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上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 圆锥曲线 文


上海市 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 圆锥曲线
一、选择、填空题 1 、 ( 2015 年 高 考 ) 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上 的 动 点 Q 到 焦 点 的 距 离 的 最 小 值 为 1 , 则

p?

.
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合

,则该抛物线的准线方 2、 (2014 年高考)抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 9 5
程为 . 3、(2013 年高考).设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 的两个焦点之间的距离为

?
4

.若 AB=4,BC= 2 ,则 ?

4 6 3

.

4、(奉贤区 2015 届高三二模)以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 为圆心,与抛物线的准线相切的圆的标 准方程为__________. 5、(虹口区 2015 届高三二模)已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上,则

p ? ________
6、(黄浦区 2015 届高三二模)已知抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点与双曲线 点重合,则双曲线的渐近线方程是 7 、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)已知抛物线 y ? 2 px 的准线方程是 x ? ?2 ,则
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦 a 2 12

p?


2 2

8、(浦东新区 2015 届高三二模)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 3 没有公共点,设点 P 的坐

标 ( a, b) ,则过点 P 的一条直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的公共点的个数为 4 3
(C ) 2
+

( C )

( A) 0

(B) 1

( D) 1 或 2

9、 (普陀区 2015 届高三一模)若方程 2,2)∪(3,+∞) . 10、 (闸北区 2015 届高三一模)关于曲线 C: ①曲线 C 是椭圆; ②关于坐标原点中心对称;

=1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 (﹣

=1,给出下列四个结论:

1

③关于直线 y=x 轴对称; ④所围成封闭图形面积小于 8. 则其中正确结论的序号是 ②④ . (注:把你认为正确命题的序号都填上) 11、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)抛物线 x2 ? 8 y 的焦点到准线的距离是_____________ 12、(崇明县 2015 届高三一模)已知双曲线 k 2 x2 ? y 2 ? 1 (k ? 0) 的一条渐近线的法向量是 (1, 2) ,那 么k ?

x2 y 2 ? ? 1 内有两点 A?1, 3? ,B? 3, 0 13 、已知椭圆 ? ,P 为椭圆上一点 , 则 PA ? PB 的最大值为 25 16
_______. 14、若双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为_________. a 2 b2

15、若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3 x ,它的一个焦点是 ( 10 ,0) ,则双曲线的标准方程是_____.

二、解答题 1、(2015 年高考)已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l 2 分别于椭圆交于 A 、 B 和 C 、
2 2

D ,设 ?AOC 的面积为 S .
(1)设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,用 A 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明

S ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ;
(2)设 l1 : y ? kx , C (

3 3 1 , ) , S ? ,求 k 的值; 3 3 3

(3)设 l1 与 l 2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,使得无论 l1 与 l 2 如何变动,面积 S 保持不变.

2、 (2014 年高考) 在平面直角坐标系 xOy 中, 对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) , 记

? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) .若? ? 0 ,则称点 P 1, P 2 被直线 l 分隔.若曲线 C 与直线 l 没有公
共点,且曲线 C 上存在点 P 1, P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线. (1)求证;点 A(1, 2), B(?1,0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔; (2)若直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围;
2 2

2

(3)动点 M 到点 Q (0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为曲线 E .求 E 的方程, 并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线.

3、(2013 年高考)如图,已知双曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2: y ? x ? 1 .P 是平面内一点.若存 2

在过点 P 的直线与 C1、C2 都有共同点,则称 P 为“C1-C2 型点”.

(1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1-C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的 直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证 k >1,进而证明圆点不是“C1-C2 型点”; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1-C2 型点”. 2

4、 (奉贤区 2015 届高三二模)平面直角坐标系中,点 A?? 2,0? 、 B?2,0? ,平面内任意一点 P 满足: 直线 PA 的斜率 k 1 ,直线 PB 的斜率 k 2 , k1 k 2 ? ?

3 ,点 P 的轨迹为曲线 C1 .双曲线 C 2 以曲线 C1 4

的上下两顶点 M , N 为顶点, Q 是双曲线 C 2 上不同于顶点的任意一点,直线 QM 的斜率 k3 ,直线

QN 的斜率 k 4 .
(1)求曲线 C1 的方程;(5 分) (2)(文)如果 k1k 2 ? k3 k 4 ? 0 ,求双曲线 C 2 的焦距的取值范围.(9 分)

3

2 2 5、 (虹口区 2015 届高三二模)已知圆 F 1 : ( x + 1) + y = 8 ,点 F2 (1, 0),点 Q 在圆 F 1 上运动,

QF2 的垂直平分线交 QF1 于点 P .
(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 设 M 、N 分别是曲线 C 上的两个不同点,且点
Q

y

M 在第一象限,点 N 在第三象限,若 OM ? 2ON ? 2OF1 ,
O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率;
(3)过点 S (0, ? ) 的动直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点, 求证:以 AB 为直径的圆恒过定点 T (0,1).

???? ?

????

????

