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上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 圆锥曲线 文


上海市 2016 届高三数学文一轮复习专题突破训练 圆锥曲线
一、选择、填空题 1 、 ( 2015 年 高 考 ) 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上 的 动 点 Q 到 焦 点 的 距 离 的 最 小 值 为 1 , 则

p?

.
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合

,则该抛物线的准线方 2、 (2014 年高考)抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 9 5
程为 . 3、(2013 年高考).设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 的两个焦点之间的距离为

?
4

.若 AB=4,BC= 2 ,则 ?

4 6 3

.

4、(奉贤区 2015 届高三二模)以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 为圆心,与抛物线的准线相切的圆的标 准方程为__________. 5、(虹口区 2015 届高三二模)已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点在圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上,则

p ? ________
6、(黄浦区 2015 届高三二模)已知抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点与双曲线 点重合,则双曲线的渐近线方程是 7 、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)已知抛物线 y ? 2 px 的准线方程是 x ? ?2 ,则
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦 a 2 12

p?


2 2

8、(浦东新区 2015 届高三二模)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 3 没有公共点,设点 P 的坐

标 ( a, b) ,则过点 P 的一条直线与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的公共点的个数为 4 3
(C ) 2
+

( C )

( A) 0

(B) 1

( D) 1 或 2

9、 (普陀区 2015 届高三一模)若方程 2,2)∪(3,+∞) . 10、 (闸北区 2015 届高三一模)关于曲线 C: ①曲线 C 是椭圆; ②关于坐标原点中心对称;

=1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 (﹣

=1,给出下列四个结论:

1

③关于直线 y=x 轴对称; ④所围成封闭图形面积小于 8. 则其中正确结论的序号是 ②④ . (注:把你认为正确命题的序号都填上) 11、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)抛物线 x2 ? 8 y 的焦点到准线的距离是_____________ 12、(崇明县 2015 届高三一模)已知双曲线 k 2 x2 ? y 2 ? 1 (k ? 0) 的一条渐近线的法向量是 (1, 2) ,那 么k ?

x2 y 2 ? ? 1 内有两点 A?1, 3? ,B? 3, 0 13 、已知椭圆 ? ,P 为椭圆上一点 , 则 PA ? PB 的最大值为 25 16
_______. 14、若双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为_________. a 2 b2

15、若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3 x ,它的一个焦点是 ( 10 ,0) ,则双曲线的标准方程是_____.

二、解答题 1、(2015 年高考)已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l 2 分别于椭圆交于 A 、 B 和 C 、
2 2

D ,设 ?AOC 的面积为 S .
(1)设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,用 A 、 C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离,并证明

S ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ;
(2)设 l1 : y ? kx , C (

3 3 1 , ) , S ? ,求 k 的值; 3 3 3

(3)设 l1 与 l 2 的斜率之积为 m ,求 m 的值,使得无论 l1 与 l 2 如何变动,面积 S 保持不变.

2、 (2014 年高考) 在平面直角坐标系 xOy 中, 对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) , 记

? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) .若? ? 0 ,则称点 P 1, P 2 被直线 l 分隔.若曲线 C 与直线 l 没有公
共点,且曲线 C 上存在点 P 1, P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线. (1)求证;点 A(1, 2), B(?1,0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔; (2)若直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围;
2 2

2

(3)动点 M 到点 Q (0, 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为曲线 E .求 E 的方程, 并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线.

3、(2013 年高考)如图,已知双曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2: y ? x ? 1 .P 是平面内一点.若存 2

在过点 P 的直线与 C1、C2 都有共同点,则称 P 为“C1-C2 型点”.

(1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1-C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的 直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证 k >1,进而证明圆点不是“C1-C2 型点”; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1-C2 型点”. 2

4、 (奉贤区 2015 届高三二模)平面直角坐标系中,点 A?? 2,0? 、 B?2,0? ,平面内任意一点 P 满足: 直线 PA 的斜率 k 1 ,直线 PB 的斜率 k 2 , k1 k 2 ? ?

