

(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底 数的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 三.基础训练 1、 如图为指数函数 (1) y ? a x ,(2) y ? b x ,(3) y ? c x ,(4) y ? d x , a,b,c,d 与 则 1 的大小关系为 ( (A) a ? b ? 1 ? c ? d (C) 1 ? a ? b ? c ? d 2、函数 y ? ) (B) b ? a ? 1 ? d ? c (D) a ? b ? 1 ? d ? c
1

y

a b

c d

O

x ?1 的图象可以看成由幂函数 y ? x 2 (
B. 向上平移 1 个单位 D. 向下平移 1 个单位

)得到的。

x

A. 向左平移 1 个单位 C. 向右平移 1 个单 3、函数 y ? a x ? (b ?1)

( ) (a ? 0, a ? 1) 的图象不经过第二象限,则有 (A) a ? 1, b ? 1 (B) 0 ? a ? 1, b ? 0 (C) a ? 1, b ? 0 (D) 0 ? a ? 1, b ? 0 x 4、函数 f ( x) ? lg(2 ? b) ( b 为常数) ,若 x ??1, ?? ? 时, f ( x) ? 0 恒成立,则( ) (A) b ? 1 (B) b ? 1 (C) b ? 1 (D) b ? 1 5、设函数 y ? lg( x ? 5x) 的定义域为 M , y ? lg( x ? 5) ? lg x 的定义域为 N ,则(
2



A. M ? N ? R 6、函数 f ( x) ? A. (? , ??)
2

B. M ? N

C. M ? N

D. M ? N

1 3

3x ) ? lg(3x ? 1) 的定义域为( 1? x 1 1 1 B. ( ? ,1) C. (? , ) 3 3 3

D. (??, ? )

1 3

7、 .若函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 等于

7

A.

1 4

B.

2 2

C.

2 4

D. 1
2

8、函数 y ? a x?2 ? 1.(a ? 0 且 a ? 1) 的图像必经过点(



A.(0,1)

B.(1,1)

C.(2,0)

D.(2,2)
) D.k>0,b<0

9.已知直线 y ? kx ? b 经过一、二、三象限,则有( A.k<0,b <0 B.k<0,b>0 C.k>0,b>0

10.在下列图象中,二次函数 y ? ax2 ? bx 与指数函数 y ? ( ) 的图象只可能是(
x

b a



y
1 -1

y
1 1

y
1

o A.

x

o B.

1

x

-1

o C.

x

o D.

1

x

2 11、 函数 y ? f ( x) 的图象与 g ( x) ? log2 x ( x ? 0) 的图象关于直线 y ? x 对称, f (?) 的值为________ 则
12、已知 f ( x) ? ?

?log 2 x ? x ?3 ?

( x ? 0) ( x ? 0)

,则 f [ f (1)] ? _____________.

艺术班基础知识专题训练 05 一、考试要求 函数概念与 基本初等函 数 内 幂函数 函数与方程 二 .基础知识 1 常用的初等函数: (1)一元一次函数: y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减函数; (2)一元二次函数:一般式: y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是
2



等级要求 A √ √ B C

;顶点为 ; ;



两点式: y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ;对称轴方程是 顶点式: y ? a( x ? k ) ? h ;对称轴方程是
2

;与 x 轴的交点为 ;顶点为

①一元二次函数的单调性: 当 a ? 0 时: 为增函数;

为减函数;当 a ? 0 时:
2

为增函数;

为减函数;

②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 y ? a( x ? k ) ? h 的形式,
8

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则 a ? 0 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得; Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则 a ? 0 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得; 有三个类型题型:(1)顶点固定,区间也固定。如: y ? x 2 ? x ? 1, x ? [?1,1] (2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之 外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. y ? x 2 ? x ? 1, x ? [a, a ? 1] ③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x 2 ;则: 根的情 况 等价命 题 充要条 件 注意:若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布的 情况,得出结果,在令 x ? n 和 x ? m 检查端点的情况。 2.指数函数: y ? x 函数 n y=x 定义 域 值域
a

x1 ? x2 ? k
在区间 (k ,??) 上有两 根

x1 ? x2 ? k
在区间 (??, k ) 有两 根

x1 ? k ? x2
在区间 (k ,??) 或 (??, k ) 有一 根

n>0 y=x R R y=x R [0,+∞)
2

n<0
3

y=x R R

y=x [0,+∞] [0,+∞)

-1

{x|x≠0} {y|y≠0}

图像

幂函数的性质:所有幂函数在_______________都有定义,并且图象都过点 (1,1) ,因为 y ? 1a ? 1 ,所以在 第________象限无图象; 3.函数与方程 (1)方程 f(x)=0 有实根 函数 f(x)的图像与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点。 (2)函数在区间[a,b]上的图像是连续的,且 f(a)f(b)<0,那么函数 f(x)在区间[a,b] 上至少有一个零点。 三.基础训练
9

1、函数 y ? x 的单调递减区间是 ( A、 (??,1] 2、函数 y ? B、 (??, 0]

2 5

) C、 [0, ??)
1

D、 (??, ??) )得到的。

x ?1 的图象可以看成由幂函数 y ? x 2 (

A. 向左平移 1 个单位 C. 向右平移 1 个单位
2

B. 向上平移 1 个单位 D. 向下平移 1 个单位 )

3.二次函数 y=x +2x-7 的函数值是 8,那么对应的 x 的值是( A.3 B.5 C.-3 和 5
2

D.3 和-5 )

4.在同一直角坐标系中,一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax +c 的图象大致为( y O A A.至少有一实根 x O B B.至多有一实根 y x O C y x O D y x

5.已知函数 f (x)在区间 [a,b]上单调,且 f (a)?f (b)<0,则方程 f (x)=0 在区间[a,b]内( C.没有实根 D.必有惟一实根

).

6.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

f(1)=-2 f(1.375)=-0.260
3 2

f(1.5)=0.625 f(1.4375)=0.162

f(1.25)=-0.984 f(1.40625)=-0.054
).

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5 7. 方程 lg x ? x ? 3 ? 0 的根所在的区间是( A.(1,2)
2

). D.(0,1)

B. (2,3)

C. (3,4)

8.抛物线 y=2x +4x+5 的对称轴是 x=____ . 9.二次函数 y ? ? x ? 1? ? 2 的最小值是_____________.
2

10、函数 y ? (m2 ? m ?1) xm 则 m= ________ 。

2

?3m?3

是幂函数,且在区间 (0, ??) 上为减函数,

11.函数 f ( x) ? x ? x ? 1的最小值是_________________。
2

基础知识专题训练 06 一、考试要求 不 等 式 二 .基础知识
10

内 不等式性质 基本不等式



等级要求 A B C √ √

一、不等式的基本性质: ①若 ab>0,则

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 a, b ? 0 ,则 基本变形:① a ? b ?

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a?b 2 ) ? ;( ; 2
2 2

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) ②若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab , 2 2
基本应用:①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当 ab ? p (常数) ,当且仅当 时, ;

当 a ? b ? S (常数) ,当且仅当 时, ; 常用的方法为:拆、凑、平方; 三.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式的常用方法: ①讨论法:讨论绝对值中的式于大于零还是小于零,然后去掉绝对值符号,转化为一般不等式; ②等价变形:解绝对值不等式常用以下等价变形: 2 2 2 2 |x|<a ? x <a ? -a<x<a(a>0),|x|>a ? x >a ? x>a 或 x<-a(a>0)。 一般地有:|f(x)|<g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x),|f(x)|>g(x) ? f(x)>g (x)或 f(x)<g(x)。 三.基础训练 1、如果 a ? 0, b ? 0 ,那么,下列不等式中正确的是( )

A.

1 1 ? a b

B . ?a ? b

C . a 2 ? b2

D . | a |?| b |
( )

2、若 a,b,c 为任意实数,且 a>b,则下列不等式恒成立的是 (A)ac>bc (B)|a+c|>|b+c| (C)a >b
2 2

(D)a+c>b+c

3、已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d 。则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 A. 充分而不必要条件 C.充要条件 4、不等式|x+5|>3 的解集是 (A){x|-8<x<8} (C){x|x<-2 或 x>2 } 5、若 a>b,下列不等式中一定成立的是( )
11

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件. ( (B){x|-2<x<2} (D){x|x<-8 或 x>-2 } )

A、

1 1 ? a b

B、

b ?1 a

C、2 >2

a

b

D、lg(a-b)>0

6、设 A={x||x-2|<3},B={x||x-1|>1},则 A∩B 等于( ) A、{x| -1<x<5} C、{x| -1<x<0 或 2<x<5} B、{x| x<0 或 x>2} D、{x| -1<x<0}

7.已知 a,b ? R ,且满足 a+3b=1,则 ab 的最大值为___________________.

8.不等式 (k 2 ?1) x2 ? 2(k ? 1) x ? 1 ? 0 对于 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围是 9.已知正实数 x, y 满足 10、若 x ? ?3 ,则 x ?

王新敞
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新疆

1 2 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为_________________。 x y

2 的最小值为 x?3

基础知识专题训练 07 一、考试要求 内 不等 式 二 .基础知识 1)一元一次不等式: Ⅰ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 Ⅱ、 ax ? b(a ? 0) :⑴若 a ? 0 ,则 (2)一元二次不等式: 二次函数 y=ax +bx+c (a>0)
2



等级要求 A B C √ √

一元二次不等式 线性规划

;⑵若 a ? 0 ,则 ;⑵若 a ? 0 ,则 ;



△情况 △=b -4ac △>0
2

一元二次方程 ax +bx+c=0 (a>0)
2

一元二次不等式 ax +bx+>0 (a>0) 不等式解集为 {x|x<x1 或 x >x2}
2

ax +bx+c<0 (a>0) 不等式解集为 {x|x1 <x< x2}

2



?b ? ? x1= 2a
x2=

像 △=0 与

?b ? ? 2a
b 2a
不等式解集 { x | x ≠ x0,x ∈R} 解集为 ?

x1=x2=x0= ?



12

方程无解 △<0 a<0 的情况自己完成 (3) .线性规划 (1) 平面区域: 一般地, 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不 等式 Ax ? By ? C ? 0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把直线画成实线。 三.基础训练 1、不等式 2x+3 -x >0 的解集是(
2 2

不等式解集为 R(一切实数)

解集为 ?

).

(A)

?x | ?1 ? x ? 3? ?x | ?3 ? x ? 1?
2

(B) x | x ? 3或x ? ?1

?

?

(C)

(D) x | x ? 1或x ? ?3

?

?


