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高中数学知识网络(新课标)


2012年12月20日星期四

第一部分 第二部分

集合与简易逻辑 映射、函数、导数、定积分与微积分 三角函数与平面向量 数列 不等式 立体几何与空间向量



第三部分 第四部分 第五部分



第六部分

第七部分
第八

部分 第九部分 第十部分 第十一部分

解析几何
排列、组合、二项式定理、推理与证明 概率与统计 复数 算法

第 一 部 分 集 合 与 简 易 逻 辑
集 合

(1 ) 空集是任何非空集合的

真子集;
?

集合元素的特性 有限集 集合的分类 无限集 空集φ 集合的表示

确定性、互异性、无序性

( 2 ) A ? A ;3 ) 则 A ? B 则 A ? B 或 A ? B ; ( ( 4 ) 若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; ( 5 ) 含有 n 个元素的集合有 有2
n ?1

2 个子集,

n

个真子集;

( 6 ) ? , 的区别: ? 表示元素与集合关系, ? ? 表示集合与集合关系; ( 7 ) a 与 ?a ?区别:一般地, a 表示元素,

列举法、特征性质描述法、Veen图法 真子集 性质

?a ?表示只有一个元素
? 表示空集,

a 的集合;

集合的基本关系

子集 几何相等 交集
p? q p? q

?? ?? ( 8 ) ?0 ?, ?, ? 区别:?0 ?, ?表示集合,
? ? ?0 ?, ? ? ?? ?.

(1 ) A ? A ? A , A ? A ? A ,

集合的基本运算

并集 补集

数轴、Veen图、 函数图象

A ? ? ? A , A ? ? ? ?; (2) A ? B ? A ? A ? B , A ? B ? A ? B ? A, A ? B ? A ?或 B ? ? A ? B ;

互逆
原命题:若 p ,则 q . 逆命题:若 q ,则 p .

( 3 ) A ? ?C U A ? ? U ; A ? ?C U A ? ? ? ; C U ?C U A ? ? A ; ( 4 ) C U ? A ? B ? ? ? C U A ? ? ? C U B ?; ( 5 ) 分配律: A ? ? B ? C ? ? ? A ? B ? ? ? A ? C ?; A ? ?B ? C ? ? ? A ? B ? ? C ; A ? ? B ? C ? ? ? A ? B ? ? ? A ? C ?; ( 6 ) 结合律: A ? ?B ? C ? ? ? A ? B ? ? C ;

四种命题 上一页 基本逻辑 退出 联结词

互否
否命题:若 ? p ,则 ? q .

互为

逆否
逆否命题:若

互否
? q ,则 ? p .

或 ? 且 ?
非?

p? q p?q
? p ?或 ? q ?

互逆

量词

全称量词 存在量词

全称命题 存在命题



若 p : ? x ? M , p ? x ?;则 ? p : ? x 0 ? M , ? p ? x 0 ? 若 p : ? x 0 ? M , p ? x 0 ?;则 ? p : ? x ? M , ? p ? x ?





A中元素在B中都有唯一的象;可一对一 (一一映射),也可多对一,但不可一对多 定义 函数的概念 表示 定义域

第 二 部 分 映 射 、 函 数 、 导 数 、 定 积 分 与 微 积 分

列表法 解析法 图象法 使解析式有意义及实际意义



三要素
区间 单调性 奇偶性 周期性 对称性

对应关系 值域

常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、 重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性:同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称,若x=0有意义,则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称,反之也成立。 f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有: f (T)=f (T/2)= f (0)=0. 二次函数、基本不等式,对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 正(反)比例函数、 一次(二次)函数 指数函数与对数函数 幂函数 定义、图象、 性质和应用

函数的 基本性质

函 数
函数常见的

最值

几种变换
基本初等函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用

平移变换、对称变换 翻折变换、伸缩变换

三角函数 单调性:同增异减 赋值法,典型的函数 零点 建立函数模型 求根法、二分法、图象法;一元二次方程根的分布 退出 上一页

函数的平均变化率

函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线的斜率
c ? 0 ? c 为常数
'

f ? x ?与 f ? x 0 ?的区别
vt ? S , at ? vt
'
0 0

第 二 部 分 映 射 、 函 数 、 导 数 、 定 积 分 与 微 积 分
导 数

导数概念

运动的平均速度 曲线的割线的斜率

'
0

k ? f
'

'

?x ?
0
' '

?;x ? ?
n

? nx 1 x

n ?1

? sin x ? ? cos x ;cos x ? ? ? sin x ; ? ;
x

基本初等函数求导

? log

a

x? ?

1 x ln a

? ln ; x? ?

?a ;

?

'

? a

x

?e ln a ;
'

x

?

'

? e .
x
'

导数概念

设 f ? x ?, g ? x ?是可导的,则有:

(1 ) ? f ? x ? ? g ? x ?? ? f ? x ? ? g ? x ?
' ' '

导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值
f
'

? f ?x ?? f ' ' ' ( 2 ) ? f ? x ? ? g ? x ?? ? f ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? x ? ( 3 ) ? ? ? g ?x ? ? ?

