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(湖南专用)2014届高考数学一轮复习 第一章集合1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教学案 理


1.3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考纲要求 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.逻辑联结词:命题中的__________叫做逻辑联结词. 2.命题 p∧q,p∨q 真假的判断 p q p∧q p∨q 真 真 _

_ __ 真 假 __ __ 假 真 __ __ 假 假 __ __ 3.命题 ? p 真假的判断

p
真 假

?p
__ __

4.全称量词与存在量词 (1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做________,并用符号____表 示.含有全称量词的命题,叫做__________,可用符号简记为__________,它的否定是 _____ _______. (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________,并用符号________ 表示.含有存在量词的命题,叫做________,可用符号简记为__________,它的否定是 ____________. 1.命题 p:x +y <0;q:x +y ≥0.下列命题为假命题的是( ). A.p∨q B.p∧q C.q D. ? p 2.(2012 安徽高考)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( ). A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 3.如果命题“ ? (p∨q)”是假命题,则下列命题中正确的是( ). A.p,q 均为真命题 B.p,q 中至少有一个为真命题 C.p,q 均为假命题 D.p,q 中至多有一个为真命题 4.已知命题 p: ? x∈R,sin x≤1,则 ? p 为( ). A. ? x∈R,sin x≥1 B. ? x∈R,sin x≥1 C. ? x∈R,sin x>1 D. ? x∈R,sin x>1
2 2 2 2

一、判断含有逻辑联结词的命题的 真假 2 【例 1-1】已知命题 p: ? x∈R,使 tan x=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1 <x<2},给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧( ? q)”是假命题;③命题“( ? p)∨q”是真 命题;④命题“( ? p)∨( ? q)”是假命题.其中正确的是( ). A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【例 1-2】写出由下列各组命题构成的“p∨q”,“p∧q”,“ ? p”形式的命题,并 判断真假.
1

(1)p:1 是素数;q:1 是方程 x +2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; 2 2 (3)p:方程 x +x-1=0 的两实根符号相同;q:方程 x +x-1=0 的两实根的绝对值相 等. 方法提炼 1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含 义的理解,应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断. 2.判断命题真假的步骤: 确定含有逻辑 根据真值表判断 判断其中简单 联结词的命题 ? ? 含有逻辑联结词 命题的真假 的构成形式 的命题的真假 3.与日 常生活中的“或、且、非”的对照:逻辑联结词“或”与日常生活用语中的 “或”的意义不相同, 日常生活中的“或”往往表示“不可兼得”之意, 而常用逻辑联结词 的“或”允许“兼有”,但不是“一定兼有”;逻辑联结词“且”,与日常生活语言中的 “和、 与”意义相同, 具有“兼有性”; 逻辑联结词“非”就是日常生活语言中的“否 定”, 具有“否定性”. 请做演练巩固提升 3 二、全(特)称命题的否定及真假判断 【例 2 】下列命题中的假命题是( ). x-1 * 2 A. ? x∈R,2 >0 B. ? x∈N ,(x-1) >0 C. ? x∈R,lg x<1 D. ? x∈R,tan x=2 方法提炼 1.要判断一个全称命题“ ? x∈M,p(x)”是真命题,需要对限定集合 M 中的每一个元 素 x 证明 p(x)成立;如果在集合 M 中找到一个元素 x0,使得 p(x0)不成立,那么这个全称命 题就是假命题(即通常所说的举出一个反例). 2.要判定一个特称命题“ ? x0∈M,p(x0)”是真命题,只要在限定的集合 M 中至少找到 一个 x=x0,使 p(x0)成立即可.否则这一特称命题就是假命题. 3. 弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提. 要注意命题所含的量词, 没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定. 4.要判断“ ? p”命题的真假,可以直接判断,也可以判断“p”的真假,p 与 ? p 的 真假相反. 5.常见词语的否定形式有: 对任意 x∈A 使 原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 p(x)真 存在 x0∈A 使 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 p(x0)假 请做演练巩固提升 2 三、与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题 2 2 【例 3】 已知命题 p:“ ? x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“ ? x0∈R,x0+2ax0+2 -a=0”,若命题“p∧q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 方法提炼 含有逻辑联结词的命题, 要先确定构成命题的一个或两个命题的真假, 求出此时参数成 立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件. 对于不等式恒成立问题与方程的根有关的问题, 要多结合函数的图象, 常用的方法有分 离参数法、判别式法等. 请做演练巩固提升 4 对联结词否定不当致误 2 2 【典例】“若 x,y∈R 且 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题是( 2 2 A.若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 全不为 0

2

).

2

B.若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0 2 2 C.若 x,y∈R 且 x,y 全为 0,则 x +y =0 2 2 D.若 x,y∈R 且 x,y 不全为 0,则 x +y ≠0 2 2 错解:原命题的否命题为“若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 全不为 0”,故选 A. 2 2 正解:原命题的否命题为“若 x,y∈R 且 x +y ≠0,则 x,y 不全为 0”. 答案:B 答题指导: 1.对于含有“或”“且”的否定形式要注意在否定语句的同时,也要否定关键词. 2.(1)要注意区分命题的否定与否命题,关键是要看清题意,不能想当然. (2)对平时常见的“不都是”、“都是”、“不全是”、“都不是”等字眼要做一下积 累和区分,方可保 证考试中不犯错误.

