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必修3第二章变量间的相关关系知识点试题及答案


1、概念:(1)回归直线方程: y ? a ? b x (2)回归系数: b ?

?

?

?

?

i ?1 n

? xi yi ? nx y
i ?1

n

? xi2 ? nx

/>2

,a ? y ?b x

?

?

1、下列两个变量具有相关关系的是() 。 A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与体重 C. 匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D. 球的半径与体积 2、有五组变量:①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程;②平均日学习时间和平均学习成绩; ③某 人每日吸烟量和其身体健康情况;④正方形的边长和面积;⑤汽车的重量和百公里耗油量;其中两个变量成正相关的 是( ) A.①③ B.②④ C.②⑤ D.④⑤ ) 。

3、在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是(

(1) A. (1) (2)

(2) B. (1) (3)

(3) C. (2) (4)

(4) D. (2) (3)

4、某设备使用年限 x 和所支出维修费用 y (万元)之间呈线性相关,现取五对观察值,计算得:

? xi ? 20, ? yi ? 25, ? xi ? 90, ? xi yi ? 120 ,则 y与x 的回归方程是(
2 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

5

5

5

5

) 。

? ? 2x ? 3 A. y

? ? ?2 x ? 3 B. y

? ? 3x ? 2 C、 y

? ? ?3x ? 2 D. y

5、在一次实验中,测得( x, y )的四组值为(1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,5) ,则 y 与 x 之间的回归直线方程为 ( )

? ? x ?1 A. y

? ? x?2 B. y

? ? 2x ? 1 C. y

? ? x ?1 D. y

6、已知两个变量 x,y 具有线性相关关系,并测得(x,y)的四组值分别是(2,3)、(5,7)、(8,9)、(11,13),则 求得的线性回归方程所确定的直线必定经过点( A 、(2,3) B、 (8,9) C、 (11,13) ) 。 D、 (6.5,8) ) 。 平均减少 2 个单位

7、 设有一个线性回归直线方程为 A. 平均增加 1.5 个单位 B.

,则变量 增加 1 个单位时( 平均增加 2 个单位 C.

平均减少 1.5 个单位 D.

? ? 85 x ? 40 ,则劳动生产产值提高 1 千 8、工人月工资 y(元)与劳动生产产值 x(千元)变化的线性回归方程为 y
元时,工资提高___________元 9、某设备的使用年限 x 与所支出的总费用 y (万元)有如下的统计资料由表中数据用最小二乘法得线性回归方程

? ? bx ? a ,其中 b ? 0.7 ,由此预测,当使用 10 年时,所支出的总费用约为 y
使用年限 x 总费用 y 1 1.5 2 2 3 3 4 3.5

万元。

10、某城市理论预测 2000 年到 2004 年人口总数与年份的关系如下表所示 年份 200x(年) 人口数 y (十万) 0 5 1 7 2 8 3 11 4 19

? ? bx ? a ; (3)据此估计 2005 年该城市人口总数。 (1)请画出上表数据的散点图; (2)求线性回归方程 y
(参考数值:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132, 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 30 ,
2 2 2 2 2

21、某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)画出散点图; (2)求线性回归方程; (3)预测当广告费支出 7(百万元)时的销售额。

二、试题
课时训练 11.设有一个回归方程 y =2-1,5x,则变量 x 增加一个单位时(

?

)

A.y 平均增加 1.5 个单位 B.y 平均增加 2 个单位 C.y 平均减少 1.5 个单位 D.y 平均减少 2 个单位 12.某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了 10 次实验,数据如下: 玩具个数 加工时间 2 4 4 7 6 12 8 15 10 21 12 25 14 17 16 31 18 37 20 41

如回归方程的斜率是 b,则它的截距是( ) A.a=11b-21 B.a=21-11b C.a=11-21b D.a=21b-11 16. 某商店统计了最近 6 个月某商品的进份 x 与售价 y(单位:元)的对应数据如下表: x y 3 4 5 6 2 3 8 9 9 12 12 14

? 假设得到的关于 x 和 y 之间的回归直线方程是 y ? bx ? a ,那么该直线必过的定点是______.
21.已知一个样本数据的对应值表如下 x y 3 40 4 50 5 55 6 60