? x ?g ? x ? ? f ? x ?g ' ? x ? 2 ? g ? x ??

? f ? g ? x ? ??
?x ? ?

'

? f

'

?u ? ? u ? x ?
'

0 ? f ? x ?在该区间递增,

f

'

?x ? ?

0 ? f ? x ?在该区间递减

.

1.极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点; 2.闭区间一定有最值,开区间不一定有最值。 1.曲线上某点处切线,只有一条;2.过某点的曲线的 切线不一定只一条,要设切点坐标。 一般步骤:1.建模,列关系式;2.求导数,解导数方程; 3.比较区间端点函数值与极值,找到最大(最小)值。 性质
? kf ? x ?dx ? k ? f ? x ?dx ; ? f ? x ? ? g ? x ? ?dx ? ? f ? x ?dx ? ? g ? x ?dx ; ?
b b b b b a a a a a

导数应用

曲线的切线 变速运动的速度 生活中最优化问题 定义及几何意义

定 积 分 与 微 积 分

? f ? x ?dx ? ? ? f ? x ?dx ; f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx ? f ? x ?dx .? a ? b ? c ? ?
b a c b c a b a a b

定积分概念

曲边梯形的面积 变力所做的功
和式

1.用定义求:分割、近似代替、求和、取极限;2.用公式。

? f ?? ?? x 的极限
i i i ?1

n ?1

微积分基本 定理

定理含意 定理应用

若F

'

?x ? ?
a

f ? x ?, 则 ?a f ? x ? dx ? F ? b ? ? F ? a ??牛顿 ? 莱布尼兹公式
b
b

?

1.求平面图形面积;2.在物理中的应用(1)求变速运动的路程: (2)求变力所作的功; W ? ? F ? x ? dx s ? ? v ? t ?dt
b
a

第 三 部 分 三 角 函 数 与 平 面 向 量

正角、负角、零角 象限角 角 任意角与弧度制; 单位圆 弧度制 轴线角 终边相同的角 定义1弧度的角 三角函数线 平方关系、商的关系 公式正用、逆用、变形 及“1”的代换 化简、求值、证明(恒等式) 描点法(五点作图法) 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 三角函数的图象 正切函数y=tanx y=Asin(ωx+φ)+b 性质 定义域、值域 单调性、奇偶性、周期性 对称性 最值 作图象 几何作图法 对称轴(正切函数 除外)经过函数图 象的最高(或低) 点且垂直x轴的直线 对称中心是正余弦函 数图象的零点,正切 函数的对称中心为 (
k? 2

区别第一象限角、锐角、小于900的角

①角度与弧度互化;②特殊角的弧度数; ③弧长公式、扇形面积公式

任意角三角函数定义

三 角 函 数

同角三角函数的关系

任意角的三角函数

诱导公式 和(差)角公式 二倍角公式

奇变偶不变,符号看象限

上一页

,0)(k∈Z)

退出

①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到,但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同; ②图象也可以用五点作图法;③用整体代换求单调区间(注意?的符号); ? 2 k ? 1 ?? ? 2 ? 2? k? ? ? ④最小正周期T= ;⑤对称轴x= ,对称中心为( ,b)(k∈Z).
?
2?

?

三角函数模型的简单应用

生活中、建筑学中、航海中、物理学中等

第 三 部 分 三 角 函 数 与 平 面 向 量

a

?

b sin B

?

c sin C

? 2 R 及变式

正弦定理

sin A

适用范围:①已知两角和任一边,解三角形; ②已知两边和其中一边的对角,解三角形。
a b
2

? b ? c ? 2 bc cos A
2 2

解的个数是一个? 两个?还是无解?

2

? a ? c ? 2 ac cos B
2 2

推论:求角

余弦定理

c

2

? a ? b ? 2 ab cos C
2 2

解三角形
面积

适用范围:①已知三边,解三角形;②已知两 边和它们的夹角,解三角形。
S ? ABC ? ? 1 2 ah ? 1 2 ab sin C

a ?b? c? ? p ? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ? ? 其中 p ? ? 2 ? ? abc 4R

? ?

? R 是外接圆半径

? ?
表示
? a ?

实际应用 向量的概念 线性运算

1 2

?a

? b ? c ? ? r ? r 是内切圆半径

(1)解三角形时,三条边和 三个角中“知三求二”。 (2)解三角形应用题步骤: 先准确理解题意,然后画出 示意图,再合理选择定理求 解。尤其理解有关名词,如 坡角、坡比、仰角和俯角、 方位角、方向角等。
?x2
? x1 ? ? ? y 2 ? y 1 ?
2 2

零向量与单位向量

平面向量
上一页

加、减、数乘 几何意义及运算律 ? ? ? ? p ? x e1 ? y e 2 ? 平面向量基本定理 数量积 几何意义 夹角公式 投影
? ? 设 a 与 b 夹角为

b 在 a 方向上的投影为

? ? ? a ?b b cos ? ? ? a

? ? a ?b ? , 则 cos ? ? ? ? a ? b

退出

共线与垂直 向量的应用

共线(平行) 垂直

? ? ? ? ? ? a // b ? b 1 ? ? 0 a ? x 1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 a ? 0

?