P F1 O F2 x

1 3

(第22题图)

6、 (黄浦区 2015 届高三二模) 已知点 F , 平面直角坐标系上的一个动点 P( x, y) 1 (? 2,0)、F 2 ( 2,0)

???? ???? ? 满足 |PF1|+|PF2 |=4 .设动点 P 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的轨迹方程;

???? ? ???? ? 2 2 (2)点 M 是曲线 C 上的任意一点, GH 为圆 N : ( x ? 3) ? y ? 1的任意一条直径,求 MG ? MH
的取值范围; (3)(理科)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 OA ? OB ( O 是坐标原点),试证明:直 线 AB 与某个定圆恒相切,并写出定圆的方程. (文科)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 OA ? OB ( O 是坐标原点),试证明:原点 O 到 直线 AB 的距离是定值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

7、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 , l 是线段 AB 的垂直平分线, 设 AB 是过椭圆 C 中心 O 的任意弦, M 是 l 上与 O 不 8
合的点. (1)求以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程; (2)若 MO ? 2OA ,当点 A 在椭圆 C 上运动时,求点 M 的轨迹方程;



4

(3) 记 M 是 l 与椭圆 C 的交点, 若直线 AB 的方程为 y ? kx(k ? 0) , 当△ AMB 的面积为 4 14 时, 7 求直线 AB 的方程.

8、(浦东新区 2015 届高三二模)已知直线 EA ? ?1 AD l 与圆锥曲线 C 相交于 A, B 两点,与 x 轴、

y 轴分别交于 D 、 E 两点,且满足、 EB ? ?2 BD .
(1)已知直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ,求 ?1 ? ?2 的值;

x2 1 1 ? y 2 ? 1 ,求 ? (2)已知直线 l : x ? m y ? 1 ( m ? 1 ),椭圆 C : 的取值范围; 2 ?1 ?2 x2 ? y 2 ? 1 , ?1 ? ?2 ? 6 ,求点 D 的坐标. (3)已知双曲线 C : 3

9、 (普陀区 2015 届高三一模)已知 P 是椭圆 的最小值.

+

=1 上的一点,求 P 到 M(m,0) (m>0)的距离

10、 (闸北区 2015 届高三一模)已知 F1,F2 分别是椭圆 C:
2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

椭圆 C 过点 且与抛物线 y =﹣8x 有一个公共的焦点. (1)求椭圆 C 方程; (2)直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F2 且斜率为 1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求弦 AB 的长; (3)以第(2)题中的 AB 为边作一个等边三角形 ABP,求点 P 的坐标.

11、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 ,且椭 a 2 b2

圆 C 的短轴的一个端点与左、右焦点 F1 、 F2 构成等边三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 M 为椭圆上 C 上任意一点,求 MF 1 ? MF 2 的最大值与最小值;

5

(3)试问在 x 轴上是否存在一点 B ,使得对于椭圆上任意一点 P , P 到 B 的距离与 P 到直线 x ? 4 的距离之比为定值.若存在,求出点 B 的坐标,若不存在,请说明理由.

12、(崇明县 2015 届高三一模)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的两焦点与椭圆 短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m (k ? R) ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,
请说明理由. 13 、 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) , 直 线 l 交 此 抛 物 线 于 不 同 的 两 个 点 A( x1 ,

y1 ) 、

B( x2 ,

y2 ) . 0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(1)当直线 l 过点 M (? p,

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记 N ( p,

0) ,如果直线 l 过点 M (? p, 0) ,设线段 AB 的中点为 P ,线段 PN 的中点为 Q .

问是否存在一条直线和一个定点,使得点 Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定 点;若不存在,请说明理由. 14、动圆 C 过定点 ?1,0? ,且与直线 x ? ?1 相切. 设圆心 C 的轨迹 ? 方程为 F ?x, y ? ? 0 (1)求 F ?x, y ? ? 0 ; (2)曲线 ? 上一定点 P?x0 ,2? ,方向向量 d ? ?1,?1? 的直线 l (不过 P 点)与曲线 ? 交与 A、B 两点, 设直线 PA、PB 斜率分别为 k PA , k PB ,计算 k PA ? k PB ; 交于 M , N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值; 15、 如图,已知点 F (0 , 1) ,直线 m : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作 m 的垂线,垂足为点 Q ,且 (3)曲线 ? 上的一个定点 P0 ?x0 , y 0 ? ,过点 P0 作倾斜角互补的两条直线 P0 M , P0 N 分别与曲线 ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? QP ? QF ? FP ? FQ .
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)(文)过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作方向向量为 d ? (a , 1) 的直线 m? 与轨迹 C 交于不 同两点 A 、 B ,问是否存在实数 a 使得 FA ? FB ?若存在,求出 a 的范围;若不存在,请说明理 由;
6
?