2、二次不等式 ax +bx+c<0 的解集是全体实数的条件是(

(A)
2

(B)

(C)

(D)

3 不等式 x +ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( ). A. [-4,4] B. (-4,4) C. (-∞,-4) ]∪[4,+∞] ) D. (-∞,-4)∪(4,+∞) 4.若不等式 ax +bx-2>0 的解集为{x|-2<x<-
2

1 }, 则 a,b 的值分别是( 4

)

A.a=-8,b=-10 C.a=-4,b=-9
5、不等式

B.a=-1,b=9 D.a=-1,b=2


x ?1 ? 0 的解集为( 2? x

A . {x | ?1 ? x ? 2}

B . {x | ?1 ? x ? 2} D . {x | x ? ?1 或 x ? 2}
( D. (2,0) ( ) )

C . {x | x ? ?1 或 x ? 2}

6.不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是 A. (0,0) B. (1,1) C. (0,2)

7.已知点(3 , 1)和点(-4 , 6)在直线 3x–2y + m = 0 的两侧,则

13

A.m<-7或m>24 C.m=-7或m=24

B.-7<m<24 D.-7≤m≤ 24 ( )

? x ? 2, 8.若 ? ,则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 ? y ? 2, x ? y ? 2

A.[2 ,6]

B. [2,5]

C. [3,6]

D. [3,5] )

9.不等式 | 2 x ? y ? m |? 3 表示的平面区域包含点 (0, 0) 和点 (?1, 1), 则 m 的取值范围是( A. ?2 ? m ? 3 B. 0 ? m ? 6 C. ?3 ? m ? 6 D. 0 ? m ? 3 ( )

10.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是
? y ? ?2, ?x ? 0 ?

A. ?3x ? 2 y ? 6 ? 0, ?

? y ? ?2, B. ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0, ? ?x ? 0 ?

C. ? 3 x ? 2 y ? 6 ? 0,
? ?x ? 0 ?
2

? y ? ?2,

? y ? ?2, D. ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0, ? ?x ? 0 ?
. .

11.不等式 1+x-6x >0 的解集为
2

12.不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0,对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 13、不等式

2x ? 5 ? 1 的解集是: 1? x
? x ? y ? 5 ? 0, ? x ? 3. ?

. 则 z ? 4 x ? y 的最小值为______________.

14.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, ?

基础知识专题训练 08 一.考试要求 内 容 等级要求 A B √ √ √ C

三角函数的有关概念 1.三角函数 删减内容 同角三角函数的基本关系式 正弦、余弦的诱导公式 任意角的余切、正割、余割;反三角函数

二.基础知识 1、 角的概念的推广: 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫 角,按顺时针方向旋转所形成的角叫 角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个 角。射线的 起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:
14

在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角 任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1) ? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. (2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? . (3) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: (4) ? 终边在 y 轴上的角可表示为: (5) ? 终边在坐标轴上的角可表示为: 4、 ? 与 ? 的终边关系:

2

由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 ? 是第二象限角,则 5.弧长公式: l ? ,扇形面积公式: s ? 6、任意角的三角函数的定义:

? 是第_____象限角 2


设 ? 是 任 意 一 个 角 , P ( x, y ) 是 ? 的 终 边 上 的 任 意 一 点 ( 异 于 原 点 ) 它 与 原 点 的 距 离 是 ,

r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,那么 sin ? ?

, cos? ?

, tan ? ?

, ( y ? 0) 。

注:三角函数值与角的大小 关,与终边上点 P 的位置 关。 7. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: (2)倒数关系: (3)商数关系: 8、三角函数诱导公式(

号 (看原函数,同时可把 ? 看成是锐角). 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ; (2)转化为锐角三角函数。 -? sin cos 三.基础训练 1.下列各命题正确的是( ) A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角 C. 锐角都是第一象限的角 D.小于 90 的角都是锐角
0

k ? ? ? )的本质是:奇 2



(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) ,符

? ??
sin ? -cos ?

? ??
-sin ? -cos ?

2? ? ?
-sin ? cos ?

2k? ? ? ?k ? Z ?
sin ? cos ?

?
2

??

-sin ? cos ?

cos ? sin ?

2. sin 2 1200 等于(



A

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?
o

3 2

B

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3 2


C

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?

3 2

D

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1 2

3. -300 化为弧度等于(

15

A. -

4π 3

B. -

7π 4

C. -

5π 3

D. -

7π 6
) D.第四象

4.若 cos ? ? 0, 且 sin ? ? 0, 则角? 的终边所在象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

5. 设 a ? 0 ,角 ? 的终边经过点 P ? ?3a,4a ? ,那么 sin ? ? 2 cos ? 的值等于

2 1 C. 5 5 1 6 如果 A 为锐角, sin(? ? A) ? ? , 那么cos(? ? A) ? ( 2
A. B.

2 5

?

D. ?


1 5

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

2 2

D. ?

2 2

7. sin(-

10 ? )的值等于( 3
B.-



A.

1 2
o o

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

8.点 (sin600 ,cos300 ) 在第几象限? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

9.若三角形的两内角?,?满足 sin?cos? ? 0,则此三角形必为( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能 10.y =

| sin x | cos x | tan x | ? ? 的值域是( sin x | cos x | tan x
B. {-1,1,3}

) D.{1,3}

A.{1,-1}

C. {-1,3}

11. cos(?210? ) ____________ 12.已知角 ? 的终边过点 P(4,?3) ,则
sin a =_______, cos a =_______, tan a =_______.

13. .如果 cos x ? 14.若 sin ? ? ?

1 ? ,且 x 是第四象限角,那么 cos( x ? ) ? 5 2
.



4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

15.若

1 ? sin? 1 ? sin? = ,则α 的取值范围是_______. ? ? sin? cos?

16.已知 tan ? ?

1 sin ? ? cos ? ? ,则 2 cos ? ? sin ?

17.已知 ? 是第三象限角,则

? 是第 3

象限角

16

cos4050 18. (2001 全国文,1)tan300°+ 的值是 sin 4050
19. 扇形的圆心角是 72? ,半径为 20cm, 则扇形的面积为 20.若 cos(π +α )=-

1 3 , π <α <2π ,则 sin(2π -α )等于 2 2

基础知识专题训练 9 一.考试要求 内 基本初等函数Ⅱ (三角函数) 、三 角恒等变换 解三角形 容 等级要求 A B √ √ √ C √

两角和(差)的正弦、余弦和正切 二倍角的正弦、余弦和正切 几个三角恒等式 正弦定理、余弦定理及其应用

二.基础知识 (1)两角和与差的三角函数

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?
(2) .二倍角公式

tan ? ? tan ? 。 1 ? tan ? tan ?
2 tan ? 。 1 ? tan 2 ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

tan 2? ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ;
(3)降幂公式

sin ? cos ? ?
(4)辅助角公式

1 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 sin 2? ; sin 2 ? ? ; cos ? ? 。 2 2 2

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? 其中sin ? ?

b a 2 ? b2

, ?? cos

a a 2 ? b2



? 5? 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C ? 2 R , ? 6?
? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2bc 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 2 2 ? 余弦定理: ? 2 a ?c ?b ? 2 2 , ?b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2ac 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C. ? 2 2 ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?

a

b

c

(7)三角形面积公式: S ?ABC ?

1 1 ah ? ab sin C ? 2 2
17

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , ( p ?

1 (a ? b ? c)) 2

三.基础训练 1.cos(-15°)的值是( )

A.

6? 2 2

B.

6? 2 2

C. )

6? 2 4

D.

6? 2 4

2.sin10°sin40°+sin50°sin80°=(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D. ?

3 2


3.已知 α 、β 均为锐角, cos ? ?

1 11 , cos(? ? ? ) ? ? ,则β = ( 7 14
C.

A.

? 3

B.

? 4

? 6

D.

? 12
)

4. 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 A= A. 1 B. 2 C.

? ,a= 3 ,b=1, 则 c= ( 3

3 -1

D.

3

5.已知 tan(? ? ? ) ? 5, tan( ? ?

?

) ? 4, 那么 tan(? ? ) =( 4 4
C.

?



A.-

9 19

B.

1 21

1 19

D.

9 21
)

6. △ ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB= ( A. 1/4 B.3/4 C.

2 /4

D.

2 /3


7.△ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B ,则 C=( A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 6

D.

? 4

8.化简: sin ? ? sin(? ? A.0 9“ ? ? B. 1

2? 5? ) ? cos(? ? ) ? ( 3 6
C. cos ?

) D. sin ?

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 ( 2

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
18

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

10. 在 ?ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 AB ? AC ? ( A. ?

??? ??? ? ?

)

2 3 D. 3 2 cos(C ? B) 11.在△ABC 中,若 tan B ? ,则 cos(B+C)=___________ sin A ? sin(C ? B) 3 12.已知 sin ? ? , ? 为第二象限角,且 tan(? ? ? ) ? 1 ,则 tan ? =__________ 5 ? 4 13. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c, B ? , cos A ? , b ? 3 。 3 5 sin C =______; ? 1 14.已知 tan( ? ? ) ? 2, tan ? ? . 4 2 (1)求 tan ? 的值;
B. ? C. (2)求

3 2

2 3

sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? 的值。 2sin ? sin ? ? cos(? ? ? )

15.在 ? ABC 中, (Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

AC cos B ? 。 AB cos C 1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

19

基础知识专题训练 10 一.考试要求 内 1.三角函数 不要求内容 淡化内容 二.考点回顾 15、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 、正切函数 y ? tan ? 的性质: 函数 性质 中的例题、习题) 容 等级要求 A √ 确定函数 y=Asin(ω x+ j )中的 j 值 B √ C

正弦函数、 余弦函数、 正切函数的图象和性质 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象和性质

已知三角函数值求角;由 y=sinx 的性质讨论 y=Asin(ω x+ j )的性质(仅要求掌握教材

y ? sin ?

y ? cos ?

y ? tan ?

图像

定义域 值域 周期 最小正周期 增区间 单调区间 减区间 对称中心 对称性 对称轴 16、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)几个物理量:A― ;f ?

1 ― T

(周期的倒数) ? x ? ? ― ; 定; ? 由

;? ―



(2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最

确定; ? 由图象上的特殊点确定, 求

(3) 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法: “五点法” ① ――设 X ? ? x ? ? , 分别令 X = 出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ?