?

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0

在平面(解析)几何中的应用;在物理(力向量、速度向量)中应用

解析法:an=f(n) 数列的定义 表示 图象法 一 般 数 列 通项公式 概念 递推公式 an与sn的关系

数列是特殊的函数

第 四 部 分 数 列 数 列

列表法
S 1, n ? 1 ? an ? ? ? S n ? S n ? 1, n ? 2

通项公式
特 殊 数 列 等差数列 求和公式 性质 等比数列

a n ? a 1 ? ? n ? 1 ?d ? a m ? ? n ? m ?d
Sn ? n 2

a n ? a1 ? q

n ?1

? am ? q
a1 ? a n ? q 1? q

n?m

? a1 ?

a n ? ? na 1 ?

n ?n ? 1? 2

a 1? q S n ? na 1 ? q ? 1时 ?; 1 d 1? q

?

n

?

?
2

?q

?1

am ? an ? a p ? aq ? 2 a m?n
a n ? 1 ? a n ? 常数
2

am ? an ? a p ? aq ? a m?n
a n ?1 an ? 常数
2

判断

q≠0,an≠0
① a n ?1 ? a n ? f ? n ? ② 常见递推类型 及方法 ③ ④ ⑤
a n ?1 an ? f ?n ?
n

逐差累加法
逐商累积法
构造等比数列 ? q ? ?an ? ? p ? 1? ?
1 ? 1 a
n

2 等差中项: a n ? 1 ? a n ? a n ?

等比中项: 2 ? a ? a a n ?1 n n?2

a n ?1 ? pa
pa

? q

a ? a n ? a n ?1 n ?1 n
n

构造等差数列
化为 a n ?1 q
n

?

p

a

n ?1

a n ? 1 ? pa

? q

n

?

p q

?

an q
n ?1

? 1 转化为



上一页

公式法:应用等差、等比数列的前n项和公式 倒序相加法
自然数的乘方和公式:
n

退出

常见的求和方法 数列应用

分组求和法 裂项相消法 错位相减法

? k ?
k ?1 n

1 2

n ? n ? 1 ?; k ?
k ?1

n

2

?

1 6

n ? n ? 1 ?? 2 n ? 1 ?

? k
k ?1

3

?

?1 ? n ?n ? 1? ?2 ? ? ?

2

基本性质 不等关系与不等式 比较大小问题 求解范围问题 一元二次不等式及其解法 借助二次函数图象, 利用三个“二次”间的关系

作差或作商

第 五 部 分 不 等 式
不 等 式

二元一次不等式(组)与平面区域 可行域 简单的线性规划问题 目标函数 应用题 一次函数z=ax+b
z 构造斜率:? y ?b x? a

几何意义:z是直线 ax+by-z=0在x轴截距 的a倍,y轴上截距的 b倍.
2

构造距离 z

?

?x ? a ?

? ?y ? b?

2

基本不等式
ab ? a ?b 2

最值
变形

和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.“一正二定三相等”
2 ab a?b ? ab ? a?b 2 ? a ?b
2 2

2

一元一次:ax>b 一元二次不等式

分a>0,a<0,a=0(b≥0,b<0)讨论
分a>0,a<0, Δ>0, Δ=0, Δ<0讨论 x系数化为正,“穿根法”,奇穿偶不穿
f ?x ? g ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0; f ?x ? g ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 0且 g ?x ? ? 0

ax2+bx+c>0(a≠0)
上一页 解不等式 退出 解不等式组
?x ?

一元高次不等式
x 1 ?? x ? x 2 ? ? ? ? ? x ? x n ? ? 0 ? ? 0 ?

分式不等式 绝对值不等式 利用性质转化为代数不等式, 底数a的讨论

f ?x ? ? g ?x ? ? ? g ?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? f ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ?或 f ? x ? ? ? g ? x ? f ?x ? ? g ?x ? ? f ?x ?
2

? g ?x ?

2

形如 x ? a ? x ? b ? c ,可分段讨论或用 绝对值几何意义求解 .

指数对数不等式

第 六 部 分 立 体 几 何 与 空 间 向 量

结构 简单组合体的结构特征
S 圆台 ? ? ? r V 圆台 ? 1 3
'2

柱、锥、台、球的结构特征

空间几何体

三视图 直观图 表(侧) 面积体积 点与线 点与面

三视图

长对正,高平齐,宽相等

? r ?

2

? r l ? rl ?;
' '

直观图(斜二侧画法) 平行投影和中心投影

?s

'

s s ? s ? h; 4 3

?

S 球 ? 4? R ; V 球 ?
2

?R ;
3

? 点在直线上或点不在直线上, 或 ?

点在面内或点不在面内, 共面直线 异面直线 相交 线在面外 线在面内 相交 相交 平行

?或 ?

只有一个公共点 没有公共点 只有一个公共点 l ? ? ? A 没有公共点
l // ?

平面三公 理及推论

线与线

空间点、直 线、平面的 位置关系

线与面

平行
l ? ?

