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选修4


选修 4--5

不等式选讲

第一讲 不等式和绝对值不等式 课 题: 第 01 课时 不等式的基本性质 教学目标: 1. 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义, 建立不等式 研究的基础。 2. 掌握不等式的基本性质,并能加以证明;会用不等式的基本性质判 断不等关系和用比较法,反证法证明简单的不等式。 教学重点: 应用不等式的基本

性质推理判断命题的真假; 代数证明, 特别是反证法。 教学难点:灵活应用不等式的基本性质。 教学过程: 一、引入: 二、不等式的基本性质: 1、实数的运算性质与大小顺序的关系: 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法 在数轴上的表示可知:

⑥、如果 a>b >0,那么 n a ? n b (n ? N,且 n>1)。 三、典型例题: 例 1、比较 ( x ? 3)(x ? 7) 和 ( x ? 4)(x ? 6) 的大小。 分析:通过考察它们的差与 0 的大小关系,得出这两个多项式的大小关系。 例 2、已知 a ? b, c ? d ,求证: a ? c ? b ? d . 例 3、已知 a>b>0,c>d>0,求证: 四、课堂练习:
3 2 1:已知 x ? 3 ,比较 x ? 11x 与 6 x ? 6 的大小。

a ? d

b 。 c

2:已知 a>b>0,c<d<0,求证: 五、课后作业: 课本 P9 第 1、2、3、4 题

b a ? 。 a?c b?d

a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0
得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质: ①、如果 a>b,那么 b<a,如果 b<a,那么 a>b。(对称性) ②、如果 a>b,且 b>c,那么 a>c,即 a>b,b>c ? a>c。 ③、如果 a>b,那么 a+c>b+c,即 a>b ? a+c>b+c。 推论: 如果 a>b, 且 c>d, 那么 a+c>b+d. 即 a>b, c>d ? a+c>b+d. ④、如果 a>b,且 c>0,那么 ac>bc;如果 a>b,且 c<0,那么 ac<bc. ⑤、如果 a>b >0,那么 a ? b
n n

(n ? N,且 n>1)

课 题: 第 02 课时 基本不等式 教学目标: 1.学会推导并掌握均值不等式定理; 2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 教学重点:均值不等式定理的证明及应用。 教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。 教学过程: 一、知识学习: 2 2 定理 1:如果 a、b∈R,那么 a +b ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号) 2 2 2 证明:a +b -2ab=(a-b) 2 2 当 a≠b 时, (a-b) >0,当 a=b 时, (a-b) =0

所以, (a-b) ≥0 即 a +b 由上面的结论,我们又可得到

2

2

2

≥2ab

∴ ≥ ab (当且仅当

(ab+cd)(ac+bd) ≥abcd 即(ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 4

定理 2(基本不等式) :如果 a,b 是正数,那么

a +b
2

a=b 时取“=” )
说明:1)我们称

a +b
2

为 a,b 的算术平均数,称 ab 为 a,b 的几何

平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数. 2)a +b ≥2ab 和
2 2

a +b
2

≥ ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,

b 都是实数,而后者要求 a,b 都是正数.
3) “当且仅当”的含义是充要条件. 4)几何意义. 二、例题讲解: 例 1 已知 x,y 都是正数,求证: (1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; 1 2 (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 S 4 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件: ⅰ)函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; ⅲ)等号成立条件必须存在。 例 2 :已知 a、b、c、d 都是正数,求证: (ab+cd) (ac+bd)≥4abcd 分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从 而正确运用,同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明:由 a、b、c、d 都是正数,得

三、课堂练习:课本 P91 练习 1,2,3,4. 四、课堂小结: 通过本节学习,要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几 何平均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值, ,但是在应 用时,应注意定理的适用条件。 五、课后作业 课本 P10 习题 1.1 第 5,6,7 题 课 题: 第 03 课时 三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标:1.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不 等式,解决最值问题; 2.了解基本不等式的推广形式。 教学重点:三个正数的算术-几何平均不等式 难点:利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决 最值问题 教学过程: 一、知识学习: 定理 3:如果 a, b, c ? R? ,那么 时,等号成立。 推广:

a?b?c 3 ? abc 。当且仅当 a ? b ? c 3

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ≥ a1 a 2 ? a n 。 当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时, n