(4)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:特别注意,若由 y ? sin ?? x ? 得到

y ? sin?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移

个单位。

(5)研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将 y ? A sin(? x ? ? ) 中
20



___________看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要特别注意 A 和 ?

的符号,通过诱导公式先将 ? 化正。 三.基础训练 3 1.函数 y=tan x 是 5 A.周期为 π 的偶函数 5 C.周期为 π 的偶函数 3 5 B.周期为 π 的奇函数 3 D.周期为 π 的奇函数

π π 2.已知 f(x)=sin(x+ ),g(x)=cos(x- ) ,则 f(x)的图象 2 2 A.与 g(x)的图象相同 B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称 π C.向左平移 个单位,得到 g(x)的图象 2 π D.向右平移 个单位,得到 g(x)的图象 2 3.若 x∈(0,2π ),函数 y= sinx + -tanx 的定义域是 π π A.( ,π ] B.( ,π ) C.(0,π ) 2 2 5π 4.函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴方程为 2 5π A.x= 4 5.函数 f(x)=sin 2 π B.x=- 2 π C.x= 8 π D.x= 4 3π ,2π ) 2

D.(

x+5π

,g(x)=cos

x+5π
2

,则 B.f(x)与 g(x)皆为偶函数 D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数 B.y=-x·sin|x| D.y=sin|x|

A.f(x)与 g(x)皆为奇函数 C.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数 6.下列函数中,图象关于原点对称的是 A.y=-|sinx| C.y=sin(-|x|) 7.要得到函数 y=sin(2x- π A.向左平移 4 π C.向左平移 8 π 8.下图是函数 y=2sin(ω x+ ? )(| ? |< )的图象,那么 2 10 π A.ω = , ? = 11 6 π C.ω =2, ? = 6 π )的图象,只要将 y=sin2x 的图象 4

π B.向右平移 4 π D.向右平移 8

10 π B.ω = , ? =- 11 6 π D.ω =2, ? =- 6

1 9.在[0,2π ]上满足 sinx≥ 的 x 的取值范围是 2
21

π A.[0, ] 6
2

π 5π B.[ , ] 6 6

π 2π C.[ , ] 6 3 π 2

5π D.[ ,π ] 6 π 4

10.函数 y=5+sin 2x 的最小正周期为 A.2π B.π C. D.

11.若函数 y=Acos(ω x-3)的周期为 2,则 ω = ;若最大值是 5,则 A= . 12.由 y=sinω x 变为 y=Asin(ω x+ ? ),若“先平移,后伸缩”,则应平移 个单位;若“先伸 缩,后平移”,则应平移 个单位即得 y=sin(ω x+ ? );再把纵坐标扩大到原来的 A 倍,就是 y ? )(其中 A>0). =Asin(ω x+ 13.不等式 sinx>cosx 的解集为 π 14.函数 y=sin(2x+ )的递增区间是 3 15.如果 x ? .

?
4

,那么函数 f ( x) ? cos2 x ? sin x 的最小值是

王新敞
奎屯

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16.函数 y ? sin(2 x ? 17.函数 f ( x) ? sin

?
4

) 的单调增区间是
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2 2 ? x ? cos( x ? ) 的图象相邻的两条对称轴间的距离是 3 3 6

18.在△ABC 中,BC=1,∠B= 19.已知函数 y=

? ,当△ABC 的面积为 3 时, tan ?C ? 3

3 sinx+cosx,x∈R.

(1)求最小正周期; (2)求函数的单调递增与递减区间; (3)求函数的最大值、最小值,及函数取得最大、最小值时值自变量 x 的集合; (4)求函数的对称中心及对称轴; (5)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

22

20. 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ( (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0,

? 1

, )。 3 2

?

3 12 ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 的值。 2 5 13

21.设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?

? ?

??

? ? , ?>0 , x? ? ??, ??? ,且以 2 为最小正周期. 6?

(1)求 f ? 0 ? ;o(2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ?

?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值. ? 4 12 ? 5

王新敞
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23

湛江农垦实验中学高二数学基础知识专题训练 11 一.考试要求 内 容 等级要求 A B √ √ √ √ √ √ C

平面向量的有关概念 平面向量的线性运算 平面向量 平面向量的坐标表示 平面向量的的数量积 平面向量的平行与垂直 平面向量的应用

二.基础知识 1、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注 意不能说向量就是有向线段, 为什么?。 零向量: (2) , 记作: , 注意零向量的方向是 的; (3)单位向量: (4)相等向量: (5)平行向量(也叫 ) : 叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 的两个向量叫相等向量,相等向量有 性;

??? ?

);

向量 a 、 b 叫做平行向量,记作: a ∥ b ,

规定零向量 。 提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条 直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); (6)相反向量: 2、向量的表示方法: (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; (3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基 底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称 ? x, y ? 为向量 a 的坐标, a = ? x, y ? 叫做向 量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理: 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对该平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= 4、实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如下:

?

AC ④三点 A、B、C 共线 ? AB、 共线;


??? ??? ? ?

的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是

?

?

?

?1? ? a

?

? ? ? a , ? 2 ? 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向
24

,当 ? <0 时, ? a 的方向与 a 的方向



当 ? =0 时, ? a =

,注意: ? a ≠0。

坐标运算:设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: ①向量的加减法运算: a ? b ? ②实数与向量的积: ? a ? = 。 。

?

?

③若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标。 1、平面向量的数量积: (1) 两个向量的夹角 ? : 当? ? 当 ? ? 0 时,a 与 b 。
? ?
? ?

??? ?

, ? ? ? 时,a 与 b 当

?

?



?
2

时, a 与 b

?

?

(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 数量积(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b = 注意数量积是一个
? ?
? ? ? ?

叫做 a 与 b 的 ___,

?

?

___________。规定:

数,不再是一个向量。

④平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 。 ⑥两点间的距离:若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? 2、向量平行(共线)的充要条件: 3、向量垂直的充要条件:.

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2



? ? ?

三.基础训练 1.下列四个命题中,正确命题的个数是( ) ①共线向量是在同一条直线上的向量 ②若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点 ③与已 知非零向量共线的单位向量是唯一的 ④四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 AB 与 CD , BC 与 AD 分别共线. 2、下列各式或命题中: ①

AB ? AC ? BC

?

?

?

② AB ? BA ? 0 ③ (

?

?

?

0 ? AB ? 0 ④若两个非零向量 a 、b 满足 a ? k b (k


?

?

≠0),则 a 、 b 同向. 正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3
?

?

?

3、在矩形 ABCD 中,O 为 AC 中点,若 BC =3 a , DC =2 b , 则 AO 等于 A.





1 1 1 1 (3 a +2 b ) B. (3 a -2 b ) C. (2 b -3 a ) D. (3 b +2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为( )
25

(A)30°

(B)60°

(C)120°

(D)150° )

? ? ? ? ? ? ? 5、已知 a ? 1, b ? 6, a ? (b ? a ) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是(
A.

? ? ? ? B. C. D. 6 4 3 2 ? ? ? ? ? ? 6、已知 a ? (?3,2), b ? (?1,0) ,向量 ?a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为
(A) ?

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6
( ) D. ? 3

7.在△ABC 中,∠C=90°, AB ? (k ,1), AC ? (2,3), 则 k 的值是 A.5 B.-5 C. 3
2

2

8、若向量 a =(1,1) b =(-1,1) c =(4,2) , , ,则 c =( A.3 a + b

?

?

?

?

)

? ?

B. 3 a - b

? ?
0

C.- a +3 b

?

?
?

D. a +3 b

?

?
?

9、平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 则 a ? 2b =( (A) 3 (B) 2 3 (C) 4 (D)12

?

?

?

?

)

10、已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , c ? (a ? b) ,则 c ? ( A. ( , )



7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

11、已知向量 a ? (1,0),b ? (0,1), c ? ka ? b (k ? R), d ? a ? b ,如果 c ∥ d ,那么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 ;2 b · a =

?

?

?

?

?

?

12、若向量 a =(3,2) b =(0,-1) , ,则 2 b - a =

13、已知向量 a =(1,1) b =(1,-1) c =(-1,2) , , ,若 c = ? a ? ? b ,则 ? ? ? = 14、若向量 b 与向量 a =(1,-2)的夹角是 180°,且︱ b ︱=3 5 ,则 b = 15.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b =
o

?

?

?

?

?

?

? ?



16.已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 2) ,若 (a ? c) ? b 则 k = 17、已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= 18.如上图,M、N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点, 若 AB =a, AC =b,则 MN =_______.

?

?

?

? ?

?



26

19、设 ABCD 是平行四边形,O 是对角线 AC 与 BD 的交点,且 AB ? a , AD ? b ,则下列命题中正确的 有 (填序号) ① DC ? BC ? a ? b ; ③ ② 当| a |=| b |=| a - b |=1 时,| a + b |= 3 ;

当 a + b 与 a - b 垂直时,则∣ a ∣=∣ b ∣; ④ 当| a + b |=| a - b |时,则 a ⊥ b

20.已知 A,B,C 是三角形 ABC 三内角,向量 m=(-1, 3 ),n=(cosA,sinA),且 m·n=1. (1) 求角 A; (2) 若

1 ? sin 2 B ? ?3, 求 tanB。 cos 2 B ? sin 2 B

21.已知向量, a ? (m,1), b ? (sin x,cos x) , f ( x) ? a ? b 且满足 f ( ) ? 1 。

?

?

? ?

?

2

(1)求函数 y ? f ? x ? 的解析式;并求函数 y ? f ? x ? 的最小正周期和最值及其对应的 x 值; (2)锐角 ?ABC 中,若 f (

?

12

) ? 2 sin A ,且 AB ? 2 , AC ? 3 ,求 BC 的长.

27

基础知识专题训练 12 一.高考要求 内 容 等级要求 A √ √ √ B C

数列的有关概念 数列 等差数列 等比数列

二.基础知识 1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n} )的特殊函数,数 列的 也就是相应函数的解析式。

1. an 与 Sn 的关系: Sn ? a1 ? a2 ??an ? an ? ?
2.等差数列与等比数列: 等差数列 定义

(n ? 1) ? S1 . ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)
等比数列

an?1 ? an ? d

( n ? 1, 2,3 ,?)

an ?1 ?q an

( n ? 1, 2,3 ,?)

通项公式

an ? a1 ? ? n ?1? d , an ? am ? ? n ? m? d
Sn ? na1 ? n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

an ? a1qn?1 , an ? amqn?m
? na1 ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? ? ? 1? q (q ? 1) (q ? 1)

求和 公式

中项 公式 对称性

A ? 1 (a ? b) 2
若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq

G ? ? ab
若 m ? n ? p ? q ,则 aman ? a p aq

分段和原理

Sm 、 ? S2m ? Sm ? 、 ? S3m ? S2m ? 成等差数列

Sm 、 ? S2m ? Sm ? 、 ? S3m ? S2m ? 成等比数列

三.基础训练 1.数列 1,3,7,15,?的通项公式 an 等于( (A)2
n

) . (D)2
n-1

(B)2 +1

n

(C)2 -1
2

n

2.记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=6n +2n-1,则 Sn= A.