? ? ? ? l
? // ?

面与面

平行

上一页 平行关系的 相互转化 退出 垂直关系的 相互转化 线线 垂直 线面 垂直 面面 垂直 线线 平行 线面 平行 面面 平行

第 六 部 分 立 体 几 何 与 空 间 向 量

异面直线所成的角

范围; ? 0 , 90
0

0

?
0

? ? a ?b cos ? ? ? ? ; a ? b

空间的角

直线与平面所成的角

范围; ?0 范围; ?0 ,180
0

0

, 90

?

二面角 点到平面的距离

0

?

空间的距离

直线与平面所成的距离 平行平面之间的距离

相互之间的转化

? ? a ?n sin ? ? ? ? ; a ? n ? ? n1 ? n 2 cos ? ? ? ? ; n1 ? n 2 ? ? a ?n d ? ? . n

A

a’ a

b θ

l ? a

? n

θ
直线与平面所成的角

?

O

?2? ?1
C
A

B

异面直线所成的角

cos ? 2 ? cos ? 1 ? cos ?

上一页

B C

O

D

退出

二面角

垂线法
利用三垂线定理作出平面 角,解直角三角形求角

垂面法
通过做二面角的棱的垂面, 两条交线所成的角即为平面角

射影法
二面角?的大小为cos?= S`÷ S

第 六 部 分 立 体 几 何 与 空 间 向 量

共线向量 定理 空间向量的 加减运算 空间向量的 共面向量 定理

? ? ? ? a // b ? a ? ? b ? ? ? R ?或 ? ? OP ? OA ? t a ? t ? R , a 为 l 方向向量

? ? ? ? ? ? ? ? p 与 a , b 共面 ? p ? x a ? y b a , b 不共线

?

?

?

或 AP ? x AB ? y AC 或 OP ? OA ? x AB ? y AC ? x OA ? y OB ? z OC ?其中 x ? y ? z ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 空间任一向量 p ? x a ? y b ? z c a , b , c 不共面

空间向量
及其运算

数乘运算 空间向量的 数量积运算 空间向量的 坐标运算

空间向量 基本定理 平行与垂 直的条件 向量夹角

?

推论:设

OABC 是不共面四点,则对任

一点 P 有

空 间 向 量 与 立 体 几 何
立体几何中 的向量方法

OP ? x OA ? y OB ? z OC ? x , y , z ? R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a // b ? b ? ? a a ? 0 , ? ? R ; a ? b ? a ? b ? 0 ? ? a ?b ? ? cos a , b ? ? ? ? ? 坐标表示 ? a ? b

?

?

向量距离 直线的方向向量与法向量 向量法证两直线平行与垂直 求空间角 求空间距离

AB ?

2

AB

?

?x

2

? x1 ? ? ? y 2 ? y1 ? ? ? z 2 ? z1 ?
2 2

2

1 .求异面直线的夹角 ? ?a , b 为方向向量 ?

? ? a ?b ? : cos ? ? ? ? a ? b

?;

上一页

退出

点到平面的距离: 线面距、面面距都可转

? ? n ? MP ? n 为平面 ? 的法向量, ? d ? ? ? n ?M ??,P ?? 化为点面距 .

? ? ? ?

? ? a ?n 2 .直线与平面的夹角 ? : cos ? ? ? ? a ? n ? ? ? a 为直线方向向量, ?; n 为平面法向量 ? ? n1 ? n 2 3 .二面角 ? : cos ? ? ? ? n1 ? n 2 ? ? ? n 1, n 2 为两平面法向量 ?.

倾斜角与斜率

倾斜角α[00,1800) 和斜率k=tanα的变化 点斜式:y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ?

第 七 部 分 解 析 几 何
直 线 的 方 程

斜截式:y ? kx ? b 直线方程 两点式:
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

? x1

? x 2 , y1 ? y 2 ?

x y 截距式: ? ? 1 ?a ? 0 , b ? 0 ? a b
Ax 一般式: ? By ? C ? 0 ? AB ? 0 ?

注意(1)截距可 正,可负,也可 为0;(2)方程 各种形式的变化 和适用范围.

两直线平行 平面内两条 位置关系 两直线相交

k 1 ? k 2,且 b1 ? b 2 .或 A1 B 2 ? A 2 B 1且 A1 C 3 ? A 2 C 1 .

两直线垂直 两直线斜交 两直线重合 点点距 点线距 线线距
tan ? ?
P1 P2 ?

k 1 ? k 2 ? ? 1或 A1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0 . k 1 ? k 2 或 A1 B 2 ? A 2 B 1 .

k 1 ? k 2,且 b1 ? b 2 .或 A1 B 2 ? A 2 B 1且 A1 C 3 ? A 2 C 1 .

?x2

? x1 ? ? ? y 2 ? y 1 ? .
2 2

距离

d ?

Ax 0 ? By 0 ? C A ? B
2 2

上一页

d ?
k1 ? k 2 1 ? k1k 2

C1 ? C 2 A ? B
2 2

两直线夹角
退出

? 90 A B ? A 2 B1 ? ? ? 0 , ? ? 1 2 .? ? A1 A 2 ? B 1 B 2 ? A1 A 2 ? B 1 B 2 ? 0 ? ?
0 0

?