等号成立。 语言表述:n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 二、例题分析:
2

ab+cd
2

≥ ab·cd >0,

ac+bd
2

≥ ac·bd >0,

例 1:求函数 y ? 2 x ?
2

3 ( x ? 0) 的最小值。 x

小值。 5(2008,江苏, 21)设 a, b, c 为正实数, 求证:

解一: y ? 2 x ?
2

3 1 1 1 2 ? 2 x 2 ? ? ? 33 2 x 2 ? ? ? 33 4 ∴ ymin ? 33 4 x x x x x
3 3 3 3 12 时 ? 2 2x 2 ? ? 2 6x 当 2 x 2 ? 即 x ? x 2 x x

1 1 1 ? 3 ? 3 ? abc ? 2 3 3 a b c

解二: y ? 2 x ?
2

∴ y min ? 2 6 ?

3

12 ? 2 33 12 ? 26 324 2

四、课堂小结: 通过本节学习,要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几 何平均数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最值, ,但是在应 用时,应注意定理的适用条件。 五、课后作业 P10 习题 1.1 第 11,12,13 题 课 题: 第 04 课时 绝对值三角不等式 教学目标: 1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导 方法, 会进行简 单的应用。 2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化 和数形结合的数学 思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程: 一、复习引入: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式, 另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。 1.请同学们回忆一下绝对值的意义。

上述两种做法哪种是错的?错误的原因是什么? 由例题, 我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________, 三者缺一不可。 另 外 , 由 不 等 号 的 方 向 也 可 以 知 道 : 积 定 ____________ , 和 定 ______________. 三、巩固练习 1.函数 y ? 3 x ? A.6 2.函数 y ? 4 x ?
2

12 ( x ? 0) 的最小值是 ( x2
B. 6 6 C.9

) D.12

16 的最小值是____________ ( x ? 1) 2
2

3.函数 y ? x 4 (2 ? x 2 )(0 ? x ? A.0 B.1

2 ) 的最大值是(
C.

) D.
x y

16 27

32 27
z2

4.(2009 浙江自选)已知正数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 1 , 求 4 ? 4 ? 4 的最
3

? x,如果x ? 0 ? x ? ?0,如果x ? 0 。 ?? x,如果x ? 0 ?

? a

? b

几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的 绝对值。 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本 性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质: (1) a ? a ,当且仅当 a ? 0 时等号成立, a ? ?a. 当且仅当 a ? 0 时等号 成立。 (2) a ?

? ? a?b

根据定理 1,有 a ? b ? ? b ? a ? b ? b ,就是, a ? b ? b ? a 。 所以,

a?b ? a ? b 。
a , (3) a ? b ? a ? b ,
2

a (4) ? (b ? 0) b b

a

定理(绝对值三角形不等式) 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注:当 a , b 为复数或向量时结论也成立. 推论 1: a1 ? a2 ? ? ? an ≤ a1 ? a2 ? ? ? an 推 论 2 : 如 果 a、b、c 是 实 数 , 那么 a ? c ≤ a ? b ? b ? c , 当 且 仅 当

那么 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? 二、讲解新课:

探究: a , b , a ? b , a ? b 之间的什么关系? 结论: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)
已知 a , b 是实数,试证明: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成 立.) 定理 1 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号 成立.) (1)若把 a , b 换为向量 a, b 情形又怎样呢?

(a ? b)(b ? c ) ≥ 0 时,等号成立.
思考:如何利用数轴给出推论 2 的几何解释? (设 A , B , C 为数轴上的 3 个点,分别表示数 a , b , c ,则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当 C 在 A, B 之间时, 等号成立。 这就是上面的例 3。 特别的,取 c=0(即 C 为原点) ,就得到例 2 的后半部分。 ) 三、典型例题: 例 1、已知 x ? a ? 证明

? ?