)
2

n2(2n-1)

B.

n·(6n2+2n-1)

C. 2n(n +2n-1)

2

D. n·(2n +4n+1)

3.等差数列—3,1,5,?的第 15 项的值是( ) A.40 B.53 C.63 ) D.76

4.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( A. 8 B. 7 C. 6
28

D .5

5.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于( A.40 B.42 C.43 D.45



6.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 、 a3 、 a4 成等比数列,则 a2 等于( A.-4 B.-6 C.-8 D.--10



7.已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,则其公差 d ? ( A. ?



2 3

B. ?

1 3
C.11

C.

1 3
D.12

D. )

2 3

8.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( A.9 B.10

9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.45 C.36 D.27 ) 1 9 )



S3 1 S6 10.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =( S6 3 S12
A 3 10 B 1 3 C 1 8

D

11.等比数列 ?an ? 中, a2 ? 9, a5 ? 243 则 ?an ? 的前 4 项和为( , A. 81 C. 168 B. 120 D. 192 )

12. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( A. 1 B. ?1 C. ? 1 D.

1 2 1 是此数列的第( 2
)项

13.已知一等比数列的前三项依次为 x,2 x ? 2,3x ? 3 ,那么 ? 13 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

14.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之和为( A. 513 C. 510 B. 512 D.



225 8


15.已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 a2 ? ( A. ?4 C. ?8 B. ?6 D. ?10

16.在等比数列{an}中,a5a7=6,a2+a10=5,则

a18 等于( a10
29

)

A. ? 2 或 ? 3 3 2

B.

2 3

C.

3 2

D.

2 3 或 3 2 1 为第三项, 9 为第 3

17. ?ABC 中, tan A 是以 ?4 为第三项, 4 为第七项的等差数列的公差, tan B 是以 在 六项的等比数列的公比,则这个三角形是( A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上都不对 )

18.等差数列中, S10 ? 120 ,则 a1 ? a10 = ______ . 19.已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 Sn ? . . .

20.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项和 S5 ? 10 ,则其公差 d ? 21.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 22.在等比数列 ?an ? 中, 若 a3 ? 3, a9 ? 75, 则 a10 =___________.

23.在等比数列 ?an ? 中, 若 a1 , a10 是方程 3x 2 ? 2 x ? 6 ? 0 的两根,则 a4 ? a7 =___________. 24.在正项等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? _______。 25.已知函数 f ( x) ?

1 1 1 x2 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 2 3 4 1? x

王新敞
奎屯

新疆

基础知识专题训练 13 一、考试要求 内容 复数的有关概念 复数 二、基础知识 1、数系的扩充:N 复数的四则运算 复数的几何意义 Z Q R √ C 等级要求 A B √ √ C

2、形式: z ? a ? bi(a, b ? R) ,其中, a, b 分别为复数 z 的实部和虚部 复数 z 是实数 ? 复数 z 是纯虚数 ? 3、 a ? bi ? c ? di ? 4、运算: (a ? bi) ? (c ? di) ? ; (a ? bi) ? (c ? di) ? ; ;i
4n ?1

;复数 z 是虚数 ? 。



; .

(a ? bi)(c ? di) ?
若 n ? N ,则 i
4n

a ? bi ? c ? di

?

?

;i

4n ?2

?

;i

4n ?3

?

.

共轭复数:①复数 z ? x ? yi 的共轭复数 z ?
30

②性质: z ? z ; z ? z ? z ? R ; z ? z ? 2 x, z ? z ? 2 yi ; 5、复数 z ? a ? bi 的模 | z | = 设 z ? C ,则满足 | z |? 2 的点 Z 的集合表示的图形 三、基础训练

3?i ?( 1? i A. 1+2i
1.计算

). B. 1–2i C. 2+i D. 2–i ).

2.设复数 z1 ? 3 ? 4i , z2 ? ?2 ? 3i ,则复数 z2 ? z1 在复平面内对应的点位于( A. 第一象限 A. i , ?i C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知 a ? bi ? ?1 ? i ?i ,其中 a 、 b ? R , i 为虚数单位,则 a 、 b 的值分别是( B. 1 , 1 C. 1 , ?1 ) D.非充分非必要条件 D. i , ?1 B. 第二象限

).

4. a ? 0 是复数 a ? bi A.充分条件 5、复数

(a, b ? R) 为纯虚数的(
C.充要条件

B.必要条件

2i 的虚部是 1? i
.

6、若复数 z ? a2 ?1 ? (a ? 1)i ( a ? R )是纯虚数,则 z =

? 1? i ? 7、 ? ? = ? 1? i ? a?i ? b ? 2i, 其中 a, b ? R,i是虚数单位,则 a ? b 的值为 8、若 i
2012

9、如果复数 z ? a ? a ? 2 ? (a ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为
2 2

10、复数 z ? a ? 2a) (a ? a ? 2)i 对应的点在虚轴上,则 a ? ( ?
2 2

11、已知复数 z 满足 ? 2 ? i ? z ? 5 i是虚数单位 , 则 z = 12、在复平面内, 复数 1 + i 与 1 ? 3 i 分别对应向量 OA 和 OB , 其中 O 为坐标原点,则 AB =

?

?

?

?

?

z 13、复数 z1 ? 3 ? i , z2 ? 1 ? i ,则复数 1 在复平面内对应的点位于 z2
14、复数 (3 ? i)m ? (2 ? i) 对应的点在第三象限内,则实数 m 的取值范围是 基础知识专题训练 14 一、考试要求 内容 导数的概念 导数及其应用 导数的几何意义 导数的运算
31

象限

等级要求 A √ √ √ B C

二、基础知识 1、 函数 f (x) 在区间 [ x1 , x 2 ] 上的平均变化率为 边际成本) 2、 定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 ?a, b ? 上有定义, x0 ? (a, b), 当 ?x 无限趋近于 0 时比值 ; (导数的背景:切线的斜率、瞬时速度、

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 无限趋近于一个常数 A,则称 f (x) 在点 x ? x0 处可导,并称该常数 A 为函数 ?x ?x

f (x) 在点 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 。
导数 f ?( x0 ) 的几何意义就是曲线 y ? f ( x) 在点 x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。 ( 3、 若 f (x) 对于区间 ?a, b ? 内的任一点都可导, f (x) 在各点的导数也随着自变量 x 的函数, 则 该函数称为

f (x) 的导函数,记作 f ?(x) 。

a ① v(t ) ? s ?(t ) 表示瞬时速度; (t ) ? v?(t ) 表示瞬时加速度; f ?(x) 与 f ?( x0 ) 是不同的概念:f ?( x0 ) ②
是一个常数, f ?(x) 是一个函数; f ?( x0 ) 是 f ?(x) 在 x ? x0 处的函数值 4、 基本初等函数求导公式

( ? 幂函数: x )?
指数函数: (a x )? ? 对数函数: (loga x)? ? 正弦函数: (sin x)? ? 三、基础训练

?

( ? 为常数) ( a >0,且 a ? 1 ) 特例: (e x )? ?

? ( ( a >0,且 a ? 1 ) 特例: ln x)?
余弦函数: (cosx)? ?

1.曲线 f ( x) = x3 + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为( A. (1, 0) C. (1, 0) 和 (?1, ?4)
2



B. (2,8) D. (2,8) 和 (?1, ?4) )

2.函数 y=ax +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a=( A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D. 1

' ' 3. f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数,若 f ( x ) , g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ,则 f ( x ) 与 g ( x) 满足



) A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数

32

C. f ( x) ? g ( x) ? 0

D. f ( x) ? g ( x) 为常数函数

4、函数 f ( x) ? sin x ? ln x 的导函数 f ?( x) ?
2 5、一物体的运动方程是 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3 时的瞬时速度

为_____

3 2 x - 3 x+1 在 x=1 处的切线的倾斜角为 2 7、 如图,函数 f(x)的图像是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0)(6,4) , ,则 f(f(0) )= ;函数 f(x)在 x=3 处的导数 f′(3)= .
6、曲线 y=x -
3

8、已知曲线 y ?

1 2 x ? 3 ln x 的 一 条 切 线 的 斜 率 为 2 , 则 切 点 的 横 坐 标 2

为 . 9、曲线 f ( x) ? x ln x 在点 x ? 1 处的切线方程为 10、设曲线 y ? ax2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? 11、曲线 y ?

1 3 4 x ? x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 3

12、已知函数 y ? f (x) 的图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 f (1) ? 2 f ?(1) 的值是 13、在曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 6 x ? 10 的切线中,斜率最小的切线方程为 基础知识专题训练 15 一、考试要求 内容 导数的运算 导数及其 应用 利用导数研究函数的单 调性和极大(小)值 导数在实际问题中的应 用 等级要求 A B √ √ √ C

二、基础知识 (1)导数与函数的单调性:① f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 为增函数( f ?( x) ? 0 ? f ( x ) 为减函数). ② f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上是增函数 ? f ?( x ) ≥ 0 在 ? a, b ? 上恒成立;

f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数 ? f ?( x ) ≤ 0 在 ? a, b ? 上恒成立.
若 f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x ) 为常数函数;若 f ?( x ) 的符号不确定,则 f ( x ) 不是单调函数。 (2)利用导数求函数单调区间的步骤:①求 f ?( x ) ;②求方程 f ?( x ) ? 0 的根,设为 x1 , x2 ,? xn ;③

x1 , x2 ,? xn 将给定区间分成 n+1 个子区间,再在每一个子区间内判断 f ?( x ) 的符号,由此确定每一子区间
33

的单调性。 (3)求函数 y ? f ( x) 在某个区间上的极值的步骤: (i)求导数 f ?( x ) ; (ii)求方程 f ?( x) ? 0 的根 x0 ; (iii)检查 f ?( x ) 在方程 f ?( x) ? 0 的根 x0 的左右的符号: “左正右负” ? f ( x) 在 x0 处取极大值; “左负 右正” ? f ( x) 在 x0 处取极小值。 (4)求函数 y ? f ( x) 在[ a , b ]上的最大值与最小值的步骤:①求函数 y ? f ( x) 在( a , b )内的极值;② 将 y ? f ( x) 的各极值与 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。 (5)导数的三大应用: ①求斜率:在曲线的某点有切线,则求导后把横坐标代进去,则为其切线的斜率; ②有关极值:就是某处有极值,则把它代入其导数,则为 0 ; ③单调性的判断: f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递增; f ?( x) ? 0 , f (x) 单调递减。

三、基础训练 1.函数 y ? 4 x ?
2

1 单调递增区间是( x
B. (??,1) ) C. e
2



A. (0,??) 2.函数 y ? A. e
?1

C. ( ,?? )

1 2

D. (1,??)

ln x 的最大值为( x
B. e

D.