?

第 七 部 分 解 析 几 何
圆 的 方 程

标准方程: 圆的方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 点在圆内 ?
d ? r ? d ? r ? d ? r ?

以 AB 为直径圆方程:

?x ?

x 1 ?? x ? x 2 ? ? ? y ? y 1 ?? y ? y 2 ? ? 0
二元二次方程 Ax
2

? Bxy ? Cy

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

表示圆的充要条件是:
2 2

? x0 ? x0 ? x0

? a ? ? ? y0 ? b ? ? r
2

点和圆的 位置关系

点在圆上 ? 点在圆外 ? 相离

? a ? ? ? y0 ? b ? ? r
2 2

2

? a ? ? ? y0 ? b ? ? r
2 2

? ? ? ?D ?

A ? C ? 0 B ? 0
2

? E

2

? 4F ? 0

2

? ? 0,或 d ? r ? ? 0,或 d ? r ? ? 0,或 d ? r
(1 ) 利用两圆方程组解的个

弦长公式:代数法: ? 1? k
2

AB ?
2

1? k

2

x1 ? x 2

直线和圆的 位置关系

相切 相交 相离

? x1 ?

x 2 ? ? 4 x1 x 2 r ? d
2 2

几何法: AB ? 2

数是 0 , 2 ; 1,

圆和圆的位 置关系 上一页 空间直角坐标系 退出

相切 相交

( 2 ) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交; d ? r1 ? r2 ? 外切; d ? r1 ? r2 ? 内切; d ? r1 ? r2 ? 外离;0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 .

空间两点间距离、中点坐标公式

几种常见的直线系:
(1 ) 共点 P ? x 0, y 0 ?直线系: y ? y 0 ? k ( x ? x 0 );特殊地 y ? kx ? b 表示过点 ( 0 , b )的直线系,不包括 y轴 .

第 七 部 分 解 析 几 何

( 2 ) 平行直线系:

y ? kx ? b ( k 为参数 ) 表示斜率为

k 的平行直线系;

Ax ? By ? ? ( ? 为参数 ) 表示与已知 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线系
2

Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系; ( 3 ) 过两直线交点的直线系 A 2 x ? By
2

Bx ? Ay ? ? ( ? 为参数 ) 表示与已知

.

?? : 为参数
1

?A

1

x ? By

1

? C 1 ? ? ? A 2 x ? By

? C 2 ? ? 0 ?不包括 l 2 ?;

? C 2 ? ? ? A 1 x ? By

? C 1 ? ? 0 ?不包括 l 1 ?.

几种常见的圆系:
(1 )同心圆系:

?x

? a? ?
2

?y

? b? ? r
2

2

? a , r 为参数 ?或 x 2
2

? y

2

? D , E 为常数, F 为参数, ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 2 2 ? ?且 D ? E ? 4F ? 0 ? y
2

? ? ? ?

( 2 )圆心在 x 轴上的圆系: ( 3 )圆心在 x 轴上的圆系: ( 4 ) 过原点的圆系:

?x
2

? a? ? y
2 2

? r
2

2

? a , r 为参数 ?或 x 2
2 2 2 2

? Dx ? F ? 0 D , F 为参数,且
2

?

D E

2

? 4F ? 0 ; ? 4F ?

x ?

?y
2

? b? ? r
2 2

?b , r 为参数 ?或 x 2

? y

? Ey ? F ? 0 E , F 为参数,且

?

2

? 0 ?;

?x

? a? ?

?y

? b? ? a
2

? b 或x ? y

? Dx ? Ey ? 0 ;

( 5 ) 过两已知圆交点的圆系 或x ? y
2 2

:x ? y

? D 1 x ? E 1 y ? F1 ? ? x ? y
2

?

2

? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 ?不含 C 2 ?;

?

? D 2 x ? E 2 y ? F2 ? ? x ? y
2

?

2

? D 1 x ? E 1 y ? F1 ? 0 ?不含 C 1 ?.( 其中 ? 为参数 )

?

上一页

直线与圆锥曲线的位置关系:
1 .直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,二次曲线 ? Ax ? By ? C ? 0 C: 的位置关系:交点个数 ? f ?x, y ? ? 0 ? 1? k
2

与方程组有几组解一一

对应,

退出
其交点坐标就是方程组

的解; 2 .弦长: AB ? x0 x a
2

x 1 ? x 2 ? k 为直线 l 的斜率

?
x0 x a
2

3 .椭圆上 M ? x 0 , y 0 ?点处的切线为:

?

y0 y b
2

? 1; .双曲线上 4

M ? x 0 , y 0 ?点处的切线为:

?

y0 y b
2

?1

第 七 部 分 解 析 几 何

求曲线的方程 曲线与方程 纯粹性与 完备性 画方程的曲线 求两曲线的交点

轨迹方程的求法:直接法、 定义法、相关点法、参数法

圆 锥 曲 线

椭圆 双曲线 抛物线

定义及标准方程 几何 性质 相交 弦长

范围、对称性、顶点、焦点、 长轴(实轴)、短轴(虚轴) 渐近线(双曲线)、准线、 离心率。(通径、焦半径)