画出散点图,并求 y 关于 x 的线性回归方程. (12 分)

1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A.圆的半径和它的面积 B.正方形边长和它的面积 C.正 n 边形的边数和内角和 D.人的年龄和身高 ^ 2.设有一个回归方程为y=2-1.5x,则变量 x 增加一个单位时,y 平均( ) A.增加 1.5 个单位 B.增加 2 个单位 C.减少 1.5 个单位 D.减少 2 个单位 3.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是( ) ^ ^ A.y=1.23x+4 B.y=1.23x+5 ^ ^ C.y=1.23x+0.08 D.y=0.08x+1.23 ^ 4.一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93,用这个模型预 测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( ) A.身高一定是 145.83 cm B.身高在 145.83 cm 以上 C.身高在 145.83 cm 以下 D.身高在 145.83 cm 左右

5.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ) A.y=-10x+200 B.y=10x+200 C.y=-10x-200 D.y=10x-200 6.2010 年,我国部分地区手足口病流行,党和政府采取果断措施防、治结合,很快使病情得到控制.下表是 某医院记载的 5 月 1 日到 5 月 12 日每天治愈者数据及根据数据绘制的散点图. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 日期 人数 日期 人数 100 5.7 141 109 5.8 152 115 5.9 168 118 5.10 175 121 5.11 186 134 5.12 203

则下列说法:①根据此散点图,可以判断日期与治愈人数具有线性相关关系;②根据此散点图,可以判断日期 与治愈人数具有一次函数关系;③根据此散点图,可以判断日期与治愈人数呈正相关. 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ^ 7.某地区近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合y=0.8x+0.1(单位:亿元),预计今年该地区居 民收入为 15 亿元,则年支出估计是________亿元. 8.某单位为了解用电量 y 度与气温 x ℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照 表: 18 13 10 气温(℃) -1 24 34 38 64 用电量(度) ^ 由表中数据得线性回归方程y=bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量的度数约为________. 9.有下列关系: (1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系; (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系; (3)柑橘的产量与气温之间的关系; (4)森林的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系; (5)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系. 其中具有相关关系的是________. 10.有人统计了同一个省的 6 个城市某一年的人均国民生产总值(即人均 GDP)和这一年各城市患白血病的儿童 数量,如下表: 10 8 6 4 3 1 人均 GDP(万元) 351 312 207 175 132 180 患白血病的儿童数
^

通过计算可得两个变量的回归直线方程为 y =23.25x+102.25, 假如一个城市的人均 GDP 为 12 万元, 那么断言: 这个城市患白血病的儿童一定超过 380 人,请问这个断言是否正确? 11.一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如 下表: 16 14 12 8 转速 x(转/秒) 11 9 8 5 每小时生产缺损零件数 y(件) (1)作出散点图; (2)如果 y 与 x 线性相关,求出回归直线方程; (3)若实际生产中, 允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个, 那么, 机器的运转速度应控制在什么范围? 12.2010 年春节,又是情人节.这是几十年难遇的“双节”.很多对“新人”赶在这一天申领结婚证.若新郎 和新娘的年龄记为(y,x).试考虑以下 y 关于 x 的回归问题: (1)如果每个新郎和新娘都同岁,则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么? (2)如果每个新郎都比新娘大 5 岁,则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么? (3)如果每个新郎都比新娘大 10%,则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么? ^ (4)若由一些数据求得回归直线方程为y=1.118x-1.091,则由此可得出关于新郎、新娘年龄的什么结论?