10 3

3.已知函数 f(x)=x2(ax+b)(a,b∈R)在 x=2 时有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 3x+y=0 平行, 则函数 f(x)的单调减区间为( ) A.(-∞,0) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,+∞) 4、设 f ?(x) 是函数 f (x) 的导函数, y ? f ?(x) 的图象如图所示,则 y ? f (x) 的图象最有可能的是( )

' 5、若函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则其导函数 f(x) 的图象可能是(



34

6、若函数 f ( x) ?

1 3 x ? f ?(?1) ? x 2 ? x ? 5, 则 f ?(1) ? 3

7、设 P 为曲线 C: y ? x2 ? 2x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ? 0, ? ,则点 P ? 4? 横坐标的取值范围为 8、若点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为 9、函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 2 在区间 [?1,1] 上的最大值是 10、函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调增区间 11、已知 f ( x) ? 2x 3 ? 6x 2 ? m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上有最小 值为 12、函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 10 的单调递减区间为 .

? ??

13、设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? 14、函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间

( a, b) 内有极小值点



y

y ? f ?(x)

b

a

O

x

15、已知函数 f ( x) ? x ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 3 2 2 16、函数 y = f( x ) = x +ax +bx+a ,在 x = 1 时,有极值 10,则 a =
3

,b =



1 2 3 17、设 f ( x ) = x - x -2x+5,当 x ? [?1,2] 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数 m 的取值范围 2
为 .
3 2 2

18、已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为 ?5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程.

35

基础知识专题训练 16 一、考试要求 内容 算法的有关概念 算法初步 流程图 基本算法语句 合情推理与演绎推理 推理与证明 分析法和综合法 反证法 √ √ 等级要求 A √ √ √ √ B C

一、基础知识 1. 算法初步 (1)对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法。 (2)算法的特征:确定性、逻辑性、有穷性。 (3)算法的描述:自然语言、流程图、程序语句。 (4)程序框图的构成:起止框用 表示;输入输出框用 表示;处理框用 表示;流程线用 (5)几种重要的结构

表示;判断框用 表示。

A B

Y A

p

N B

A

A P
成立

P
不成立

成立

不成立

2.推理与证明 (1)合情推理:归纳推理——从 推演出 的推理。 类比推理—— 的推理 常用类比对应关系:弦 ? 截面圆,直径 ? 大圆,周长 ? 表面积,圆面积 ? 球体积 (2)演绎推理:大前提提供一个一般性的原理;小前提指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭 示了;一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到结论。 (3)直接证明:综合法的推证过程: 分析法的推证过程: (4)间接证明:反证法三个步骤: 二、基础训练 1.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 (
36

)

A. 4

B. 5

C. 6 )

D. 7

2.在右图的程序框图中,输出的 s 的值为( A. 14 B. 15 C. 16 D. 20

开始 s=0 i=5 s=s+i i=i-1 i<1 是 输出 s 结束 3.程序框图符号“ A. 输出 a=10 ”可用于( ) B. 赋值 a=10 C. 判断 a=10 D. 输入 a=10 否

4、图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为 .图 2 是统计图 1 中身高在 A1,A2,...,A10 (如 A2 表示身高(单位:cm)在 ?150155? 内的学生人数) , 一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在 160~180cm(含 160cm,不含 180cm)的学生人 数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( ) A. i ? 9 B. i ? 8 C. i ? 7 D. i ? 6 开始 输入 A,A2,...,A 1 10

人数/人 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50
145 150 155 160 165170 175180185 190 195

s?0 i?4
i ? i ?1


s ? s ? Ai

输出s
身高/cm

结束 图2

图1

37

开始 输入 Y ①
X>2

N y=6

输出 y 结束

5. 上图(左)是一个算法的程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出 y 的结果恰好是 是( ).
1

1 ,则?处的关系式 3

A. y ? x 3

B. y ? 3? x

C. y ? 3 x

D. y ? x 3

6.如上图(右)在惠州市惠城区和博罗县打的士收费办法如下:不超过 2 公里收 6 元,超过 2 公里的里 程每公里收 2.6 元,另每车次超过 2 公里收燃油附加费 1 元(其他因素不考虑) .相应收费系统的流程图 如图所示,则①处应填( ) . A. y ? 7 ? 2.6 x B. y ? 8 ? 2.6 x

C. y ? 7 ? 2.6 ? x ? 2?

D. y ? 8 ? 2.6 ? x ? 2?

7.按如下程序框图,若输出结果为 170 ,则判断框内应补充的条件为( ) 开始

i ?1

S ?0

S ? S ? 2i


i ?i?2

结果 是

?
D. i ? 9

输出S

A. i ? 5

B. i ? 7

C. i ? 9

8. 右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的, 称为杨辉三角 形,根据图中的数构成的规律, a 所表示的数是( ) A.2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方

1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 a 4 1 1 5 10 10 5 1

由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d ,例如,明文

1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 .当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为(
A. 4,6,1,7 B. 7,6,1, 4 C. 6, 4,1,7 D. 1,6, 4,7


1

10.如图,圆周上按顺时针方向标有 1, 2 , 3 , 4 , 5 五个点。一只青蛙按逆时针方向绕圆 从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上,则下一次只能跳一个点;若停在偶数点上,

5

2

4

3

则跳两个点。该青蛙从 5 这点跳起,经 2010 次跳后它将停在的点是 ( A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
38

)

11. 如图,下边(左)程序框图所进行的求和运算是( A. 1 1 1 1 + + + ? + 2 4 6 20 1 1 1 + + ? + 2 4 18 B.1 + D.



1 1 1 + + ? + 3 5 19

C. 1 +

1 1 1 1 + 2 + 3 + ? + 10 2 2 2 2

12. 根据下边(右)程序框图,若输出 y 的值是 4,则输入的实数 x 的值为 (A) 1 (B) ?2 (C) 1 或 2 (D) 1 或 ?2

开 s=0 n=2 否 n < 21 是 1 s=s+ n n=n+2 结束

输出 s

13、设 f0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f0 '( x), f 2 ( x) ? f1 '( x),?, f n?1 ( x) ? f n '( x) , n ? N , 则 f 2012 ( x) =( ) A. ? sin x B. ? cos x C. sin x D. cos x .

?

14 执行下边的程序框图 1,若 p=0.8,则输出的 n=

14、如上图(右)图 4 的程序框图,若输入 m ? 4, n ? 3 ,则输出 ,i ? . 15. 程序框图(即算法流程图)如下图(左)所示,其输出结果是

a?

.

16.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:
39

队员 i 三分球个数

1

2

3

4

5

6

a1

a2

a3

a4

a5

a6


下图 (右) 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则图中判断框应填 输出的 s= (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)
开始

a ?1

a ? 2a ? 1


a ? 100 ?
是 输出 a

结束

17、 “金导电、银导电、铜导电、铁导电;所以一切金属都导电”.此推理方法是 18、平面几何中“周长一定的所有矩形与圆中,圆的面积最大。 ”类比到空间可得结论 。 19、图(1)(2)(3)(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎” 、 、 、 , 按 同 样 的 方 式 构 造 图 形 , 设 第 n 个 图 形 包 含 f (n) 个 “ 福 娃 迎 迎 ”, 则 f (5) ? ;

f (n) ? f (n ? 1) ?

. (答案用数字或 n 的解析式表示)

20、三角形面积 S=

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) (a,b,c 为三边长,p 为半周长),又三角形可以看作是四边

形的极端情形(即四边形的一边长退化为零).受其启发,请你写出圆内接四边形的面积公式: 21、已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 1 ,且 an ?1 ?

an (n ? 1, 2,?) ,试归纳出这个数列的通项公式 1 ? 2an

22、已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积) ,则
40

S ?ABC ?

V A?BCD

1 r (a ? b ? c) ;类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,则三棱锥体积 2 ?

基础知识专题训练 17 一、考试要求 内容 抽样方法 统计与统计案例 总体分布的估计 总体特征数的估计 统计案例 √ 等级要求 A √ √ √ B C

二、基础知识 (1)统计 1、 抽样方法:简单随机抽样(抽签法、随机数表法) ;系统抽样;分层抽样。 注:每个个体被抽到的概率都相等

n N

补:总体——要考察的对象的全体;个体——每一个考察对象; 样本——总体中被抽取的考察对象的集体;样本容量——样本中个体的数目 2、 总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,即用样本平均数估计总体 平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平) ;用样本方差估计总体方差(方差和标准差是 描述一个样本和总体的波动大小的特征数,方差或标准差越小,表示这个样本或总体的波动越小,即 越稳定) 。一般地,样本容量越大,这种估计就越精确。总体估计要掌握:(1)“表”(频率分布表); (2) “图”(频率分布直方图)。 频率分布表——全距、组距、频数、频率的求法 频率直方图的画法及横纵轴的表示 茎叶图——茎、叶的表示 提醒:直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率),横轴一般是数据的大小, 小矩形的面积表示频率。 3、总体特征数的估计:① x1 , x2 , ?? xn 的平均数 x ? ②设一组数据 x1 , x2 , ?? xn ,其平均数为 x , 则其方差 S ?
2



(=

1 n ; ? ( xi ) 2 ? ( x ) 2 ) 标准差 S ? n i ?1
;方差为 ;方差为 (用 x 、 S 表示) 。
2

③ kx1 , kx2 , ?? kxn 的平均数为 ④ kx1 ? b, kx2 ? b, ?? kxn ? b 的平均数为

(2)统计案例 1.变量相关关系:当自变量一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系 回归分析: 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析 通俗地讲,回归分析是寻找相 关关系中非确定性关系的某种确定性. (1)散点图: (2)回归直线
王新敞
奎屯 新疆

41

2. 回归分析

(1)相关系数 r ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

;
2

当 r ? 0 时,表明两个变量正相关; 当 r ? 0 时,表明两个变量负相关.

r 的绝对值越接近于 0 时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常 | r | 大于 0.75 时,认为两
个变量有很强的线性相关性.

(2)相关指数 R ?
2

? ( yi ? yi )2 ? ( y ? y)
i ?1 i i ?1 n 2

n

?

R 2 的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中, R 2 表示解释
变量对预报变量变化的贡献率, R 越接近于 1,表示回归的效果越好. 3.独立性检验 (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的可能取值分别 为 {x1 , y1}和 x2 , y2} ,其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 { 2×2 列联表
2

y1 x1 x2
总计

y2
b
d b?d

总计

a
c
a?c

a?b
c?d a?b?c?d

构造一个随机变量 K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 a ? b ? c ? d 为样本容量. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

附:

p?K2 ? k?