3 ,点 P 的轨迹为曲线 C1 .双曲线 C 2 以曲线 C1 4

的上下两顶点 M , N 为顶点, Q 是双曲线 C 2 上不同于顶点的任意一点,直线 QM 的斜率 k3 ,直线

QN 的斜率 k 4 .
(1)求曲线 C1 的方程;(5 分) (2)(文)如果 k1k 2 ? k3 k 4 ? 0 ,求双曲线 C 2 的焦距的取值范围.(9 分)

3

2 2 5、 (虹口区 2015 届高三二模)已知圆 F 1 : ( x + 1) + y = 8 ,点 F2 (1, 0),点 Q 在圆 F 1 上运动,

QF2 的垂直平分线交 QF1 于点 P .
(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 设 M 、N 分别是曲线 C 上的两个不同点,且点
Q

y

M 在第一象限,点 N 在第三象限,若 OM ? 2ON ? 2OF1 ,
O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率;
(3)过点 S (0, ? ) 的动直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点, 求证:以 AB 为直径的圆恒过定点 T (0,1).

???? ?

????

????

P F1 O F2 x

1 3

(第22题图)

6、 (黄浦区 2015 届高三二模) 已知点 F , 平面直角坐标系上的一个动点 P( x, y) 1 (? 2,0)、F 2 ( 2,0)

???? ???? ? 满足 |PF1|+|PF2 |=4 .设动点 P 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的轨迹方程;

???? ? ???? ? 2 2 (2)点 M 是曲线 C 上的任意一点, GH 为圆 N : ( x ? 3) ? y ? 1的任意一条直径,求 MG ? MH
的取值范围; (3)(理科)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 OA ? OB ( O 是坐标原点),试证明:直 线 AB 与某个定圆恒相切,并写出定圆的方程. (文科)已知点 A、B 是曲线 C 上的两个动点,若 OA ? OB ( O 是坐标原点),试证明:原点 O 到 直线 AB 的距离是定值.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

7、(静安、青浦、宝山区 2015 届高三二模)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 , l 是线段 AB 的垂直平分线, 设 AB 是过椭圆 C 中心 O 的任意弦, M 是 l 上与 O 不 8
合的点. (1)求以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程; (2)若 MO ? 2OA ,当点 A 在椭圆 C 上运动时,求点 M 的轨迹方程;



4

(3) 记 M 是 l 与椭圆 C 的交点, 若直线 AB 的方程为 y ? kx(k ? 0) , 当△ AMB 的面积为 4 14 时, 7 求直线 AB 的方程.

8、(浦东新区 2015 届高三二模)已知直线 EA ? ?1 AD l 与圆锥曲线 C 相交于 A, B 两点,与 x 轴、

y 轴分别交于 D 、 E 两点,且满足、 EB ? ?2 BD .
(1)已知直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ,求 ?1 ? ?2 的值;

x2 1 1 ? y 2 ? 1 ,求 ? (2)已知直线 l : x ? m y ? 1 ( m ? 1 ),椭圆 C : 的取值范围; 2 ?1 ?2 x2 ? y 2 ? 1 , ?1 ? ?2 ? 6 ,求点 D 的坐标. (3)已知双曲线 C : 3

9、 (普陀区 2015 届高三一模)已知 P 是椭圆 的最小值.

+

=1 上的一点,求 P 到 M(m,0) (m>0)的距离

10、 (闸北区 2015 届高三一模)已知 F1,F2 分别是椭圆 C:
2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,

椭圆 C 过点 且与抛物线 y =﹣8x 有一个公共的焦点. (1)求椭圆 C 方程; (2)直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F2 且斜率为 1 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求弦 AB 的长; (3)以第(2)题中的 AB 为边作一个等边三角形 ABP,求点 P 的坐标.

11、(长宁、嘉定区 2015 届高三二模)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 ,且椭 a 2 b2

圆 C 的短轴的一个端点与左、右焦点 F1 、 F2 构成等边三角形. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 M 为椭圆上 C 上任意一点,求 MF 1 ? MF 2 的最大值与最小值;

5

(3)试问在 x 轴上是否存在一点 B ,使得对于椭圆上任意一点 P , P 到 B 的距离与 P 到直线 x ? 4 的距离之比为定值.若存在,求出点 B 的坐标,若不存在,请说明理由.

12、(崇明县 2015 届高三一模)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的两焦点与椭圆 短轴的一个端点构成等边三角形,右焦点到右顶点的距离为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m (k ? R) ,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,
请说明理由. 13 、 已 知 抛 物 线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) , 直 线 l 交 此 抛 物 线 于 不 同 的 两 个 点 A( x1 ,

y1 ) 、

B( x2 ,

y2 ) . 0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(1)当直线 l 过点 M (? p,

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记 N ( p,

0) ,如果直线 l 过点 M (? p, 0) ,设线段 AB 的中点为 P ,线段 PN 的中点为 Q .

