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高中数学选修2-1模块质量检测(新人教A版选修2-1)


选修 2-1 模块质量检测
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.下列说法错误的是( )

A.如果命题“?p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题 B.命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是:“若

a≠0,则 ab≠0” C.若命题 p:? x0∈R,x02+2x0-3<0,则?p:? x∈R,x2+2x-3≥0 1 D.“sin θ = ”是“θ =30°”的充分不必要条件 2 1 解析: 显然由 sin θ = 不能推出 θ =30°. 2 答案: D 2.已知命题 p:存在 x∈R,使 tan x=1,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2},下列结论:①命 题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且?q”是假命题;③命题“?p 或 q”是真命题;④命题“?p 或?q”是 假命题,其中正确的是( A.②③ C.①③④ ) B.①②④ D.①②③④

解析: 命题 p、q 都是真命题,所以 p∩q 为真命题,p∩?q 是假命题,?p 或 q 是真命题,?p 或?q 是假命题,故选 D. 答案: D 3.已知两定点 F1(5,0),F2(-5,0),曲线上的点 P 到 F1,F2 的距离之差的绝对值是 6,则该曲线的方 程为(
2

) x2 y2 B. - =1 16 9 y2 x2 D. - =1 25 36

x y2 A. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1 25 36 解析: |PF1|-|PF2|=6|F1F2|,

∴P 点的轨迹为双曲线 2a=6,2c=10,b2=c2-a2=16. 答案: A 4.“a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7”平行且不重合的( A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: a=3? 直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 平行且不重合;由两直线平行且不重 a 2 3a 合得 = ≠ ? a=3.故选 C. 3 a-1 7-a 答案: C
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5. 命题“若 a>b, 则 ac<bc(a, b, c∈R)”与它的逆命题、 否命题、 逆否命题中, 真命题的个数为( A.4 C.2 B .3 D.0

)

解析: 原命题为假,逆命题为假,否命题及逆否命题也为假. 答案: D 6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点 P(m,-2)到焦点的距离为 4,则 m 的值 为( ) A.4 C.4 或-4 B.-2 D.12 或-2

p 解析: 设抛物线标准方程为 x2=-2py(p>0), 由抛物线的定义知点 P 到准线的距离为 4, 故 +2=4, 2 ∴p=4. ∴抛物线方程为 x2=-8y,代入点 P 坐标得 m=±4,故选 C. 答案: 7.若△ABC 中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则 k 的值为( A. 10 C.2 5 B.- 10 D.± 10 )

→ → 解析: CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k), → → 则CB?CA=(-6)?(-3)+2+2k?(-k) =-2k2+20=0, ∴k=± 10. 答案: D → → → → → 8.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,则当QA?QB取得最小值时, 点 Q 的坐标为( 1 3 1? A.? ?2,4,3? 4 4 8? C.? ?3,3,3? → 解析: 设 Q(x,y,z),因 Q 在OP上, → → 故有OQ∥OP,可得:x=λ ,y=λ ,z=2λ , → 则 Q(λ ,λ ,2λ ),QA=(1-λ ,2-λ ,3-2λ ), → QB=(2-λ ,1-λ ,2-2λ ), 4?2 2 → → 所以QA?QB=6λ 2-16λ +10=6? ?λ -3? -3, ) 1 3 3? B.? ?2,2,4? 4 4 7? D.? ?3,3,3?

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4 4 8? 4 → → 故当 λ = 时,QA?QB取最小值,此时 Q? ?3,3,3?,故选 C. 3 答案: C 9.椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为( A. 10 10 B. D. 17 17 37 37 )

2 13 C. 13

2b 解析: 焦距为 2c,短轴长为 2b,由已知:2c= , 3 ∴b=3c,又 a2=b2+c2=9c2+c2=10c2, c 10 ∴e= = . a 10 答案: A 10.给出下列四个命题,其中真命题为( )