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

k

42

三、基础训练 1.某工厂质检员每隔 10 分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是( ) A.分层抽样 B.简单随机抽样 C.系统抽样 D.以上都不对 2. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个,120 个,180 个,150 个销售点,公司为了调查产品 销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地区中有 20 个 特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②;则完成①②这两项 调查采用的抽样方法依次是 ( ) A.分层抽样,系统抽样 B.分层抽样,简单随机抽样法 C.系统抽样,分层抽样 D.简单随机抽样法,分层抽样法 3. 某单位有职工 100 人,不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的有 25 人,剩下的为 50 岁以上的人,用分 层抽样的方法从中抽取 20 人,各年龄段分别抽取多少人( ) A.7,5,8 B.9,5,6 C.6,5,9 D.8,5,7 4.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进 行调查,现将这 500 名学生按 1~500 进行编号,并均分为 50 组,若第 4 组抽的是 34 号,第 9 组 抽的是 84 号,那么第 12 组应抽几号? ( ) A.102 B.120 C.112 D.114 5. 图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两 人这几场比赛得分的中位数之和是( A.65 B.64 C.63 ) D.62
3 4 甲 5 3 6 8 7 9 1 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7 3 7 8 乙

6.已知样本数据 x1,x2,?,x10,其中 x1,x2,x3 的平均数为 a,x4,x5,x6,?, x10 的平均数为 b,则样本数据的平均数为( ) (A)

a?b 2

(B)

3a ? 7b 10

(C)

7 a ? 3b 10

(D)

a?b 10

7.同一总体的两个样本,甲样本的方差是 2 -1,乙样本的方差是 3 - 2 ,则(



(A)甲的样本容量小 (B)甲的样本平均数小 (C)乙的平均数小 (D)乙的波动较小 8.某校有 500 名学生参加毕业会考,其中数学成绩在 85~100 分之间的有共 180 人,这个分数段的频数 是( ) (A)180 (B)0.36 (C)0.18 (D)500 9.某校男子足球队 16 名队员的年龄如下: 17 17 18 18 16 18 17 15 18 18 17 16 18 17 18 14 这些队员年龄的众数与中位数分别是???????( ) (A)17 岁与 18 岁 (B)18 岁与 17 岁 (C)17 岁与 17 岁 (D)18 岁与 18 岁 10.下列两个变量之间的关系中,哪个是函数关系 ( ) A.学生的性别与他的数学成绩 C.女儿的身高与父亲的身高 截距是 a,那么必有( ) (A) b 与 r 的符号相同 (C) b 与 r 的相反 (B) a 与 r 的符号相同 (D) a 与 r 的符号相反 B.人的工作环境与健康状况 D. 正三角形的边长与面积

11、设两个变量 x 和 y 之间具有线性相关关系,它们的相关系数是 r,y 关于 x 的回归直线的斜率是 b,纵

12、一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,由此建立的身高与年龄的回归模型为 y=7.19x+73.93 用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( ) (A)身高一定是 145.83cm (B)身高在 145.83cm 以上
43

(C)身高在 145.83cm 以下

(D)身高在 145.83cm 左右
2

13、两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R 如下 ,其中拟合效果 最好的模型是( )
2 2 2 2

(A)模型 1 的相关指数 R 为 0.98 (C)模型 3 的相关指数 R 为 0.50

(B) 模型 2 的相关指数 R 为 0.80 (D) 模型 4 的相关指数 R 为 0.25 )

? 14、 工人月工资 (元) 依劳动生产率 (千元) 变化的回归直线方程为 y ? 60 ? 90 x , 下列判断正确的是 (
(A)劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 (B)劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 (C)劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 (D)劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元 15.由右表可计算出变量 x, y 的线性回归方程为( ) A. y ? ?0.35x ? 0.15 ? C. y ? 0.35x ? 0.15 ? B. y ? ?0.35 x ? 0.25 ? D. y ? 0.35x ? 0.25 ?
2

x
y

5 2

4 1.5 )

3 1

2 1

1 0.5

16.若由一个 2×2 列联表中的数据计算得到 χ =3.528,那么( (A)有 95%的把握认为这两个变量有关系 (B)有 95%的把握认为这两个变量存在因果关系 (C)有 99%的把握认为这两个变量有关系 (D)没有充分的证据显示这两个变量之间有关系

17.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表: 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 合计 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 合计 27 23 50

则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为( ) (A)99% (B)95% (C)90% (D)无充分依据 18.从含有 N 个个体的总体中一次性地抽取 n 个个体,假定其中每个个体被抽取的机会相等,则总体中每 个个体被抽取的概率都等于 。 19.把容量是 64 的样本分成 8 组,从第 1 组到第 4 组的频数分别是 5,7,11,13,第 5 组到第 7 组的频 率是 0.125,那么第 8 组的频数是__________,频率是_______. 20.样本数据-1,2,0,-3,-2,3,1 的标准差等于__________. 21、某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取一个容量为 n 的 样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2,则 n= _______ 22、甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如表所示: 甲 乙 丙 丁 8.5 8.8 8.8 8 x

S

3.5

3.5

2.1

8.7

则参加奥运会的最佳人选为 23、 某校为了了解学生的体育锻炼情况,随机 调查了 70 名学生,得到他们在某一天各自的体育锻炼时间的数 据,结果用如图 3 所示的条形图表示. 根据条形图可得这 70 名 学生这一天平均每人的体育锻炼时间为 小时.
44

24、下图是 2007 年在广州举行的全国少数民族运动会上,七位评委为 某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为 。

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3

25.为了解某地初三年级男生的身高情况,从其中的一个学校选取容量为 60 的样本(60 名男生的身高), 分组情况如下: 分组 频数 频率 (1)求出表中 a,m 的值. 147.5~155.5 6 155.5~163.5 21 163.5~171.5 171.5~179.5

m a
0.1

(2)画出频率分布直方图和频率折线图

基础知识专题训练 18 一、考试要求 内容 随机事件与概率 概率、统计 互斥事件及其发 生的概率 古典概型 几何概型 √ 二、基础知识 1、随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 (1)随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; (2)必然事件:在一定条件下必然要发生的事件; (3)不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件。 2、随机事件的概率
45

等级要求 A √ √ B C

事件 A 的概率: 在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率

m 总接近于某个常数, 在它附近摆动, n

这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。 由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0。 3,互斥事件及对立事件 (1)事件 A 与 B 的两个事件称为互斥事件。 (2)如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率 P(A+B)= (3) 对立事件( A ) : 的两个事件。P( A )=1-P(A)

(4) A,B 为对立事件,则 A,B 为互斥事件;A.B 为互斥事件,则 A,B 不一定为对立事件 4、古典概型 (1)古典概型的两大特点:① ;② (2)古典概型的概率计算公式:P(A)= 5、古典概型 (1)古典概型的两大特点:① (2) 几何概型的概率计算公式:P(A)= 三、基础训练 1. 下列事件中,属于随机事件的是( ) .

;②

A 掷一枚普通正六面体骰子所得的点数不超过 6. B 买一张体育彩票中奖. C 太阳从西边落下. D 口袋中装有 10 个红球,从中摸出一个白球. 2. 从 1,2,3,?9 这 9 个自然数中任取两个数,分别有下列事件; (1)恰有一个奇数和恰有一个偶数; (2)至少有一个奇数和两个都是偶数; (3)两个都是奇数和两个都是偶数; (4)至少有一个奇数和至少 有一个偶数,其中为互斥事件的是 A (1) B (2) (4) C (2) (3) D (3) 3. A C 4. 从 2 件一等品和 2 件二等品中任取 2 件,是对立事件的为( ) 至少有 1 件二等品与全是二等品 B 至少有 1 件一等品与至少有 1 件二等品 恰有 1 件二等品与恰有 2 件二等品 D 至少有 1 件二等品与全是一等品 从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3
)

D. 1

5.一枚硬币连掷 3 次,只有一次出现正面的概率是 (

A.

3 8

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 4

6 从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中,任取 2 张,这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概 率为

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 10
46

D.

7 10

7. 某小组共有 5 名学生,其中女生 2 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为

A.

7 10

B.

8 15

C.

3 5

D.1

8 取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率是.

1 1 1 B. C. D.不确定 2 4 3 2 2 9. 在 1 万 km 的海域中有 40 km 的大陆架贮藏着石油,假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率 是.
A.

1 1 1 1 B. C. D. 249 250 252 251 10.某射手在一次射击训练中,射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28,计
A. 算这个射手在一次射击中:射中 10 环或 7 环的概率是_______ 11、在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同。现 从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 12、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的点数分别为 x 、 y ,则 log x?1 y ? 1的概率为________ 13.如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上, 则它落在阴影区域的概率为________.

14、向圆 x2 ? y 2 ? 4 所围成的区域内随机地丢一粒豆子,则豆子落在直线

3x ? y ? 2 ? 0 上方的概率是_____________.
15、一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4 的四个小球,这些小球除标注的数字外完全相同。从中随 机取出 2 个小球,每个小球被取出的可能性相等。 (1)若不放回抽取,求取出的两个球的标号至少有一个大于 2 的概率; (2)若放回抽取,求取出的两个球的标号恰好相同的概率。

47

16.已知向量 a ? ?1, ?2? , b ? ? x, y ? . (Ⅰ)若 x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先 后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a ? b ? ?1 的概率; (Ⅱ)若 x, y ? ?1,6? ,求满足 a ? b ? 0 的概率.
? ? ? ?

基础知识专题训练 19 一、考试要求 内容 柱、锥、台、球及其简单组合体 空间几何体 二、基础知识 1.空间几何体 棱柱:侧棱都平行且相等,上下底面是全等的多边形,并且相 互平行 棱锥:底面是任意多边形。侧面是有一个公共顶点的三角形 棱台:由平行于底面的平面截棱锥得到,上下底面是相似多边形
48

等级要求 A √ √ √ B C

三视图与直视图 柱、锥、台、球的表面积和体积

(1) .多面体

(2) .旋转体

(3)空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到,在这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图 形的开关和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图。 4、空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x’轴、y’轴的夹角为 45 (或 135 ) ,z’轴 与 x’轴和 y’轴所在平面垂直; (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行。平行于 x 轴和 z 轴的线段长度在直观图不变, 平行于 y 轴的线段长度在直观图中减半。 5、平行投影与中心投影 平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点。 注:空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是: (1)观察角度:三视图是从三 个不同位置观察几何体而画出的图形;直观图是从某一点观察几何体而画出的图形; (2)投影效果:三视 图是正投影下的平面图形,直观图是在平行投影下画出的空间图形。 三.基础练习 1.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A、B、C 分别是 ?GHI 三边的中点)得到的几何体如图 2,则该几 何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为 ( )
H B I A C G 侧视 D F 图1 E F 图2 B A C B E A.
49
o o

B

B

B

E

D

E

E B. C.

E D.