问是否存在一条直线和一个定点,使得点 Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定 点;若不存在,请说明理由. 14、动圆 C 过定点 ?1,0? ,且与直线 x ? ?1 相切. 设圆心 C 的轨迹 ? 方程为 F ?x, y ? ? 0 (1)求 F ?x, y ? ? 0 ; (2)曲线 ? 上一定点 P?x0 ,2? ,方向向量 d ? ?1,?1? 的直线 l (不过 P 点)与曲线 ? 交与 A、B 两点, 设直线 PA、PB 斜率分别为 k PA , k PB ,计算 k PA ? k PB ; 交于 M , N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值; 15、 如图,已知点 F (0 , 1) ,直线 m : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作 m 的垂线,垂足为点 Q ,且 (3)曲线 ? 上的一个定点 P0 ?x0 , y 0 ? ,过点 P0 作倾斜角互补的两条直线 P0 M , P0 N 分别与曲线 ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? QP ? QF ? FP ? FQ .
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)(文)过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作方向向量为 d ? (a , 1) 的直线 m? 与轨迹 C 交于不 同两点 A 、 B ,问是否存在实数 a 使得 FA ? FB ?若存在,求出 a 的范围;若不存在,请说明理 由;
6
?

(3)(文)在问题(2)中,设线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点为 D (0 , y 0 ) ,求 y0 的取值范围.
y F O x

m

参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】2 【解析】依题意,点 Q 为坐标原点,所以

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

C

2、解答:知抛物线的焦点坐标为 ? 2,0 ? ,则其准线方程为: x ? ?2 3、【答案】

4 6 3
A D B

【解析】 如右图所示。

设D在AB上,且CD ? AB, AB ? 4, BC ? 2, ?CBA ? 45? ? CD ? 1, DB ? 1, AD ? 3 ? C(1,1)
? 2a ? 4, 把C (1, 1)代入椭圆标准方程得 1 1 4 8 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? , c 2 ? 2 3 3 a b

? 2c ?

4 6 3
2 2

4、 ?x ? 1? ? y ? 4 7、4 8、C 9、解答: 解:∵程

5、6

6、 y = ?

3x

+

=1 表示双曲线,

∴(|k|﹣2) (3﹣k)<0, 解得 k>3 或﹣2<k<2, ∴实数 k 的取值范围是(﹣2,2)∪(3,+∞) . 故答案为: (﹣2,2)∪(3,+∞) . 10、解答: 解:对于①,∵曲线 C: =1,不是椭圆方程,∴曲线 C 不是椭圆,∴①错误;

对于②,把曲线 C 中的(x,y )同时换成(﹣x,﹣y ) ,方程不变,∴曲线 C 关于原点对称,②正 确;

7

对于③,把曲线 C 中的(x,y )同时换成(y,x ) ,方程变为 对称,③错误; 对于④,∵|x|≤2,|y|≤1,∴曲线 C: 综上,正确的命题是②④. 故答案为:②④. 11、4

+x =1,∴曲线 C 不关于直线 y=x

4

=1 所围成的封闭面积小于 4×2=8,∴④正确.

1 2 15 13、 ;
12、 14、

x2 y 2 ? ?1 20 5
2

15、 x ?

y2 ? 1; 9

二、解答题 1、【答案】(1)详见解析;(2) k ? ?1 或 k ? ?

1 1 ;(3) m ? ? . 2 5

由(1)得 S ?

1 1 3 3 3 | k ?1 | | x1 y2 ? x2 y1 |? | x1 ? kx1 |? 2 2 3 3 6 1 ? 2k 2

由题意知

1 ? , 6 1 ? 2k 2 3

3 | k ?1 |

8

解得 k ? ?1 或 k ? ?

1 . 5
m x ,设 A( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) , k

(3)设 l1 : y ? kx ,则 l2 : y ? 由?

? y ? kx ?x ? 2 y ? 1
2 2
2

,的 x1 ?
2

1 , 1 ? 2k 2

同理 x2 ?

1 m 1 ? 2( ) 2 k

?

k2 , k 2 ? 2m 2

由(1)知, S ?