①“? x∈R,使得 x2+1>3x”的否定是“? x∈R,都有 x2+1≤3x”; ②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的必要不充分 条件; ③设圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)与坐标轴有 4 个交点, 分别为 A(x1,0), B(x2,0), C(0, y1), D(0,y2),则 x1x2-y1y2=0; ④函数 f(x)=sin x-x 的零点个数有 3 个. A.①④ C.①③ 解析: ①正确; m=-2? 两条直线垂直,而两直线垂直推不出 m=-2, ∴m=-2 是这两条直线垂直的充分非必要条件,②错误; 令 y=0,x2+Dx+F=0 得,x1x2=F, 令 x=0,y2+Ey+F=0,得 y1y2=F, ∴x1x2-y1y2=0,③正确;④错误. 答案: C 11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为正方形 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任 一点,则异面直线 OP 与 MA 所成的角为( A.30° C.60° 解析: ) B.45° D.90° B.②④ D.②③

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1 1 ? 1? ? 如图所示,建立直角坐标系,设正方体棱长为 1,则 O? ?2,2,0?,P(1,y,1),A(1,0,0),M?0,0,2?, 1 1 ? → ∴OP=? ?2,y-2,1?, 1? → AM=? ?-1,0,2?, → → ∴OP?AM=0, ∴OP 与 MA 所成的角为 90°. 答案: D → → → → 12. 设 F1, F2 是双曲线 x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点, 点 P 在双曲线上, 且满足PF1?PF2=0, |PF1|?|PF
2|=2,则

a 的值为(

) B. 5 2

A.2 C.1

D. 5

x2 y2 解析: 双曲线方程化为 - =1(a>0), 4a a → → ∵PF1?PF2=0,∴PF1⊥PF2. → → ∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=20a,① → → 由双曲线定义|PF1|-|PF2|=±4 a,② → → 又已知:|PF1||PF2|=2,③ 由①②③得:20a-2?2=16a,∴a=1. 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把正确答案填在题中的横线上) x2 y2 13.已知 AB 是过椭圆 + =1 左焦点 F1 的弦,且|AF2|+|BF2|=12,其中 F2 是椭圆的右焦点,则弦 25 16 AB 的长是________. 解析: 由椭圆定义|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20, 得|AB|=8. 答案: 8 14.设命题 p:|4x-3|≤1,命题 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若?p 是?q 的必要而不充分条件,则实 数 a 的取值范围是________.
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1 解析: 由已知 p:-1≤4x-3≤1,∴ ≤x≤1, 2 q:a≤x≤a+1,又?p??q, 1 ? ?a≤2 1 ∴p? q,即? ,由此可知 0≤a≤ . 2 ?a+1≥1 ? 1? 答案: ? ?0,2? 15.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则直线与平面的位置关 系是________. 解析: a?u=(1,0,2)?(-2,0,-4)=-2-8=-10 1 ∴直线 l 与平面 α 不平行,a=- u 2 ∴a∥u 直线 l 与平面 α 垂直. 答案: 垂直 16.已知命题 p:m≥1,命题 q:2m2-9m+10<0,若 p,q 中有且仅有一个为真命题,则实数 m 的 取值范围是________. 5 解析: q:2<m< ,由题意 p 真 q 假 2 5 ∴1≤m≤2 或 m≥ . 2 5 ? 答案: [1,2]∪? ?2,+∞? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知 a>0,设 p:函数 y=ax 在 R 上单调递减,q:不等式 x+|x-2a|>1 的解集 为 R.若 p∧q 为假,p∨q 为真,求 a 的取值范围. 解析: 由函数 y=ax 在 R 上单调递减知 0<a<1, ∴若 p 真,则 0<a<1. 不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R, 即 y=x+|x-2a|在 R 上恒大于 1,
?2x-2a x≥2a ? 又因为 x+|x-2a|=? , ?2a x<2a ?

∴函数 y=x+|x-2a|在 R 上的最小值为 2a, 1 故要使解集为 R,只需 2a>1,∴a> . 2 1 ∴若 q 真,则 a> .又∵p∨q 为真,p∧q 为假, 2 ∴p 与 q 一真一假.
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1 若 p 真 q 假,则 0<a≤ ;若 p 假 q 真,则 a≥1. 2 1 故 a 的取值范围为 0<a≤ 或 a≥1. 2 x2 18.(本小题满分 12 分)抛物线 y=- 与过点 M(0,-1)的直线 l 相交于 A,B 两点,O 为原点,若 OA 2 和 OB 的斜率之和为 1,求直线 l 的方程. 解析: 显然直线 l 垂直于 x 轴不合题意,故设所求的直线方程为 y=kx-1.代入抛物线方程化简,得 x2+2kx-2=0. 由根的判别式 Δ =4k2+8=4(k2+2)>0,于是有 k∈R. 设点 A 的坐标为(x1,y1),点 B 的坐标为(x2,y2), y1 y2 则 + =1. x1 x2 ①