(3)(文)在问题(2)中,设线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点为 D (0 , y 0 ) ,求 y0 的取值范围.
y F O x

m

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】2 【解析】依题意,点 Q 为坐标原点,所以

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

C

2、解答:知抛物线的焦点坐标为 ? 2,0 ? ,则其准线方程为: x ? ?2 3、【答案】

4 6 3
A D B

【解析】 如右图所示。

设D在AB上,且CD ? AB, AB ? 4, BC ? 2, ?CBA ? 45? ? CD ? 1, DB ? 1, AD ? 3 ? C(1,1)
? 2a ? 4, 把C (1, 1)代入椭圆标准方程得 1 1 4 8 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? , c 2 ? 2 3 3 a b

? 2c ?

4 6 3
2 2

4、 ?x ? 1? ? y ? 4 7、4 8、C 9、解答: 解:∵程

5、6

6、 y = ?

3x

+

=1 表示双曲线,

∴(|k|﹣2) (3﹣k)<0, 解得 k>3 或﹣2<k<2, ∴实数 k 的取值范围是(﹣2,2)∪(3,+∞) . 故答案为: (﹣2,2)∪(3,+∞) . 10、解答: 解:对于①,∵曲线 C: =1,不是椭圆方程,∴曲线 C 不是椭圆,∴①错误;

对于②,把曲线 C 中的(x,y )同时换成(﹣x,﹣y ) ,方程不变,∴曲线 C 关于原点对称,②正 确;

7

对于③,把曲线 C 中的(x,y )同时换成(y,x ) ,方程变为 对称,③错误; 对于④,∵|x|≤2,|y|≤1,∴曲线 C: 综上,正确的命题是②④. 故答案为:②④. 11、4

+x =1,∴曲线 C 不关于直线 y=x

4

=1 所围成的封闭面积小于 4×2=8,∴④正确.

1 2 15 13、 ;
12、 14、

x2 y 2 ? ?1 20 5
2

15、 x ?

y2 ? 1; 9

二、解答题 1、【答案】(1)详见解析;(2) k ? ?1 或 k ? ?

1 1 ;(3) m ? ? . 2 5

由(1)得 S ?

1 1 3 3 3 | k ?1 | | x1 y2 ? x2 y1 |? | x1 ? kx1 |? 2 2 3 3 6 1 ? 2k 2

由题意知

1 ? , 6 1 ? 2k 2 3

3 | k ?1 |

8

解得 k ? ?1 或 k ? ?

1 . 5
m x ,设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) , k

(3)设 l1 : y ? kx ,则 l2 : y ? 由?

? y ? kx ?x ? 2 y ? 1
2 2
2

,的 x1 ?
2

1 , 1 ? 2k 2

同理 x2 ?

1 m 1 ? 2( ) 2 k

?

k2 , k 2 ? 2m 2

由(1)知, S ?

1 1 x ?mx 1 | k2 ? m| 1 | x1 y2 ? x2 y1 |? | 1 ? x2 ? kx1 |? ? ? | x1 x2 | 2 2 k 2 |k|
| k2 ? m|


?
2

2 1 ? 2k 2 ? k 2 ? 2m2
4 2 2 2

整理得 (8S ?1)k ? (4S ? 16S m ? 2m)k ? (8S ?1)m ? 0 ,
2 2 2

由题意知 S 与 k 无关,

? 2 1 S ? ? ? ? ?8S ? 1 ? 0 8 则? 2 ,解得 ? . 2 2 ? ?m ? ? 1 ?4 S ? 16S m ? 2m ? 0 ? 2 ?
2

所以 m ? ? 2、解答:

1 . 2

(1)证明:因为? ? ?4 ? 0 ,所以点 A, B 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔. (2)解:直线 y ? kx 与曲线 x ? 4 y ? 1 没有公共点的充要条件是方程组 ?
2 2

? x2 ? 4 y 2 ? 1 无解,即 y ? kx ?

k ?

1 1 2 2 .当 k ? 时,对于直线 y ? kx ,曲线 x ? 4 y ? 1 上的点 ? ?1,0? 和 ?1,0 ? 满足 2 2

9

? ? ?k 2 ? 0 ,即点 ? ?1,0? 和 ?1,0 ? 被 y ? kx 分隔.故实数 k 的取值范围是
1 1 (??, ? ] ? [ , ??) . 2 2
(3)证明:设 M 的坐标为 ( x, y ) ,则曲线 E 的方程为 x ? ( y ? 2) ? x ? 1 .
2 2

对任意的 y0 , ? 0, y0 ? 不是上述方程的解,即 y 轴与曲线 E 没有公共点. 又曲线 E 上的点 ? ?1, 2? 和 ?1, 2 ? 对于 y 轴满足? ? 0 ,即点 ? ?1, 2? 和 ?1, 2 ? 被 y 轴分隔.所以

y 轴为曲线 E 的分隔线.
3、【答案】 (1)

3y ? x ? 3 ? 0
x2 2
2 2 2 2 2 2

【解析】 (1) 由C1方程: ? y ? 1可知:a ? 2, b ? 1, c ? a ? b ? 3, F1 (? 3,0)



然,由双曲线 C1 的几何图像性质可知,过 F1的任意直线都与曲线 C1相交.从曲线 C 2 图像上取点 P(0,1),则直线 PF C1、C2 均有交点。这时直线方程为 1与两曲线

y?