2.水平放置的圆柱形物体的三视图是





3.已知△ABC 的水平放置的直观图是等腰的 Rt△A'B'C' ,且∠A'= 90°,A'B'= 的面积是( ) A B 2 2 C 4 2 D 1 2 4.下面是一个物体的三视图,该物体是所给结果中的 ( )

2 (如图),则△ABC

A.正方体 B.长方体 C.圆锥 D.四棱锥 5.如图一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图是全等的等腰直角三角形,且直角边的边长为 1,那么 这个几何体的体积等于 ( ) A C

1 24 1 6

B D

1 12 1 3
0

6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底面为 45 ,腰和上底长均为 1 的等腰梯形,则这个平 主视图 左视图 面图形的面积是 ( ) A

1 2 + 2 2

B

1+

2 2

C

1+ 2

D 2+ 2

2 2 俯视图 2

7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 那么这个几何体是( A.三棱锥 C.三棱台 ) B.四棱锥 D.四棱台

4 (第 7 图)

8.一个几何体的三视图如图 1 所示,其中正视图 与左视图都 是边长为 2 的正三角形,则这个几何体的侧面积为( ) A.

3 ? 3

B. 2?

C. 3?

D. 4?
正(主)视 图 左(侧)视 图

俯视图

图1

50

2

3

9.右图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,
1

2

则该几何体的体积为(


3

C1

A. 3 3 ?

?
6

B. 3 3 ?

?
3

C. 2 3 ?

?
6

D. 2 3 ?

?
3

2

2

2

10.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 2 的正方形,主 视图与左视图是边长为 2 的正三角形,则其侧面积 ( ).

2
第 10 题图

A. 4

B . 4 3

C. 4(1 ? 3)

D . 8

11.由正方体木块搭成的几何体的三视图如下,则该几何体由_____块小正方体木块搭成

y 12.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图, 则这个平面图形的面积是 . 13.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 _______



?2

O



x



①正方形

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

14、如图(右面) ,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是________. 15.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的体积为______________

主视图

左视图

俯视图
4

第 4 题图

3 3
正视图 侧视图 俯视图

51

16.在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是__________

17.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为__________. ...

主视图

左视图

形,

第3题 俯视图

基础知识专题训练 20 一、考试要求 内 容 点、线、面之 间的位置关系 平面及其基本性质 直线与平面平行、垂直的判定与性质 等级要求 A √ √ B C

二、基础知识 1.平面概述 (1)平面的特征:①无限延展 ②没有厚度 (2)平面的画法:通常画__________来表示平面; (3)平面的表示:用一个小写的希腊字母 ? 、 ? 、 ? 等表示,如平面 ? 、平面 ? ;用表示平行四边形 的两个相对顶点的字母表示,如平面 AC。 2.三公理三推论: 公理 1:______________________________________________________ 公理 2:______________________________________________________ 公理 3:______________________________________________________ 推论一:______________________________________________________ 推论二:______________________________________________________ 推论三:______________________________________________________ 3.空间直线: (1)空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点; 平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——_____________________________。相交直线和平行直线也称为____直线。 (2)公理 4:____________________________________ 4.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ,符号:_______; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ,符号:________; (3)直线和平面平行(没有公共点) ,符号:__________。 5. 平面与平面位置关系。
52

(1)平面和平面相交(无数个公共点) ,符号:________; (2)平面和平面平行(没有公共点) ,符号:__________。 三、基础训练 1.下列命题错误的是( )

A.平面和平面相交,它们只有有限个公共点 B.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 C.经过两条相交直线,有且只有一个平面 D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合 2.若直线 a 不平行于平面 ? ,且 a ? ? 内,则下列结论成立的是( A. B. C. D. )

? 内的所有直线与 a 异面 ? 内不存在与 a 平行的直线 ? 内存在唯一的直线与 a 平行 ? 内的直线与 a 都相交


3.下列命题中正确的个数是(

(1)若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l // ? (2)若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内任一条直线都平行 (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 (4)若 l // ? ,则 l 与平面 ? 内的任一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3

4.给定空间中的直线 l 及平面?,条件“直线 L 与平面?内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面?垂直” 的( )条件 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要 )

A.充要

5.设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则能得到 a ? b 的一个条件是( A. a ? ? ,b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ? B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? ,b // ? , ? ? ?

6.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命 题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n )



‖ C. 若m‖? , m ? , 则?‖ ?

m n 7.已知直线 l 、 、 及平面 ? ,下列命题中的假命题是 (
53

A. 若 l // m , m // n ,则 l // n C. 若 l ? m , m // n ,则 l ? n

B. 若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n D. 若 l // ? , n // ? ,则 l // n

8.已知直线 a、 b 是异面直线,直线 c、 d 分别与 a、 b 都相交,则直线 c、 d 的位置关系 A.可能是平行直线 C.可能是相交直线 B.一定是异面直线 D.平行、相交、异面直线都有可能

9.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题:[来源:学_科_网] ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? 其中正确命题的序号是( A.①③ B.②④ ) C.①④ D.②③ ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n [来源:学科网 ZXX] ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?

10.已知 ? , ? 是平面, m, n 是直线,则下列命题中不正确的是

11. 设 ? 表示平面, a, b 表示直线,给定下列四个命题:

A.若 m ∥ n, m ? ? ,则 n ? ? C.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ∥ ?

B.若 m ∥ ? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n

D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ?

① a // ? , a ? b ? b ? ? ;② a // b, a ? ? ? b ? ? ; ③ a ? ? , a ? b ? b // ? ;④ a ? ? , b ? ? ? a // b .其中正确命题的个数有 2 个 12.已知 m, n 是不重合的直线, ? , ? 是不重合的平面,有下列命题:①若 m ? ? , n // ? ,则 m // n ;② 若 m // n , m ? ? ,则 n ? ? ;③若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ;④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? .其 中真命题有 . (写出所有真命题的序号) 13.在正三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别是 AB,BC 的中点,有下列三个结论: ① AC⊥PB; ② AC∥平面 PDE;③ AB⊥平面 PDE。则所有正确结论的序号是 14.如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, EF ? AC , EF ? A1D 则 EF 和 BD1 的关系是



基础知识专题训练 21 一、考试要求 内 容 等级要求 A √ √ √ B C

点、 面之 平面及其基本性质 线、 间的位置关 直线与平面平行、 垂直的判定与性质 系 两平面平行、垂直的判定与性质

二、基础知识 1.直线与平面平行的判定定理:___________________________________________________, 符号语言:_________________________________________.
54

直线与平面平行的性质定理:________________________________________________________, 符号语言:________________________________________. 2.两个平面平行的判定定理:________________________________________________ 符号语言:_________________________________________________ 两个平面平行的性质定理 (1)__________________________________________________________; 符号语言:________________________________________. (2)__________________________________________________________。 符号语言:________________________________________. 3.线面垂直定义:__________________________________________________________ 符号语言:_________________________________________ 直线与平面垂直的判定定理:_______________________________________________, 符号语言:_________________________________________. 直线和平面垂直的性质定理:_______________________________________________, 符号语言:_________________________________________. 4.两个平面垂直的定义:_____________________________________________________。 两平面垂直的判定定理:_______________________________________________________。 符号语言:_________________________________________. 两平面垂直的性质定理:_______________________________________________________.。 符号语言:_________________________________________. 三、基础训练

m n 1.已知直线 l 、 、 及平面 ? ,下列命题中的假命题是 (
A. 若 l // m , m // n ,则 l // n C. 若 l ? m , m // n ,则 l ? n



B. 若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n D. 若 l // ? , n // ? ,则 l // n

2.如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是一个正方形,PD 垂直 于 ABCD,则这个四棱锥的五个面中,互相垂直的平面共有( ) A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对

3. 若 m, n 表示直线, ? 表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ①

m // n ? ?? n ?? ; m ??? m ??? ? ? m ? n; n // ? ?
B.2 个



m ??? ? ? m // n ; n ?? ? m // ? ? ?? n ?? m ? n?
C.3 个 D.4 个 )





A.1 个

4. 在正四面体 P - ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点, 下面四个结论中不成立的是 ... ( A. BC//平面PDF C. 平面PDF ^ 平面ABC B. DF ^ 平面PAE D. 平面PAE ^ 平面ABC

5、 下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M 、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB //
55

平面 MNP 的图形的序号是__________

6. 已知平面 ? , ? 和直线 a,b,c,且 a∥b∥c,a ? ? ,b,c ? ? 则 ? 与 ? 的关系是__________. 7.已知平面 ? , ? 和直线,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? . 当满足条件 时,有 m ? ? 。 (填所选条件的序号)

8、若 ?、? 是两个不重合的平面,以下条件中可以判断 ? ∥ ? 的是:_______: ① ?、? 都垂直于平面 ? ;② ? 内有不共线的三点到 ? 的距离相等; ③ l、 m 是 ? 内的两条直线,且 l ∥ ? , m ∥ ? ; ④ l、 m 是两条异面直线,且 l ∥ ? , l ∥ ? , m ∥ ? , m ∥ ? . 9.已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平面 ? , ? ,有下列命题 ①若 m // n, n ? ? , 则m // ? ; 其中正确的命题个数是_______ 10.关于直线 m , n 与平面 ? , ? ,有以下四个命题,其中真命题的序号是_________: ①若 m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ;④若 m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n . 11.如图,AB 是⊙ O 的直径,PA 垂直于⊙ O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A,B 的任意一点, (1)求证:BC⊥平面 PAC (2)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; ②若 l ? ? , m ? ?且l // m, 则? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? ; ④若 ? ? ? ,? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ;

56

12. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面ABCD ,且 PA ? AB , 点 E 是 PD 的中点. (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB ∥平面 AEC .

13. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点 E、F 分别为棱 AB、 PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE;
F P

(2)求三棱锥 C-BEP 的体积.
A C D

E B

57

14.如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2AB , PA ? 底面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD=AB=1. (1)证明: EB // 平面PAD ; (2)证明: BE ? 平面PDC ; (3)求三棱锥 B ? PDC 的体积 V.

15、已知:正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

D1
A1

C1

B1
D

E

C
B

A

58

16、如图,己知 ?BCD 中, ?BCD ? 90 , BC ? CD ? 1, AB ? 平面BCD ,
0

且 ?ADB ? 600 , E, F分别是AC,AD上的动点,

AE AF = =? ,(0<? <1) AC AD

(1)求证:不论 ? 为何值,总有 EF ? 平面ABC; (2)若 ? =

1 , 求三棱锥 A-BEF 的体积. 2

基础知识专题训练 22 一、考试要求 内 容 等级要求 A B √ √ √ C

直线的斜率和倾斜角 平面解析几何初步 二、基础知识 直线方程 直线的平行关系与垂直关系

1.倾斜角:一条直线 L 向上的方向与 X 轴的________所成的_______,叫做直线的倾斜角,范围为 ________。 2.斜率:(1)当直线的倾斜角不是___时,则称其正切值为该直线的斜率,即 k=______;当直线的倾 斜角等于 90 时,直线的斜率_______。 (2)过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=___________ 0 (若 x1=x2,则直线 p1p2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90 ) 。 3.直线方程的五种形式 名称 斜截式 点斜式 方程 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0,y0)——直线上 已知点,k——斜率
59
0

适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式

两点式 截距式

(x1,y1),(x2,y2)是直线 上两个已知点

与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标轴 平行的直线不能用此式

a——直线的横截距 b——直线的纵截距

一般式

?