直线与圆锥曲 线的位置关系

相切 相离

上一页

对 称 性 问 题

中心对称

点 ? x 0, y 0 ? ? ? ? ? ? ? 点 ? 2 a ? x 0, b ? y 0 ? ? 2
关于点

? a , b ? 对称

曲线 f ? x , y ? ? ? ? ? ? ? 曲线 f ? 2 a ? x , b ? y ? ? 2
关于点

? a , b ? 对称

轴对称

点 ? x 1, y 1 ?与点 ? x 2, y 2 ?关于 直线 Ax ? By ? C ? 0 对称

x ? x2 y ? y2 ? A? 1 ? B? 1 ?C ? 0 ? ? 2 2 ? y 2 ? y1 ? A ? ? ?? ? ? ? ?1 ? x 2 ? x1 ? B ? ?

退出

定 义 标准方程 图 形
x a
2 2

MF
? y b
2

1

? MF

2

? 2 a ?常数 2 a ? F1 F 2 ? 2 c ?

2

? 1? a ? b ? 0 ?

a ? b 时椭圆变成圆,

x ? y
2

2

? a

2

y a

2

2

?

x b

2

2

? 1? a ? b ? 0 ?

y F1 o

M(x0,y0) F2 x

y M(x0,y0) F2 F1

x

圆 锥 曲 线

中 心 顶 点
??

?0 ,0 ?
a , 0 ?, ? 0 , ? b ?

?0 ,0 ?
? 0 , ? a ?, ? ? ?0 , ? c ?
b ,0 ?

上一页

--------

焦 点 对称轴
范 围

??

c ,0 ?

椭 圆

x轴,y轴;原点
? a ? x ? a ;? b ? y ? b
x ? ? a c
2

x轴,y轴;原点
? b ? x ? b ;? a ? y ? a
y ? ? a c
2

准线方程 焦半径 离心率 长轴短轴

MF 1 ? a ? ex 0 ; MF
e ? c a

2

? a ? ex 0
2 2

MF
? a ?b
2

1

? a ? ey 0 ; MF

2

? a ? ey 0

?0

? e ? 1, 其中 c

?

e ? 1, 椭圆越扁;

e ? 0 , 越圆

2a叫做椭圆的长轴,a叫做长半轴长; 2b叫做椭圆的短轴,b叫做短半轴长; 过焦点垂直于长轴的椭圆的弦。通径长=
2b a
2

退出

通 径

特别提示: 1 . 2 a ? 2 c 时,轨迹是线段; 2 .焦点弦

2 a ? 2 c 时,轨迹不存在; 上; .

AB ? AF 1 ? BF 1 ? 2 a ? e ? x 1 ? x 2 ?; .椭圆的焦点永远在长轴 3

定 义 标准方程 图 形
x a
2 2

MF
? y b
2

1

? MF

2

? 2 a ?常数 2 a ? 2 c ? F 1 F 2
y a
2

?
x b
2 2

2

? 1? a ? 0 , b ? 0 ?

2

?

? 1? a ? 0 , b ? 0 ?

y M (x0,y0)

y F2
x M (x0,y0)
F2

F1

圆 锥 曲 线

O

x

0
F1

x

中 心 顶 点

?0 ,0 ?
?? ??
a ,0 ? c ,0 ?

?0 ,0 ?
?0 , ? a ? ?0 , ? c ?

上一页

--------

焦 点 对称轴
范 围 准线方程 焦半径

双 曲 线

x轴,y轴;原点
x ? a, y ? R
x ? ? a c
M 在右支上: MF 1 ? ex 0 ? a ; MF
2

x轴,y轴;原点
y ? a, x ? R
y ? ?
? ex 0 ? a ;
2

2

a c

2

M 在上支上: MF M 在下支上: MF

1

? ey 0 ? a ; MF

2

? ey 0 ? a ;
2

M 在左支上: MF 1 ? ? ( ex 0 ? a ); MF

? ? ( ex 0 ? a )

1

? ? ( ey 0 ? a ); MF
a b x

? ? ( ey 0 ? a )

渐近线
实轴虚轴
c a

y ? ?

b a

x

y ? ?

2a叫做双曲线的实轴,a叫做实半轴长; 2b叫做双曲线的虚轴,b叫做虚半轴长;
e ?