3 ( x ? 3) ? 3 y ? x ? 3 ? 0 3

(2) 先证明“若直线 y=kx 与 C2 有公共点,则 k >1”. 双曲线 C1的渐近线:y ? ?

b 1 x?? x. a 2 1 2 , 1 2 ) .

若直线y ? kx与双曲线C1有交点,则k ? A ? (-

. 若直线y ? kx与双曲线C2 有交点,则 k?B ? (- ?, -1 ) ? ( 1 ,?) 所以直线 y=kx 与 C2 有公共点,则 k >1 . (证毕)

? A ? B ? ? ,? 直线y ? kx与曲线C1、C2 不能同时有公共交点 。
所以原点不是“C1-C2 型点”;(完) (3)设直线 l 过圆 x ? y ?
2 2

1 内一点,则直线 l 斜率不存在时与曲线 C1 无交点。 2

10

设直线 l 方程为:y = kx + m,则:

|m| k ?1
2

?

1 2

? 2m 2 ? 1 ? k 2

假设直线 l 与曲线 C 2 相交上方,则 y ? 1

y y 3 x2 y 2 ? ? ? ,? ? ? 1? x ? ?2 ? x?2 x?2 4 4 3 y 2 x2 ? ? 1? b ? 0 ? (2)设双曲线方程为 3 b2 y0 2 x0 2 ? 2 ? 1? b ? 0 ? Q ? x0 , y0 ? 在双曲线上,所以 3 b 2 y ? 3 y0 ? 3 y0 ? 3 3 ? k3k4 ? 0 ? ? ? 2 x0 x0 x02 b 3 3 ?? ? 2 ? 0,? 0 ? b ? 2 4 b
4、(1)? k1k2 ?

5分 6分

8分 9分 10 分

3 3 ?? ? 2 ? 0,? 0 ? b ? 2 4 b
(理)双曲线渐近线的方程 y ? ? 设倾斜角为 ? ,则 tan? ? ?

3 x b

11 分

3 b
11

k?

3 3 3 3 ?? ? , 或者 k ? ? b 2 b 2
? ? 3 ?? , ? ? 2 2?

12 分 13 分

所以一条渐近线的倾斜角的取值范围是 ? arctan 另一条渐近线的倾斜角的取值范围是 ? (文)焦距是 2 3 ? b2

?? 3? , ? ? arctan ? ?2 2 ? ?

14 分 12 分 14 分

? 2 3 ? b2 ? 2 3, 2 7 ? ?
5、解:(1) 因为 QF2 的垂直平分线交 QF1 于点 P . 所以 PF2 ? PQ ,从而
PF1 ? PF2 ? PF1 ? PQ ? F1Q ? 2 2 ? F1F2 ? 2,

?

所以,动点 P 的轨迹 C 是以点 F1、F2 为焦点的椭圆. 设椭圆的方程为

??3 分

x2 y2 ? 2 ? 1 ,则 2a ? 2 2 ,2c ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1, 2 a b
x2 ? y2 ? 1 2

故动点 P 的轨迹 C 的方程为

??5 分

(2) 设 M (a1 , b1 ), N (a2 , b2 ) (a1 ? 0, b1 ? 0, a2 ? 0, b2 ? 0) ,则

a12 ? 2b12 ? 2, a22 ? 2b22 ? 2
???? ? ???? ???? 因为 OM ? 2ON ? 2OF ,则 a1 ? 2a2 ? ?2, b1 ? 2b2 ? 0 1
由①、② 解得

① ②

a1 ?

1 , b1 ? 2

14 5 14 , a2 ? ? , b2 ? ? 4 4 8

??8 分

所以直线 MN 的斜率 kMN ? b2 ? b1 ? 3 14 . a2 ? a1 14

??10 分

y ? kx ? ? 1 ? 3 ,得 9(2k 2 ? 1) x2 ?12kx ?16 ? 0, (3)设直线 l 的方程为 y ? kx ? , 则由 ? 2 3 2 ?x ? ?2 ? y ?1
由题意知,点 S (0, ? 1 ) 在椭圆 C 的内部,所以直线 l 与椭圆 C 必有两个交点,设 A( x1 , y1 )、 3 4k 16 ??12 分 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? . 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1) 假设在 y 轴上存在定点 T (0, m) 满足题设,则 TA ? ( x1, y1 ? m), TB ? ( x2 , y2 ? m), 因为以 AB 为直径的圆恒过点 T , 所以 TA ? TB ? ( x1, y1 ? m) ? ( x2 , y2 ? m) ? 0, 即

?

1

???

???

??? ???

x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? 0

(?)

??14 分

12

因为 y1 ? kx1 ?

1 1 , y2 ? kx2 ? , 故 (?) 可化为 3 3

x1 x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m 2 1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k (m ? )( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m ? 3 3 9

?? ?