2

2

1.(2012 湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 2.下列命题中,真命题是( ). π? ? A. ? x∈?0, ?,sin x+cos x≥2 2? ? 2 B. ? x∈(3,+∞),x >2x+1 2 C. ? x∈R,x +x=-1 ?π ? D. ? x∈? ,π ?,tan x>sin x ?2 ? 3.已知命题 p: ? x∈R,使 sin x=

).

5 2 ;命题 q: ? x∈R,都有 x +x+1>0.下列结 2

论中正确的是( ). A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“p∧( ? q)”是真命题 C.命题“( ? p)∧q”是真命 题 D.命题“( ? p)∨( ? q)”是假命题 ? π? 4.已知命题 p: ? x∈?0, ?,cos 2x+cos x-m=0 为真命题,则实数 m 的取值范围 2? ? 是__________. - =1 为双曲线;命题 q:函数 f(x)=(4-a) 在 R 上是 a-2 6-a 增函数;若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数 a 的取值范围. 5.已知命题 p:曲线

x2

y2

x

3

参考答案 基础梳理自测 知识梳理 1.“或”“且”“非” 2.真 真 假 真 假 真 假 假 3.假 真 4.(1)全称量词 “ ? ” 全称命题 ? x∈M,p(x) ? x0∈M, ? p(x0) (2)存在量 词 “ ? ” 特称命题 ? x0∈M,p(x0) ? x∈M, ? p(x) 基础自测 1.B 解析:命题 p 为假,命题 q 为真,故 p∧ q 为假. 2.C 解析:该命题为特称命题,其否定为“对任意实数 x,都有 x≤1”. 3.B 解析:“ ? (p∨q)”是假命题,则命题“p∨q”为真,所以 p,q 中至少有一个 为真命题. 4.C 解析:全称命题的否定为特称命题,sin x≤1 的否定为 sin x>1,故选 C. 考点探究突破 2 【例 1-1】 D 解析:命题 p: ? x∈R,使 tan x=1 是真命题,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题,∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧( ? q)”是假 命题;③命题“( ? p)∨q”是真命题;④命题“( ? p)∨( ? q)”是假命题,故应选 D. 2 【例 1-2】 解:(1)p∨q:1 是素数或是方程 x +2x-3=0 的根.真命题. 2 p∧q:1 既是素数又是方程 x +2x-3=0 的根.假命题. ? p:1 不是素数.真命题. (2)p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p∧q:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题. ? p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. 2 (3)p∨q:方程 x +x-1=0 的两实根符号相同或绝对值相等.假命题. p∧q:方程 x2+x-1=0 的两实 根符号相同且绝对值相等.假命题. ? p:方程 x2+x-1=0 的两实根符号不相同.真命题. x-1 【例 2】 B 解析: 对于 ? x∈R,x-1∈R,此时 2 >0 成立,∴A 是真命题; 2 * 又∵(x-1) >0 ? x∈R 且 x≠1,而 1∈N , ∴B 是假命题; 又∵lg x<1 ? 0<x<10, ∴C 是真命题; 又∵y=tan x 的值域为 R, ∴D 是真命题,故选 B. 【例 3】 解:由“p∧q”是真命题, 则 p 为真命题,q 也为真命题. 2 若 p 为真命题,a≤x 恒成立, ∵x∈[1,2],∴a≤1. 2 2 若 q 为真命题,即 x +2ax+2-a=0 有实根,Δ =4a -4(2-a)≥0, 即 a≥1 或 a≤-2, 综上所求实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. 演练巩固提升 1.B 解析:该特称命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”. ? π? 2.B 解析:对于选项 A,sin x+cos x= 2sin?x+ ?≤ 2, 4? ? ∴此命题是假命题; 2 2 2 对于选项 B,x -2x-1=(x-1) -2,当 x>3 时,(x-1) -2>0,∴此命题是真命题; ? 1?2 3 2 2 对于选项 C,x +x+1=?x+ ? + >0,∴x +x=-1 对任意实数 x 都不成立,∴此命 ? 2? 4 题是假命题;

4

?π ? 对于选项 D,当 x∈? ,π ?时,tan x<0,sin x>0,命题显然是假命题,故选 B. ?2 ? 5 ? 1?2 3 3 2 3.C 解析:由 sin x= >1,可得命题 p 为假;由 x +x+1=?x+ ? + ≥ ,可得 2 ? 2? 4 4 命题 q 为真,则命题“p∧q”是假命题;命题“p∧( ? q)”是假命题;命题“( ? p)∧q” 是真命题;命题“( ? p)∨( ? q)”是真命题. 1?2 9 ? 2 4.[-1,2] 解析:令 f(x)=cos 2x+cos x=2cos x+cos x-1=2?cos x+ ? - , 4? 8 ? ? π? 由于 x∈?0, ?,所以 cos x∈[0,1],于是 f(x)∈[-1,2],因此实数 m 的取值范围 2? ? 是[-1,2]. 5.解:p 为真时,(a-2)(6-a)>0,解得 2<a<6. q 为真时,4-a>1,解得 a<3. 由命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,可知命题 p,q 中一真一假. 当 p 真,q 假时,得 3≤a<6. 当 p 假,q 真时,得 a≤2. 因此实数 a 的取值范围是(-∞,2]∪[3,6).

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