退出

离心率
3 .等轴双曲线方程: 同渐近线,四个焦点共 x
2

?e
2

? 1 , 其中 c

2

? a ? b
2

2

?
2 , 渐近线

e>1,越大,e双曲线开口越大,e越小开口越小。
2 .双曲线焦点永远在实轴 x a
2

特别提示: 1 . 2 a ? 2 c 时, M 点的轨迹是两条射线; ? y
2

2 a ? 2 c 时轨迹不存在;
2

上; ? y b
2

? a 或y 1 e1
2

2

? x 1

2

? a , 其中 e ?

y ? ? x ; 4 .共轭双曲线: 个交点,则直线与双曲

2

2

? 1与

y b

2

2

?

x a

2

2

? 1, 平行。

圆,且

?

e2

2

? 1; 5 .若直线与双曲线只有一

线相切或直线与渐近线

定 义 标准方程

平面与定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。即 MF
y
2

? d

? 2 px ? p ? 0 ?

y

2

? ? 2 px ? p ? 0 ?

x ? 2 py ? p ? 0 ?
2

x ? 2 py ? p ? 0 ?
2

y
M(x0,y0)

y M(x0,y0)
F O l x l

y F O M(x0,y0) x l O F

y

简 图

x
M(x0,y0)

圆 锥 曲 线

O F l

x

焦 点 顶 点 准线方程 通径端点 对称轴 范 围 焦半径

? p ? ,0 ? ? ? 2 ?

p ? ? ,0 ? ?? 2 ? ?

p ? ? ? 0, ? 2 ? ?

p ? ? ? 0 ,? ? 2 ? ?

上一页

--------

?0 ,0 ?
x ? ? p 2

?0 ,0 ?
x ? p 2

?0 ,0 ?
y ? ? p 2

?0 ,0 ?
y ? p 2

抛 物 线

? p ? ? ,? p ? ? 2 ?
x轴
x ? 0, y ? R

p ? ? ,? p ? ?? ? 2 ?
x轴
x ? 0, y ? R

p? ? ? ? p, ? 2 ? ?

p ? ? ? ? p ,? ? 2 ? ?

y轴
y ? 0, x ? R

y轴
y ? 0, x ? R

MF

? x0 ?

p 2

MF

?

p 2

? x0

MF

? y0 ?

p 2

MF

?

p 2

? y0

离心率
退出

e ?1

特别提示:1.抛物线定义中定点F不能在定直线l上,否则轨迹是过定点且垂直于l的直线;
2.p的几何意义是焦点到准线的距离,p越大,抛物线开口越大;3.直线与抛物线只有一个 公共点时,则直线与抛物线相切或直线与抛物线对称轴平行或重合。

第 八 部 分 排 列 、 组 合 、 二 项 式 定 理 、 推 理 与 证 明

分类加法计数原理 两个原理 分步乘法计数原理

N ? m1 ? m 2 ? ? ? ? ? m n N ? m1 ? m 2 ? ? ? ? ? m n
A n ? n ? n ? 1 ?? n ? 2 ? ? ? ? ? n ? m ? 1 ? ?
m

计 数 原 理

选择排列公式 排列 全排列公式

n!

?n

? m ?!

A n ? n ? n ? 1 ?? n ? 2 ? ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? n !
n

规定: 0 ! ? 1

公式 组合 组合数公式 性质

Cnm ?

A n! ? nm m!?n ? m ? Am !
m n?m

m

二 项 式 定 理

两个 C n ? C n 性质: m ? C m ? C m ? 1 C n ?1 n n

通项公式 二项式系 数性质

T r ?1 ? C n a
r

n?r

b

r

距首末等距离的两项的二项式系数相等
Cn ? C n ? C n ? ??? ? Cn ? 2 ;
0 1 2 n n

Cn ? C n ? C n ? ??? ? C n ? Cn ? C n ? ??? ? 2
1 3 5 0 2 4

n ?1

.

合情推理

类比推理 归纳推理

猜想 大前提、小前提、结论 由因导果 执果索因 反设,证矛盾,下结论 退出 上一页

推 理 与 证 明

推理 演绎推理 直接证明

三段论 综合法 分析法

证明

间接证明 数学归纳法

反证法

验初值,证递推,结论

概率的基本性质

互斥事件
P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ?B ?

对立事件
P ?A ? ? 1 ? P ? A ?

独立事件

P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ?B ?

第 九 部 分 概 率 与 统 计
概 率 与 统 计

古典概型 概 率 条件概率

n 次独立重复试验恰好 发生 k 次的概率:

P ?B A ? ?

P?A ? B ? P?A?

两点分布 二项分布 超几何分布

Pn ? k ? ? C n p
k

k

?1 ? p ?

n?k

离散型随机变量的分布列 随机 变量 正态分布
若 Y ? aX ? b ,则 E ?Y D ?Y

X ~ B ?1, p ?; E ? x ? ? p ; D ? x ? ? p ?1 ? p ? X ~ B ? n , p ?; E ? x ? ? np ; D ? x ? ? np ?1 ? p ?
n?k

期望、方差

密度曲线及 3 σ 原则 抽签法 共同特点:抽样 过程中每个个体 被抽到的可能性 (概率)相等.

P?X ? k ? ? E ?X D ?X

C M C N ?M CN
n

k

;

?? ??

aE ? X
2

? ? b;

a D ? X ?.

简单随机抽样 系统抽样 分层抽样

随机数表法

?? ?
i ?1 n

n

xi pi ; ? EX

随机抽样

? ? ? ?xi
i ?1

?

2

pi.