16(k 2 ? 1) 1 4k 2 1 ? k (m ? ) ? ? m2 ? m ? 2 2 9(2k ? 1) 3 3(2k ? 1) 3 9

18(m 2 ? 1)k 2 ? 3(3m 2 ? 2m ? 5) 9(2k 2 ? 1)

?? ? ??? ? m2 ? 1 ? 0 由于对于任意的 k ? R , TA ? TB ? 0, 恒成立,故 ? , 解得 m ? 1 . ? 2 ? ?3m ? 2m ? 5 ? 0

因此,在 y 轴上存在满足条件的定点 T ,点 T 的坐标为 (0,1) .
2 2 2 2

?? 16 分

6、解(1)依据题意,动点 P( x, y) 满足 ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? 4 . 又| F 1F 2 |? 2 2 ? 4 , 因此,动点 P( x, y) 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,且 ?

? ?2a ? 4, ?b? 2. 2 c ? 2 2 ? ?

所以,所求曲线 C 的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2) 设 M ( x0 , y0 ) 是曲线 C 上任一点.依据题意,可得 MG ? MN ? NG, MH ? MN ? NH .

???? ?

???? ? ???? ???? ?

???? ? ???? ?

? GH 是直径, ???? ? ???? ???? ? NH ? ? NG .又 |NG|=1 ,
???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? MG ? MH =( MN ? NG) ? ( MN ? GH ) ???? ? ???? ???? ? ???? =( MN ? NG) ? ( MN ? NG) ???? ? ???? =|MN |2 ? | NG |2 .

???? ? ? | MN |2 ? ( x0 ? 3)2 ? ( y0 ? 0)2
= 由

1 ( x0 ? 6) 2 ? 7 . 2

x2 y 2 ? ? 1 ,可得 ?2 ? x ? 2 ,即 ?2 ? x0 ? 2 . 4 2

? ? ?2 ?? ?1 ?M | N | ?, 2 05
? ? ? ?? ? ? ? ? ?

? ? ? ?? 2 ? ? ? ? 2 ?M| N ? | N |G . ?| 24
???? ? ???? ?

?M G ? M 的取值范围是 H 0 ? MG ? MH ? 24 .
13

(另解 1 ?| MN |2 ? 25 : 结合椭圆和圆的位置关系, 有 || OM | ? | ON ||?| MN |?| OM | ? | ON | (当 且仅当 M 、N、O 共线时,等号成立),于是有 1 ?| MN |? 5 .) (3)证明 设原点到直线 AB 的距离为 d ,且 A、B 是曲线 C 上满足 OA ? OB 的两个动点.

???? ?

1 1 ab 2 3 10 若点 A 在坐标轴上, 则点 B 也在坐标轴上, 有 | OA || OB |? | AB | ?d , 即d ? . ? 2 2 2 2 3 a ?b

20 若点 A( xA , yA ) 不在坐标轴上,可设 OA : y ? kx, OB : y ? ?
4 ? 2 ? x2 y 2 xA ? , ? ? 1, ? ? ? 1 ? 2k 2 由? 4 得 2 ? 2 ? y ? kx. ? y 2 ? 4k . ? ? A 1 ? 2k 2 ?
? 2 4k 2 xB ? , ? 设点 B( xB , yB ) ,同理可得, ? 2 ? k2 ? ? y2 ? 4 . B ? 2 ? k2 ?

1 x. k

于是, | OA |? 2

2 3(1 ? k 2 ) 1? k 2 , 1? k 2 , 2 2 . | AB | ? OA ? OB ? | OB | ? 2 1 ? 2k 2 2 ? k2 (2 ? k 2 )(1 ? 2k 2 )

利用

1 1 2 3 | OA || OB |? | AB | ?d ,得 d ? . 2 2 3
0 0

2 可知,总有 d ? 综合 1 和

2 3 2 3 ,即原点 O 到直线 AB 的距离为定值 . 3 3

(方法二:根据曲线 C 关于原点和坐标轴都对称的特点,以及 OA ? OB ,求出 A、B 的一组坐 标,再用点到直线的距离公式求解,也可以得出结论)

7、解:(1)椭圆一个焦点和顶点分别为 ( 7,0),(2 2,0) ,?????????1 分
2 y2 所以在双曲线 x 2 ? 2 ? 1 中, a 2 ? 7 , c 2 ? 8 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 , a b

因而双曲线方程为 x ? y 2 ? 1 .????????????????????4 分 7 ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? (2)设 M ( x ,y ) , A(m ,n) ,则由题设知: OM ? 2 OA , OA ? OM ? 0 .
? x 2 ? y 2 ? 4(m2 ? n 2 ) , 即? ????????????????????????5 分 ?mx ? ny ? 0 ,

2

14

?m2 ? 1 y 2 , ? 4 解得 ? ??????????????????????????7 分 2 1 ?n ? x 2. ? 4
y m2 2 2 因为点 A(m ,n) 在椭圆 C 上,所以 ? x ? n ? 1 ,即? 8 2 8

? ? ? ? ? 1,
2 2

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 .所以点 M 的轨迹方程为 ? ? 1 .???????9 分 4 32 4 32 (3)(文)因为 AB 所在直线方程为 y ? kx(k ? 0) .
亦即

? x2 2 8k 2 8 ? ? y ? 1, 2 解方程组 ? 8 得 xA 2 ? , , y ? A 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 ? y ? kx , ?
所以 OA2 ? xA2 ? yA2 ?