1 1 x ?mx 1 | k2 ? m| 1 | x1 y2 ? x2 y1 |? | 1 ? x2 ? kx1 |? ? ? | x1 x2 | 2 2 k 2 |k|
| k2 ? m|


?
2

2 1 ? 2k 2 ? k 2 ? 2m2
4 2 2 2

整理得 (8S ?1)k ? (4S ? 16S m ? 2m)k ? (8S ?1)m ? 0 ,
2 2 2

由题意知 S 与 k 无关,

? 2 1 S ? ? ? ? ?8S ? 1 ? 0 8 则? 2 ,解得 ? . 2 2 ? ?m ? ? 1 ?4 S ? 16S m ? 2m ? 0 ? 2 ?
2

所以 m ? ? 2、解答:

1 . 2

(1)证明:因为? ? ?4 ? 0 ,所以点 A, B 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔. (2)解:直线 y ? kx 与曲线 x ? 4 y ? 1 没有公共点的充要条件是方程组 ?
2 2

? x2 ? 4 y 2 ? 1 无解,即 y ? kx ?

k ?

1 1 2 2 .当 k ? 时,对于直线 y ? kx ,曲线 x ? 4 y ? 1 上的点 ? ?1,0? 和 ?1,0 ? 满足 2 2

9

? ? ?k 2 ? 0 ,即点 ? ?1,0? 和 ?1,0 ? 被 y ? kx 分隔.故实数 k 的取值范围是
1 1 (??, ? ] ? [ , ??) . 2 2
(3)证明:设 M 的坐标为 ( x, y ) ,则曲线 E 的方程为 x ? ( y ? 2) ? x ? 1 .
2 2

对任意的 y0 , ? 0, y0 ? 不是上述方程的解,即 y 轴与曲线 E 没有公共点. 又曲线 E 上的点 ? ?1, 2? 和 ?1, 2 ? 对于 y 轴满足? ? 0 ,即点 ? ?1, 2? 和 ?1, 2 ? 被 y 轴分隔.所以

y 轴为曲线 E 的分隔线.
3、【答案】 (1)

3y ? x ? 3 ? 0
x2 2
2 2 2 2 2 2

【解析】 (1) 由C1方程: ? y ? 1可知:a ? 2, b ? 1, c ? a ? b ? 3, F1 (? 3,0)



然,由双曲线 C1 的几何图像性质可知,过 F1的任意直线都与曲线 C1相交.从曲线 C 2 图像上取点 P(0,1),则直线 PF C1、C2 均有交点。这时直线方程为 1与两曲线

y?

3 ( x ? 3) ? 3 y ? x ? 3 ? 0 3

(2) 先证明“若直线 y=kx 与 C2 有公共点,则 k >1”. 双曲线 C1的渐近线:y ? ?

b 1 x?? x. a 2 1 2 , 1 2 ) .

若直线y ? kx与双曲线C1有交点,则k ? A ? (-

. 若直线y ? kx与双曲线C2 有交点,则 k?B ? (- ?, -1 ) ? ( 1 ,?) 所以直线 y=kx 与 C2 有公共点,则 k >1 . (证毕)

? A ? B ? ? ,? 直线y ? kx与曲线C1、C2 不能同时有公共交点 。
所以原点不是“C1-C2 型点”;(完) (3)设直线 l 过圆 x ? y ?
2 2

1 内一点,则直线 l 斜率不存在时与曲线 C1 无交点。 2

10

设直线 l 方程为:y = kx + m,则:

|m| k ?1
2

?

1 2

? 2m 2 ? 1 ? k 2

假设直线 l 与曲线 C 2 相交上方,则 y ? 1

y y 3 x2 y 2 ? ? ? ,? ? ? 1? x ? ?2 ? x?2 x?2 4 4 3 y 2 x2 ? ? 1? b ? 0 ? (2)设双曲线方程为 3 b2 y0 2 x0 2 ? 2 ? 1? b ? 0 ? Q ? x0 , y0 ? 在双曲线上,所以 3 b 2 y ? 3 y0 ? 3 y0 ? 3 3 ? k3k4 ? 0 ? ? ? 2 x0 x0 x02 b 3 3 ?? ? 2 ? 0,? 0 ? b ? 2 4 b
4、(1)? k1k2 ?

5分 6分

8分 9分 10 分

3 3 ?? ? 2 ? 0,? 0 ? b ? 2 4 b
(理)双曲线渐近线的方程 y ? ? 设倾斜角为 ? ,则 tan? ? ?

3 x b

11 分

3 b
11

k?

3 3 3 3 ?? ? , 或者 k ? ? b 2 b 2
? ? 3 ?? , ? ? 2 2?

12 分 13 分

所以一条渐近线的倾斜角的取值范围是 ? arctan 另一条渐近线的倾斜角的取值范围是 ?