A C C ,? ,? 分别为 B A B

A、B 不能同时为零

斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于 x 轴)的直线;两点式不能表示平行或重合两坐 标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 4.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0
l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
5.距离公式 1.两点间距离:若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ,则 AB ?

l1 ,l 2 有斜率

不可写成分式

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

特别地: AB // x 轴,则 AB ? | x1 ? x2 | 、 AB // y 轴,则 AB ? | y1 ? y2 | 。 2.点到直线的距离: P(x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到 l 的距离为: d ? 3.平行线间距离:若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 , 则: d ?

Ax? ? By ? ? C A 2 ? B2

C1 ? C 2 A 2 ? B2

。注意点:x,y 对应项系数应相等。

三、基础训练 1.直线 l2 的倾斜角为 30 ,斜率为 k1 ,直线 l2 过点 (1, 2) , (5, 2 ? 5) ,斜率为 k2 ,则
?

(

)

A

k1 ? k2

B

k1 ? k2

C

k1 ? k2

D 不能确定 )

2.过点 P(2,3) 且与直线 A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 3x ? 2 y ? 5 ? 0

x y ? ? 1 平行的直线的方程是( 3 2
B. 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0

3. 已知 ? 是第二象限角,直线 sin ? x ? tan ? y ? cos ? ? 0 不经过 (
60

)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为 ( A. 2 x ? 3 y ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 B. x ? y ? 5 ? 0 D. x ? y ? 5 ? 0 或 x-y+5=0

)

6. 直线 l1 : 2 x ? (m ?1) y ? 4 ? 0 与直线 l2 : mx ? 3 y ? 2 ? 0 平行,则 m 的值为( A.2 B.-3 C.2 或-3 D.-2 或-3



2 2 7.若直线 a ? 4a ? 3 x ? a ? a ? 6 y ? 6 ? 0 与 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于

?

? ?

?

A.5

B.-3

C.5 或-3

D 不存在

8.已知点 A(1, 3), B(?1,3 3) ,则直线 AB 的倾斜角是_________ 9.直线 l 经过点 P (2, 3) ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,直线 l 的方程_________ 10.已知直线 l 过点 P(2, 1) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,则△OAB 面 积的最小值为 .

11. 已知 A(7,?4) 关于直线 l 的对称点为 B(?5,6) ,则直线 l 的方程是__________________ 12. 已知点 A(?3, 5), B(2, 15) ,在直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上求一点 P,使 PA ? PB 最小. 13.与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行,且距离等于 13 的直线方程是 14.已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为 . .

15.若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),则实数 m 的取值范围是 _____________.

基础知识专题训练 23 一、考试要求 内 容 圆的标准方程和一般方程 平面解析几何初步 二、基础知识 1.圆的方程 (1)圆的标准方程:_______________________。圆心为_________,半径为________ (2)圆的一般方程________________________,圆心为点_______,半径_________________。 注:二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充要条件是:
2 2

等级要求 A B √ √ C √

直线与圆、圆与圆的位置关系 空间直角坐标系

_________________________。
61

注:求圆的方程常用的方法:待定系数法(标准方程或一般方程) ;数形结合求圆心、半径 2.直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种( d ? (1)若 d ? r ? 相离 ; (2) d ? r ? 相切; (3) d ? r ? 相交 。 注: 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

) :

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解, 通过解的个数来判断.

C

B r O

直线与圆相交的弦长公式: ①几何方法: AB ? 2 r ? d ;
2 2

A

d

②代数方法:AB ?

(1 ? k 2 )[( x A ? x B ) 2 ? 4 x A x B ]

3.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。

d ? r1 ? r2 ? 外离 ;

d ? r1 ? r2 ? 外切 ;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ;

d ? r1 ? r2 ? 内切;

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。 4.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 点 P(x 0,y 0) ,圆的方程: ?x ? a ? ? ?y - b? ? r 2
2 2

如果 ?x ? a ? ? ?y - b?
2

2

2 _____ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆外;

2 2 2 如果 ?x ? a ? ? ?y - b? ______ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆内; 2 2 2 如果 ?x ? a ? ? ?y - b? ______ r ? 点 P(x 0,y 0) 在圆上。

三、基础训练 1.圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 11 ? 0 的圆心坐标和半径分别为 A. (4,3) , 6
2

B. (4, ?3) , 6
2

C. (4,3) , 36 )

D (4, ?3) , 36

2 斜率为 1,与圆 x ? y ? 1相切的直线的方程为 ( A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0
2 2

B. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0

3.过圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 2 上一点 (2,3) 作圆的切线,则切线方程为
62

A. x ? y ? 5 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 5 ? 0

D. x ? y ? 1 ? 0 )

4..圆 O 1: x2 ? y 2 ? 2x ? 0 和圆 O 2: x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 (

A. 相离

B. 相交

C. 外切

D. 内切
( D.4 2 )

5.直线 x ? y ? 4 ? 0 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 截得的弦长为 A. 2 B.2 2 C.3 2

6.已知点 (1, m) 在圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 8 外,则 A. m ? 1 B. m ? ?3 C. m ? 1 或 m ? ?3 D.不能确定

7.方程 x2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是 A m?2 B m?2 C m?

1 2

D m?

1 2

8.过三点 O (0, 0) , A(1,1) , B (4, 2) 的圆的方程为 A. x2 ? y 2 ? 10 C. x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0
2 2

B. x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 D. x2 ? y 2 ? 9 x ? 7 y ? 0

9.过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

5 ? 0 相切的直线的方程为_________________ 2

10.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为_______________
2 2 11.设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则

a?

.

12.直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是__________ 13.若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 14.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是______________________ 15.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是___________ .

基础知识专题训练 24 一、考试要求 内 圆锥曲线与方 程 容 等级要求 A √ √ B √ C

椭圆的标准方程和几何性质 双曲线的标准方程和几何性质 抛物线的标准方程和几何性质
63

二、基础知识 1.椭圆与双曲线的性质: 椭 圆 | PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |) 定义 方程
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2


x2 y 2 ? ?1 a 2 b2



线
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)

x2 y 2 ? ?1 b2 a 2

y
M M
2

P

图形

1

F A K1 K A2 F 1O
1 1 2 2

x

焦点 焦距 范围 对称轴 顶点 轴 离心率 准线 渐进线 a,b,c 2.抛物线的性质

F (?c, 0)

F (0, ?c)
F1 F2 ? 2C

F (?c, 0)

F (0, ?c)

-a≤x≤a,-b≤y≤ b

-b≤x≤b,-a≤y≤ x≥a 或 x≤-a, y≥a 或 y≤-a, a y≥b 或 y≤-b x≥b 或 x≤-b 关于 x、y 轴对称,关于原点成中心对称 长轴: 长轴: 实轴: (-a,0),(a,0) (-b,0),(b,0) (-a,0),(a,0) 实轴: (-b,0),(b,0) 短轴: 短轴: 虚轴: 虚轴: (0,-a),(0,a) (0,-b),(0,b) (0,-a),(0,a) (0,-b),(0,b) 长轴长 2a,短轴长 2b 实轴长 2a,虚轴长 2b
e? c (0 ? e ? 1) a
e? c (e ? 1) a

x??

a2 c

y??

a2 c

x??
y??

a2 c
b x a

y??

a2 c


a ? b ? 0,a 2 ? b 2 ? c 2

y??

a x b

c ? a ? 0,c 2 ? a 2 ? b 2

标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x2 ? 2 py ( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l
图形

y

y

y

l

o F
p ( , 0) 2

x

F o
(? p , 0) 2 p x? 2

F

x

l

o

x
p (0, ? ) 2 p y? 2

焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 三、基础训练 1.椭圆

p (0, ) 2

x??

p 2

y??

p 2

x?0

x?0

x轴 (0, 0)
e ?1

x轴 (0, 0)
e ?1

y?0 y轴
(0, 0) e ?1

y?0 y轴
(0, 0)

e ?1

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 4 3

64

A

1 4

B

1 2

C

2

D 4

2.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆

A ?2
3. 抛物线 y ? ?

B 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2 D 4 C ?4

1 2 x 的准线方程是 8
B

A y??

1 32

y?2

C y?

1 32

D y ? ?2

4.已知双曲线 A y ? 2x
2

x2 ? y 2 ? 1 ,则其渐近线方程为 4
B
2

y?

1 x 2
2

C y ? ?2 x

D y??

1 x 2

5. 曲线 x ? y ? 1 与曲线 x

16

9

y2 ? 1(0 ? m ? 9) 的关系是 9 ? m 16 ? m ?
C 焦点相同 D 有相等的长、短轴

A 焦距相等
2

B 离心率相等

6.抛物线 y=4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 A

17 16

B

15 16

C

7 8

D 0

x2 2 7.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边 3
上,则△ABC 的周长是

A 2 3
2 2

B 6

C 4 3

D 12

8.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? A ?

1 4
2

B ?4

C 4

D

1 4

9.过抛物线 y = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6,那么 AB =

A 6

B

8

C

9

D 10

10.已知 F1、F 2 是椭圆的两个交点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 两点,若 △ABF2 是正三 B 角形,则此椭圆的离心率是

A

3 3

B

2 3

C

2 2

D

3 2

11.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程 是 。 12. 若方程

x2 y2 ? ? 1 表示的图形是双曲线,则 k 的取值范围为 2 ? k k ?1


. 。

13.顶点在原点,准线方程为 y ? ?2 的抛物线方程是

65

x2 y2 14.已知 F1、F2 为椭圆 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点若 F2 A ? F2 B ? 12 , 25 9
则 AB =______________。

15.双曲线的离心率等于

x2 y2 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方程______ 9 4 2

16.若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为_____ 17.已知椭圆的长轴长是 2 3 ,焦点坐标分别是( ? (1)求这个椭圆的标准方程; (2)如果直线 y ? x ? m 与这个椭圆交于两不同的点,求 m 的取值范围. , 2 ,0)( 2 ,0).

2 18.直线 y ? x ? 2 与抛物线 y ? 2 x 相交与 A,B 两点.求证: OA ? OB

66


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