32(1 ? k 2 ) 8 8k 2 8(1 ? k 2 ) 2 2 , . AB ? 4 OA ? ? ? 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2 1 ? 8k 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 8k 2 8(1 ? k 2 ) 8 ?8 又? 解得 xM 2 ? 2 , yM 2 ? 2 ,所以 OM 2 ? 2 .???? 11 分 k +8 k +8 k +8 ? y ? ? 1 x, ? k ?

由于 S△ AMB 2 ?

64(1 ? k 2 ) 2 32 1 32(1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 ) 1 ? ? ?????14 分 ? AB2 ? OM 2 ? ? 2 2 2 2 (1 ? 8k )(k +8) 7 4 4 1 ? 8k k +8

解得 (6k 2 ? 1)(k 2 ? 6) ? 0 ? k 2 ? 1 或k 2 ? 6 即 k ? ? 6 或k ? ? 6 6 6
6 x 或 y ? 6 x ????????????? 16 分 又 k ? 0 ,所以直线 AB 方程为 y ? 6
2 8、解:(1)将 y ? 2 x ? 4 ,代入 y ? 4 x ,求得点 A?1, ? 2? , B?4, 4? ,

又因为 D?2, 0? , E ?0, ? 4? ,????????????????????2 分 由 EA ? ?1 AD 得到, ?1, 2? ? ?1 ?1,2? ? ??1 ,2?1 ? , ?1 ? 1 , 同理由 EB ? ?2 BD 得, ?2 ? ?2 .所以 ?1 ? ? 2 = ? 1 .?????????4 分

(2)联立方程组: ?

x ? my?1 得 m 2 ? 2 y 2 ? 2my ? 1 ? 0 , 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 2m 1 1? ? y1 ? y 2 ? ? 2 , y1 y 2 ? ? 2 ,又点 D?1, 0?, E ? 0, ? ? , m ?2 m ?2 m? ? ?
2

?

?

? 1 1? 1 1 ? ? ??1 y1 , ?1 ? ?? ? m y ? ?, m 1 ? ? ? 1 1 1 1? ? ? ? 2 y 2 , ? 2 ? ?? 同理由 EB ? ?2 BD 得到 y 2 ? ? m y2 m ?
由 EA ? ?1 AD 得到 y1 ?

? ? ?, ?

? 1 ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? ? ?1 ? ?2 = ? ? ?2 ? m y y ? ? ? ?? 2 ? m ? 2m ? ? ?4 ,即 ?1 ? ?2 ? ?4 ,?6 分 ? ? 1 2 ? ?

15

1

?1

?

1

?2

??

4

?1?2

?

4

因为 m ? 1 ,所以点 A 在椭圆上位于第三象限的部分上运动,由分点的性质可知

?1 ? 4?1
2

?

??1 ? 2?2 ? 4

4

, ????????????8 分

?1 ? 2 ? 2, 0 ,所以

?

?

1

?1

?

1

?2

? ?? ?, ? 2? .????????????10 分
x2 ? y2 ? 1 3

(3)直线 l 的方程为 x ? my ? t ,代入方程

得到: m 2 ? 3 y 2 ? 2mty ? t 2 ? 3 ? 0 .

?

?

?

?

y1 ? y 2 ? ?

2m t , m2 ? 3

y1 y 2 ? ?

t ?3 1 1 2m t , (1) ? ?? 2 2 m ? 3 y1 y 2 t ?3
2

而由 EA ? ?1 AD 、 EB ? ?2 BD 得到: ? (?1 ? ?2 ) ? 2 ?

?1 ? ?2 ? 6 (3) ?????????????????????????12 分
由(1)(2)(3)得到: 2 ?

t ?1 1 ? ? (2) ? ? ? m ? y1 y 2 ? ?

所以点 D(?2, 0) ,????????????????????????14 分 当直线 l 与 x 轴重合时, ?1 ? ? 都有 ?1 ? ? 2 ?

t ? 2m t ? ?? ? ? ?6 , t ? ?2 , m ? t2 ? 3?

a a a a , ?2 ? 或者 ?1 ? , ?2 ? ? , t?a t?a t?a t?a

2a 2 ? 6 也满足要求, t 2 ? a2 所以在 x 轴上存在定点 D(?2, 0) .?????????????????16 分

9、考点: 椭圆的简单性质. 专题: 函数的性质及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P (x, y) , 则 , 所以 , ﹣2≤x≤2, 所以得到|PM|= ,

二次函数

的对称轴为 x=2m,所以讨论 2m 和区间[﹣2,2]的关系,根据二次函数的

顶点及在区间[﹣2,2]上的单调性即可求出该二次函数的最小值,从而求出|PM|的最小值. 解答: 解:设 P(x,y) ,则 x,y 满足: ;