因为 y1=kx1-1,y2=kx2-1, 1 1? 代入①,得 2k-? ?x +x ?=1. ②
1 2

又因为 x1+x2=-2k,x1x2=-2,代入②得 k=1. 所以直线 l 的方程为 y=x-1. x2 y2 2 19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 ,过点 B(0,- a b 2 2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积. x2 解析: (1)易得椭圆方程为 +y2=1. 2 (2)∵F1(-1,0), ∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2, y=-2x-2 ? ?2 由?x 得 9x2+16x+6=0. 2 ? ? 2 +y =1 ∵Δ =162-4?9?6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点, 设为 C(x1,y1),D(x2,y2),

?x +x =- 9 则? 2 ?x ?x =3
1 2 1 2

16

∴|CD|= 1+ -2 = 5?

2

|x1-x2|= 5?

x1+x2

2

-4x1x2

?-16?2-4?2=10 2, ? 9? 3 9
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4 5 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= , 5 1 4 故 S△CDF2= |CD|?d= 10. 2 9 20.(本小题满分 12 分)三棱柱 ABC-A1B1C1,∠BCA=90°, 2,A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D,又知 BA1⊥AC1. (1)求证:AC1⊥平面 A1BC; (2)求二面角 A-A1B-C 的余弦值. 解析: (1)证明:如图, 设 A1D=t(>0),取 AB 的中点 E,则 DE∥BC,因为 BC⊥ 所以 DE⊥AC,又 A1D⊥平面 ABC,以 DE,DC,DA1 为 空间直角坐标系,则 A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0, → → AC1=(0,3,t),BA1=(-2,-1,t), → CB=(2,0,0), → → 由A1C?CB=0,知 A1C⊥CB, 又 BA1⊥AC1,BA1∩CB=B,从而 AC1⊥平面 A1BC; → → (2)由AC1?BA1=-3+t2=0,得 t= 3. → 设平面 A1AB 的法向量为 n=(x,y,z),AA1=(0,1, 3), → AB=(2,2,0), → ? ?n?AA1=y+ 3z=0 所以? ,设 z=1,则 n=( 3,- 3,1). → ? ?n?AB=2x+2y=0 再设平面 A1BC 的法向量为 m=(u,v,w), → → CA1=(0,-1, 3),CB=(2,0,0), → ? ?m?CA1=-v+ 3w=0 所以? ,设 w=1,则 m=(0, 3,1), → ? ?m?CB=2u=0 m?n 7 故 cos〈m,n〉= =- , 7 |m|?|n| 因为二面角 A-A1B-C 为锐角,所以可知二面角 A-A1B-C 的余弦值为 7 . 7 AC, x,y,z 轴建立 t),C1(0,2,t), AC = BC =

21.(本小题满分 12 分)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0,q:实数 x 满足 x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0,且?p 是?q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围. 解析: 设 A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)} ={x|3a<x<a(a<0)},
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B={x|q}={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0} ={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2} ={x|x<-4 或 x≥-2}. ∵?p 是?q 的必要不充分条件, ∴?q? ?p,且?p? / ?q, ∴{x|-4≤x<-2} {x|x≤3a 或 x≥a(a<0)},

? ? ?3a≥-2, ?a≤-4, 则? 或? ?a<0, ?a<0. ? ?

2 即- ≤a<0 或 a≤-4. 3 22.(本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB= 2AD,PD⊥底面 ABCD.

(1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 解析: (1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD, 由余弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD. (2)

如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 D-xyz, → → → 则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),P(0,0,1).AB=(-1, 3,0),PB=(0, 3,-1),BC=(-1,0,0), → ? ?n?AB=0, 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则? → ? ?n?PB=0.

?-x+ 3y=0, 即? ? 3y-z=0.
因此可取 n=( 3,1, 3).
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→ ? ?m?PB=0, 设平面 PBC 的法向量为 m,则? → ?m?BC =0. ? -4 2 7 可取 m=(0,-1,- 3),cos〈m?n〉= =- . 7 2 7 2 7 故二面角 A-PB-C 的余弦值为- . 7

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