课后练习 1.下列变量之间的关系是函数关系的是( ) A.已知二次函数 y=ax2+bx+c,其中 a、c 是已知常数,取 b 为自变量,因变量是这个函数的判别式 Δ=b2 -4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.父母的身高和子女的身高 2.观察下列四个散点图,两变量具有线性相关关系的是( )

3.某考察团对全国 10 个城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)统计调查,y 与 x 具 ^ 有相关关系,回归方程y=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平为 7.675(千元),估计该城市人均消费占人均工 资收入的百分比约为( ) A.83% B.72% C.67% D.66% ^ 4.工人月工资 y(元)与劳动生产率 x(千元)的回归方程为y=50+80x,当劳动生产率提高 1000 元时,月工资平 均提高________元. 答案: 课时练习 1、解析:选 D.函数关系是一种变量之间确定性的关系,A、B、C 都是函数关系,甚至可以写出它们的函数表 达式,分别为 f(r)=πr2,g(x)=x2,h(n)=(n-2)· 180° ,D 不是函数关系,对于年龄相同的人,仍可以有不同身高.故 选 D. ^ 2、解析:选 C.根据y=a+bx 中 b 的意义可知选 C. 3、解析:选 C.斜率为 1.23,设为 y=1.23x+a,适合(4,5)得 a=0.08. 4、解析:选 D.回归直线是用来估计总体的,所以我们求的值都是估算值,所以我们得到的结果也是近似的, 只要把自变量的值代入回归直线方程即可求得结果为 145.83(cm). 5、解析:选 A.x 的系数为负数,表示负相关,排除 B、D,由实际意义可知 x>0,y>0,在 C 中,其散点图在 第四象限无意义,故选 A. 6、解析:选 C.由散点图可看出,所有的点并不都在一条直线上,因此②错误.而在一段时期内,人数随日期 有增加的趋势,且是线性相关的.故选 C. ^ ^ 7、解析:将 x=15 代入y=0.8x+0.1,得y=12.1(亿元). 答案:12.1 18+13+10-1 8、解析: x = =10, 4 24+34+38+64 y= =40, 4 ^ 则 a=y-b x =40+2×10=60, ^ 则y=-2x+60, ^ 则当 x=-4 时,y=-2×(-4)+60=68. 答案:68 9、解析:(1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程,除了与冶炼时间有关外,还受冶炼温度等 其他因素的影响,具有相关关系; (3)柑橘的产量除了受气温影响以外,还受肥量以及水分等因素的影响,具有相关关系; (4)森林的同一种树木,其横断面直径随高度的增加而增加,但是还受树木的疏松及光照等因素的影响.具有相 关关系; (5)人的年龄越大财富可能也越大,但是也存在越小的可能,因为还受其他外界因素的影响.显然以上两个变量 的取值都是具有随机性的,具有相关关系; (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的,即是一种确定性关系,不具有相关关系.

答案:(1)(3)(4)(5)

^

^

10、解:将 x=12 代入 y =23.25x+102.25,得 y =23.25×12+102.25=381.25>380,即便如此,但因 381.25 只 是一个估计值,会受其他情况的影响,所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过 380 人. 11、 解:(1)根据表中的数据画出散点图如图:

^ (2)设回归直线方程为: y =bx+a,并列表如下: i 1 2 xi 16 14 yi 11 9 xiyi 176 126 x =12.5, y =8.25, ?xi2=660, ?xiyi=438,
i=1 i=1 4 4

3 12 8 96

4 8 5 40

438-4×12.5×8.25 ∴b= ≈0.73, 660-4×12.52 a=8.25-0.73×12.5=-0.875, ^ ∴ y =0.73x-0.875. (3)令 0.73x-0.875≤10,解得 x≤14.9≈15.故机器的运转速度应控制在 15 转/秒内. 12、解:(1)当 y=x 时,易得 b=1,a=0.故回归直线的斜率为 1,截距为 0. (2)当 y=x+5 时,易得 b=1,a=5.故回归直线的斜率为 1,截距为 5. (3)当 y=x(1+10%)时,易得 b=1.1,a=0.故回归直线的斜率为 1.1,截距为 0. ^ (4)回归直线方程为y=1.118x-1.091.从回归方程可以看出,新郎的年龄一般比新娘的年龄大,尤其是在大龄夫 妇中. 课后练习: 1、解析:选 A.B、C、D 选项是相关关系.故选 A. 2、解析:选 A.由线性相关关系的定义可知. ^ 3、解析:选 A.由y=0.66x+1.562 知, 6113 当 y=7.675 时,x= , 660 7.675 7.675×660 ∴所求百分比为 = ≈83%. x 6113 4、解析:由 b 的意义可知. 答案:80


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