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1.7.1


1.7
1.7.1

定积分的简单应用
定积分在几何中的应用

复习巩固
b

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim ? n i= 1
y
y=f(x)

ò
O

b

a

f (x )dx

a

b x

2.微积分基本定理是什么?

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且 F ? (x ) = f (x ) ,则
f ( x ) dx = 蝌
a b b a

F? (x )dx = F (b) - F (a ) .

定积分公式 b cx | 1) (cx ) ? c ? ? cdx ? a 1 n b 2) x ? nx ? ? x dx ? x | a n+1 b 3) (sin x ) ? cos x ? ? cos xdx ? sin x | a b 4) (cos x ) ? ? sin x ? ? sin xdx ? - cos x | a b 1 1 b 5) (ln x ) ? ? ? dx ? ln| x || a a x x x b e | 6) (e ) ? e ? ? e dx ? a x a b | 7) (a ) ? a ln a ? ? a dx ? a ln a
'

b

a

n'

n ?1

b

n

+1

a

'

b

a

'

b

a

'

x '

x

b

x

a

x '

x

b

x

a

探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图

形的面积
y y =x 2

B
O
1 x

y 2=x

(1,1)

探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图

形的面积
y
y =x 2 1 O C B D A 1 x y 2=x

S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OADC.

探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图

形的面积
y y =x 2 y 2=x

1 O

C

B

D A 1

x

S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OADC

S =

ò

1

0

xdx -

ò

1

0

x dx

2

y
y =x 2 1 O C B D A 1 x y 2=x

S =

ò

1

0

xdx -

ò

1

2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3

3 2 1 0

0

x dx

2

探究(二):直线y=x-4与曲线 y =

2x

及x轴所围成图形的面积
y

y =x -4

4

y= (8,4)
4 8 x

2x

(0,0)
O

(4,0)

探究(二):直线y=x-4与曲线

及x轴所围成图形的面积
y 4 C y =x -4

B
A

y=

2x

O

D 4

8

x

S=S曲边梯形OABC-S△ABD.

探究(二):直线y=x-4与曲线

及x轴所围成图形的面积
y y =x -4 C 4

B
A

y=

2x

O

D 4

8

x

S=S曲边梯形OABC-S△ABD.

S =

ò

8

0

1 2xdx - 创4 2

4

y 4 C

y =x -4
B A

y=

2x

O

D 4

8

x

S=S曲边梯形OABC-S△ABD.

1 S = ò 2xdx - 创4 4 0 2 3 2 2 2 8 1 40 S = x |0 - 创4 4 = 3 2 3
8

归纳小结

1.定积分在几何中的应用,主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时,一般 先要画出草图,再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限.

2.位于x轴下方的曲边梯形的面积, 等于相应定积分的相反数.一般地,设由 直线x=a,x=b(a<b),y=0和曲线y= f(x)所围成的曲边梯形的面积为S,则.
S =

ò

b

a

| f (x ) | dx

y

y=|f(x)|

O a y=f(x)

b x



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