频率分布表和频率分布直方图 样本频率分布估计总体 统 计 用样本估 计总体 样本数字特征估计总体 总体密度曲线 茎叶图 期望、方差及标准差 众数、中位数和平均数

上一页

变量间的相关关系

两个变量的线性相关

散点图

线性回归
n

退出 独立性 检验

?

?

?

? ?x
r ?
n i ?1

i

? x ?? y i ? y ? ;
2

线性回归方程:

y ? a ? b x ;线性相关系数:

? ?x
i ?1

i

? x?

? ?y
i ?1

n

i

? y?

2

r ? 0 时,两变量正相关,

r ? 0 ,则负相关;

r 越接近 1,线性相关越强,越接

近 0 ,则越弱

.

数系的扩充 复数的分类 复数的概念 复数相等 共轭复数
模 z ? a ?b
2 2

共轭复数的性质:

实数 虚数 纯虚数

设 z ? a ? bi , z ? a ? bi ( a , b ? R ) 则 (1 ) z ? z ; ( 2 ) z ? z ? z 为实数; ( 3 ) z ? ? z 且 z ? 0 ? z 为纯虚数; (4) z ? 1 z ? z ? 1;

提示:虚数不能比较大小;

第 十 部 分 复

复 数
复数的运算

复数的加法 复数的减法 几何意义及 性质应用

( 5 ) Z 1 ? Z 2 ? z 1 ? z 2; ( 6 ) Z 1 ? Z 2 ? z 1 ? z 2; ? Z ? z ( 7 ) ? 1 ? ? 1 ( z 2 ? 0 ); ? ? z2 ? Z2 ? ( 8 ) z 的共轭
n

复数的乘法
复数的除法

? ? z ? ( n ? N ).
n ?

一一对应
复数的向量表示 复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b)


平面向量
结论:(1 ) 设 ? ? ? 1 2
2

OZ

?

3 2

i ,则有 ?
2

2

? ?,
2

复数模的运算性质:设
n

z 1、 z 2 ? C 有

上一页

?

3

? 1, ? ? ? ? ?
2

? ?

? 1, ? ? ? ? 1

? 0 ? ?

??

n ?1

??

n?2

?n ?

N ?;

(1 ) z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 ; ( 2 ) z1 ? z 2
2

( 2 ) ?1 ? i ?

1 1 1? i 1? i 1? i ?1 ? ? 2 i ; ? i ??1 ? i ? ? 2 ; ? ? i ; ? ; ? i; ? ? i; i 1? i 2 1? i 1? i
? 4n

? z1 ? z 2

2

? 2 z1 ? z1 z2
2

2

? 2 z2 ;

2

退出

( 3 ) 如果 n ? N ,有 i ( 4 ) 复平面内两点

? 1; i

4 n ?1

? i; i

4n?2

? ? 1; i

4n?3

? ? i;

( 3 ) z 1 z 2 ? z 1 z 2 ;4 ) (

z1 z2


2

Z 1、 Z 2间距离 d ? z 2 ? z 1 ?

?x2

? y 2 i ? ? ? x1 ? y 1i ? ?

?x2

? x 1 ? ? ? y 2 ? y 1 ?i ;

( 5 )圆的方程: z ? z 0 ? r ? r ? 0 ?;6 ) 线段 EF 中垂线方程: ( ( 7 ) 椭圆方程: z ? z 1 ? z ? z 2 ? 2 a ;8 ) 双曲线方程: (

z ? z1 ? z ? z 2 ;

(5 ) z

n

? z

n

?n ? N ?;6 ) z (
?

? z

? z ? z.

z ? z1 ? z ? z 2 ? 2 a .

算法的概念

算法特征:概括性、逻辑性、 有穷性、不唯一性、普遍性 程序框图 算法的基本 逻辑结构

循环体
顺序结构 条件结构 循环结构

第 十 一 部 分 算 法

算法的基本思想 和程序框图 算法的概念

循环体 否

满足条件?

满足条件?
否 当型



是 直到型


算法基本语句

输入、输出语句 赋值语句

INPUT“提示内容”;变量 PRINT“提示内容”;表达式 变量=表达式 IF 条件 THEN 语句体 END IF IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF



条件语句 循环语句

DO WHILE 条件 循环体 循环体 LOOP UNTIL 条件 WEND (直到型) (当型) 辗转相除法与 更相减损术 求最大公约数
f ? x ? ? a n x ? a n ?1 x
n n ?1

上一页

算法案例

秦九韶算法
进位制

? ? ? a1 x ? a 0
1

? ??

?? a

0

x ? a n ?1 ? x ? a n ? 2 ? x ? ? ? a 1 ? x ? a 0 : v 1 ? a n x ? a n ? 1;

退出

求值时,从里到外计算

v 2 ? v 1 x ? a n ? 2 ; v 3 ? v 2 x ? a n ? 3 ? v n ? v n ?1 x ? a 0

k 进制化十进制: 十进制化 k 进制:除

a n a n ?1 ? a 1 a 0 ? k ? ? a n ? k k 取余法。

n ?1

? a n ?1 ? k

n?2

? ? ? a1 ? k ? a 0 ;


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