∴|PM|=

=

=

=
2



∴①若 0<2m<2,即 0<m<1 时,x=2m 时,函数 ∴此时|PM|的最小值为 ;

取最小值 2﹣m ;

②若 2m≥2,即 m≥1 时,二次函数

在[﹣2,2]上单调递减;

16

∴x=2 时,函数

取最小值(m﹣2) ;

2

∴此时|PM|的最小值为|m﹣2|. 10、解答: 解: (1)由题意得 F1(﹣2,0) ,c=2?(2 分) 又
4 2


2 2

得 a ﹣8a +12=0,解得 a =6 或 a =2(舍去) ,?(2 分) 2 则 b =2,?(1 分) 故椭圆方程为 .?(1 分)

(2)直线 l 的方程为 y=x﹣2.?(1 分)

联立方程组

,消去 y 并整理得 2x ﹣6x+3=0.?(3 分)

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 故 x1+x2=3, 则|AB|= .?(1 分) |x1﹣x2|= = .?(2 分)

(3)设 AB 的中点为 M(x0,y0) . ∵x1+x2=3=2x0,∴ ∵y0=x0﹣2,∴ ,?(1 分) .?(1 分)

线段 AB 的中垂线 l1 斜率为﹣1,所以 l1:y=﹣x+1 设 P(t,1﹣t)?(1 分) 所以 .?(1 分)

当△ABP 为正三角形时,|MP|= 得

|AB|,

,解得 t=0 或 3.?(2 分)

即 P(0,1) ,或 P(3,﹣2) .?(1 分) c ? 1 a ? 2c ? 2 , ????????(2 分) 11、(1)已知, , 所以 b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

??????????????(3 分)
2

x y2 ? ? 1 . ????????(4 分) 所以椭圆的标准方程为 4 3 ( 2 ) F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) , 设 M ( x , y ) , 则 MF 2 ? (1 ? x , ? y) , 1 ? (?1 ? x , ? y) , MF
2 2 ? 2 ? x ? 2 ), MF 1 ? MF 2 ? x ? y ? 1(

????????(2 分)

17

? x2 ? 1 2 x2 y 2 ? ? 1 ,所以, MF1 ? MF2 ? x 2 ? y 2 ? 1 ? x 2 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ? 4 x ? 2 ,?(4 分) 4 3 ? ? 2 2 3 由 0 ? x ? 4 ,得 MF 1 ? MF 2 的最大值为 ,最小值为 . ??????????(6 分)
因为 (3)假设存在点 B(m , 0) ,设 P( x , y) , P 到 B 的距离与 P 到直线 x ? 4 的距离之比为定值 ? ,则

( x ? m) 2 ? y 2 ? ?, 有 | x?4|

??????????????????(1 分)

整理得 x2 ? y 2 ? 2mx ? m2 ? ?2 ( x ? 4)2 , ??????????????(2 分) 由

x2 y 2 ? ?1 , 得 4 3

?1 2? 2 2 2 2 ? ? ? ? x ? (8? ? 2m) x ? m ? 3 ? 16? ? 0 对 任 意 的 x ?[?2 , 2] 都 成 ?4 ?

立. 令 F ( x) ? ?

????????????????????????(3 分)

?1 ? ? ?2 ? x 2 ? (8?2 ? 2m) x ? m2 ? 3 ? 16?2 , ?4 ? 2 2 则由 F (0) ? 0 得 m ? 3 ? ?6? ? 0 ① 2 2 由 F (2) ? 0 得 m ? 4m ? 4 ? 4? ? 0 ②
由 F (?2) ? 0 ,得 m ? 4m ? 4 ? 36? ? 0
2 2



1 , m ? 1. ??????????(5 分) 2 所以,存在满足条件的点 B , B 的坐标为 (1 , 0) . ?????????(6 分)
由①②③解得得 ? ? 12、解(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,半焦距为 c , a2 b2

则?

? a ? 2c ?a ? c ? 1 ?a ? 2 ?c ?1

解得: ?

x2 y2 ? ?1 所以, b ? 3 ,椭圆方程为 4 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)解:存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立。
? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx? 4m ? 12 ? 0 y2 ? ?1 ? 3 ?4
由 ? ? 0 得 3 ? 4k ? m 。
2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
18

由 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 得, OA ? OB ? 0 所以 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0 化简得 7m ? 12 ? 12k
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

所以 m ?
2

12 7
2

由 ? ? 0 得, m ? 因此, m ?
2

3 4

12 7

13、解:(1) l 过点 M (? p,

0) 与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设 l : y ? k ( x ? p) ,其中

? y ? k ( x ? p) k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意),由 ? 2 得 k ? y 2 ? 2 py ? 2 p 2 k ? 0 ,? y1 ? y2 ? 2 p 2 ? y ? 2 px
注:本题可设 l : x ? m y ? p ,以下同. (2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意).

由?

? y ? kx ? b ? y ? 2 px
2

得 ky 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 .

? y1 y 2 ?