? ? a?b

c c , y ? b ? ,求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 2 2

? a
4

( x ? y) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b)

? x ?a ? y ?b

(1)? x ? a ?

c c c c , y ?b ? , x?a ? y ?b ? ? ? c 2 2 2 2

(2)由(1) , (2)得: ( x ? y) ? (a ? b) ? c 例 2、已知 x ?

⑵ a 的几何意义: 2.定理(绝对值三角形不等式) 如果 a , b 是实数,则 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b 注意取等的条件。 六、课后作业:课本 P19 第 2,4,5 题 课 题: 第 05 课时 绝对值不等式的解法 教学目标:1:理解并掌握 x ? a 和 x ? a 型不等式的解法。 2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化 和数形结合的数学 思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。 教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。 教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。 教学过程: 一、复习引入: 在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有 了一定的了解。 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即

a a , y ? . 求证: 2 x ? 3 y ? a 。 4 6 a a a a 证明 ? x ? , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2 a a 由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ? ? ? a 。 2 2

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这 种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。 四、课堂练习: 1.(课本 P20 习题 1.2 第 1 题)求证: ⑴ a ? b ? a ? b ≥ 2 a ;⑵ a ? b ? a ? b ≤ 2 b 2. (课本 P19 习题 1.2 第 3 题)求证: ⑴ x ? a ? x ? b ≥ a ? b ;⑵ x ? a ? x ? b ≤ a ? b 3. ( 1) 、已知 A ? a ?

c c , B ? b ? . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 2 c c (2) 、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6

五、课堂小结: 1.实数 a 的绝对值的意义:

? x,如果x ? 0 ? x ? ?0,如果x ? 0 。 ?? x,如果x ? 0 ?
在此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式。 二、新课学习: 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式, 另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式) ,关键在
5

? a ( a ? 0) ? ⑴ a ? ? 0 ( a ? 0) ;(定义) ? ? a (a ? 0) ?

于去掉绝对值符号,化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义. 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型:设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是

4、 x ? a ? x ? b ? c 和 x ? a ? x ? b ? c 型不等式的解法。 (三种思路) 三、典型例题: 例 1、解不等式 3x ? 1 ? x ? 2 。例 2、解不等式 3x ? 1 ? 2 ? x 。

{x | ?a ? x ? a} ,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集
合是开区间(-a,a) ,如图所示。

方法 1:分类讨论。 方法 2 依题意, 原不等式等价于 3 x ? 1 ? 2 ? x 或 3x ? 1 ? x ? 2 , 然后去解。 例 3、解不等式 2x ? 1 ? 3x ? 2 ? 5 。

图 1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型:设 a 为正数。根据绝对值的意义,不等式 x ? a 的解集是 { x | x ? a 或 x ? ?a },它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点 的集合是两个开区间 (??,?a), (a, ?) 的并集。如图 1-2 所示。

?a

例 4、解不等式 x ? 2 ? x ? 1 ? 5 。 解:本题可以按照例 3 的方法解,但更简单的解法是利用几何意义。 原不等式即数轴上的点 x 到 1,2 的距离的和大于等于 5。因为 1,2 的距离 为 1,所以 x 在 2 的右边,与 2 的距离大于等于 2(=(5-1) ? 2) ;或者 x 在 1 的左边,与 1 的距离大于等于 2。这就是说, x ? 4 或 x ? ?1. 例 5 不等式 x ? 1 ? x ? 3 > a 对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围 四、课堂练习:解下列不等式:

–a

a

1、 2 2 x ? 1 ? 1. 4、 x ? 1 ? 2 ? x . 7、 x ? x ? 2 ? 4 10、

2、 41 ? 3x ? 1 ? 0
2 5、 x ? 2 x ? 4 ? 1

3、

3 ? 2x ? x ? 4 .

图 1-2 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。 3、 ax ? b ? c 和 ax ? b ? c 型不等式的解法。

2 6、 x ? 1 ? x ? 2 .

8、 x ? 1 ? x ? 3 ? 6.

9、 x ? x ? 1 ? 2

ax ? b ? c ? ?c ? ax ? b ? c ax ? b ? c ? ax ? b ? ?c或ax ? b ? c
6

x ? x ? 4 ? 2.

五、课后作业:课本 20 第 6、7、8、9 题。


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