2 pb k ? ? p ,从而 b ? ? k 2

假设直线 l 过定点 ( x0 ,

y0 ) , 则 y0 ? kx0 ? b , 从而 y 0 ? kx 0 ?

k 1 , 得 ( x0 ? )k ? y 0 ? 0 , 即 2 2

1 ? 1 ? x0 ? 2 ,即过定点 ( , 0) ? 2 ? ? y0 ? 0
当 直 线

l













,



l : x ? x0

,





y 2 ? 2 px



y 2 ? 2 px0 , y ? ? 2 px0 , ? y1 y 2 ? 2 px0 ? (? 2 px0 ) ? ?2 px0 ? ? p , 从 而 x 0 ?
l:x? 1 1 ,也过 ( , 0) . 2 2 1 2 0)

1 ,即 2

综上所述,当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,

(3) 依题意直线 l 的斜率存在且不为零 , 由 (1) 得点 P 的纵坐标为 y P ?

1 p ( y1 ? y 2 ) ? , 代入 2 k
19

l : y ? k ( x ? p) 得 x P ?

p p ? p ,即 P ( 2 ? p, 2 k k

p ) k

设 Q( x,

1 p ? x ? ( 2 ? p ? p) ? p ? 2 k 2 消k 得 y ? x y) ,则 ? 2 ?y ? 1 ? p ? 2 k ?
p p ,点 ( , 0) ,点 Q 到它们的距离相等 8 8

由抛物线的定义知存在直线 x ? ?

14、(1)过点 C 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N ,由题意知: CF ? CN , 即动点 C 到定点 F 与定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 C 的轨迹为抛物线 其中 ?1,0? 为焦点, x ? ?1 为准线,所以轨迹方程为 y 2 ? 4 x ; (2)证明:设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 由题得直线的斜率 ? 1 过不过点 P 的直线方程为 y ? ? x ? b

? y 2 ? 4x ? y ? ?x ? b 由? 得
则 y1 ? y2 ? ?4 .

y 2 ? 4 y ? 4b ? 0

P?1,2?

k AP ? k BP ?

y1 ? 2 y 2 ? 2 0 y1 ? 2 y 2 ? 2 4 4 ? 2 = 2 = ? ? y ? 2 y2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 y2 ?1 ?1 1 4 4

=

4( y1 ? y 2 ? 4) =0 ( y1 ? 2)( y 2 ? 2)

(3)设 M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y 2 ?

k MN ?

y 2 ? y1 y 2 ? y1 4 = 2 = 2 x2 ? x1 y 2 y1 y1 ? y 2 ? 4 4

(***)

设 MP 的直线方程为 y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

? y 2 ? 4x 4 y0 4 2 ? 4 x0 ? 0 由? ,y ? y? k k ? y ? y 0 ? k ( x ? x0 )
20

4 ? y0 k 2p 4 同理 y 0 ? y 2 ? ? ,得 y 2 ? ? ? y 0 k k
则 y 0 ? y1 ?

4 k

? y1 ?

15 分

代入(***)计算得: y1 ? y2 ? ?2 y0

? k MN ? ?

2 y0

15、(文)(1)设 P ( x , y ) ,由题意, Q ( x , ? 1) , QP ? (0 , y ? 1) , QF ? (? x , 2) ,

FP ? ( x , y ? 1) , FQ ? ( x , ? 2) ,
由 QP ? QF ? FP ? FQ ,得 2( y ? 1) ? x ? 2( y ? 1) ,
2

化简得 x ? 4 y .所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y
2 2

(2)轨迹 C 为抛物线,准线方程为 y ? ?1 ,即直线 m ,所以 M (0 , ? 1) , 当 a ? 0 时,直线 m ? 的方程为 x ? 0 ,与曲线 C 只有一个公共点,故 a ? 0 所 以 直 线 m? 的 方 程 为
2 2 4

? x ? ay ? a , x 2 2 2 2 得 a y ? (2a ? 4) y ? a ? 0 , 由 ? y ?1 , 由 ? 2 a ?x ? 4 y ,

△ ? 4(a ? 2) ? 4a ? 0 ,得 0 ? a 2 ? 1 设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 所以 x1 ? x 2 ?

4 ? 2 , y1 y 2 ? 1 , a2

4 , x1 x 2 ? 4 , a

若 FA ? FB ,则 FA ? FB ? 0 ,即 ( x1 , y1 ? 1) ? ( x 2 , y 2 ? 1) ? 0 ,

? 4 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 0 , 4 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 0 , ?a ?
解得 a 2 ?

2 1 .所以 a ? ? 2 2 ?2 2 ? , 2 ? 1? , 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 的 一 个 法 向 量 为 ?a a ?

(3) 由 (2), 得 线 段 AB 的 中 点 为 ?

2? ? 2 ? ? ? n ? (a , 1) ,所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 a? x ? ? ? ? y ? 2 ? 1? ? 0 , a? ? a ? ?

21

2 ? 1, a2 2 因为 0 ? a 2 ? 1 ,所以 2 ? 1 ? 3 . a
令 x ? 0 , y0 ? 所以 y 0 的取值范围是 (3 , ? ?)

22


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