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2014年全国高中联赛一试问题选讲


冲刺 2014 年全国高中联赛

2014 年全国高中联赛一试问题选讲
一试考试时间为 8:00—9:20,共 80 分钟,包括 8 道填空题(每题 8 分)和 3 道解答题(分别为 16 分、 20 分、20 分) ,满分 120 分. 二试考试时间为 9:40—12:10,共 150 分钟,包括 4 道解答题,涉及平面几何、代数、 数论、组合四个

方面.前两题每题 40 分,后两题每题 50 分,满分 180 分. 1、(全国联赛· 集合)已知 A 与 B 是集合{1,2,3,?,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同, 且 A∩B 为空集. 若 n∈A 时总有 2n+2∈B,则集合 A∪B 的元素个数最多为 解 (07 年全国联赛):先证|A∪B|≤66,只须证|A|≤33,为此只须证若 A 是{1,2,?,49}的任一个 34 元子集, 则必存在 n∈A,使得 2n+2∈A 且 2n+2∈B. 证明如下: 将{1,2,?,49}分成如下 33 个集合:{1,4},{3,8},{5,12},?,{23,48}共 12 个;{2,6},{10,22}, {14,30},{18,38}共 4 个;{25},{27},{29},?,{49}共 13 个;{26},{34},{42},{46}共 4 个. 由于 A 是{1,2,?,49}的 34 元子集,从而由抽屉原理可知上述 33 个集合中至少有一个 2 元集合中的两个数均 属于 A,即存在 n∈A,使得 2n+2∈A 且 2n+2∈B,与 A∩B 为空集矛盾. 如取 A={1,3,5,?,23,2,10,14,18,25,27,29,?,49,26,34,42,46},B={2n+2|n∈A}, 则 A、B 满足题设且|A∪B|≤66. 2、(北京· 集合与函数)函数 y= (2+x)(3-x)的定义域为集合 A,函数 y=lg(kx2+4x+k+3)的定义域为集合 B, 函数 y=lg(kx2+2x+k-6)的定义域为集合 C. ⑴当 B ? A 时,则 k 的取值范围为 ⑵当 A ? C 时,则 k 的取值范围为 解:⑴A=[-2,3] B={x| kx2+4x+k+3>0}.当 k≥0 时,显然不合题意. ∴k<0 设 f (x)=kx2+4x+k+3=0 的两根为 x1,x2(x1<x2) ,则 B=(x1,x2).由题意知-2≤x1<x2≤3 △=4(4-3k-k2)>0 f (-2)=5k-5≤0 3 ∴ f (3)=10k+15≤0 , 解得-4<k≤- 2 2 -2<- <3 k 6-2x ⑵由题意知,当-2≤x≤3 时,kx2+2x+k-6>0 恒成立,即 k> 2 对 x∈[-2,3]恒成立. x +1 6-t 6-2x 设 t=6-2x,t∈[0,10],则 x= . 当 t=0 时, 2 =0,当 t≠0 时, 2 x +1 6-2x 4t 4 4 1 40 =2 = ≤ = =3+ 10,当且仅当 t= 即 t=2 10时取等号. 2 40 t x +1 t +40-12t 40 10-3 t+ -12 2 t× -12 t t 6-2x 又 2 10∈[0,10],故 2 的最大值是 3+ 10 ∴k>3+ 10. x +1 ;

? ? ? ? ?

3、 (江苏高考· 函数)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形, (梯形的周长)2 记 S= 梯形的面积 ,则 S 的最小值是________. 解析:设剪成的小正三角形的边长为 x ,则 S ?

(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 ? ? (0 ? x ? 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2

4 (3 ? x) 2 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? ( ?2 x) ? ? (方法一)利用导数求函数最小值. S ( x) ? , S ?( x) ? 2 (1 ? x 2 ) 2 3 1? x 3 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) 4 ?2(3 x ? 1)( x ? 3) 1 ? ? ? ? , S ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1, x ? , 2 2 2 2 (1 ? x ) (1 ? x ) 3 3 3
当 x ? (0, ] 时, S ?( x) ? 0, 递减;当 x ? [ ,1) 时, S ?( x) ? 0, 递增;故当 x ?

1 3

1 3

32 3 1 时,S 的最小值是 . 3 3

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(方法二)利用函数的方法求最小值. 令 3 ? x ? t , t ? (2,3), ? ( , ) , 则S ?

1 t

1 1 3 2

32 3 4 t2 4 1 1 3 1 ,故当 ? , x ? 时,S 的最小值是 . ? 2 ? ? 3 t 8 3 3 ?t ? 6t ? 8 3 ? 8 ? 6 ?1 t2 t
.
2

4、 (10 湖南高考· 函数)已知函数 f (x)=x2+bx+c (b, c∈R)对任意的 x∈R,恒有 f '(x)≤f (x). 若对满足题设条件 的任意 b,c,不等式 f (c)-f (b)≤M(c2-b2)恒成立,则 M 的最小值为
2

解:f '(x)=2x+b,由 f '(x)≤f (x)得 x +(b-2)x+c-b≥0 恒成立,∴(b-2) -4(c-b)≤0 f (c)-f (b) c2-b2+bc-b2 c+2b b2 b2 从而 c≥ +1≥2 =|b|,当 c>|b|时,M≥ 2 = = 4 4 c -b2 c2-b2 c+b c+2b b 1 3 3 3 令 t= ,则-1<t<1, =2- < , ∴M≥ ∴M 的最小值为 c 2 2 c+b 1+t 2 3 当 c=|b|时,b=±2,c=2,此时 f (c)-f (b)=-8 或 0,c2-b2=0,从而 f (c)-f (b)≤ (c2-b2)恒成立 2 z z2 z3 7 5、 (复数)已知复数 z 满足 z =1,且 z≠1,则 + + = 1+z2 1+z4 1+z6 1+z2+z3+?+z6 z 解:∵1+z+z2+?+z6=0,∴ =-(1+z3+z4) 2=- 1+z 1+z2 z2 z3 z z2 z3 6 2 5 同理, =- (1 + z + z ) , =- (1 + z + z ). ∴ + + =-2 1+z4 1+z6 1+z2 1+z4 1+z6 6、 (不等式)设 a、b、c 大于 0,且 a+b+c=1,则 ab2c+abc2 的最大值为 1 1 3(a+b+c) 4 27 解:ab2c+abc2= (3a)(2b)(2c)(b+c)≤ ( )= 12 12 4 1024 7、 (不等式)对于任何满足 a1+a2+?+an≤an+1 的正数列{ai}都有 a1+ a2+?+ an≤k a1+a2+?+an, 则实数 k 的最小值是
n

22-1 - 解:设 ai=2i 1,则 a1+ a2+?+ an= ≤k a1+a2+?+an=k 2n-1 2-1
n

∴k≥

1 = = 2+1,下证 k 的最小值是 2+1 -n,当 n→∞时,k≥ 2-1 ( 2-1) 2 -1 ( 2-1) 1-2
n

22-1

1-2

n - 2

当 n=1 时 a1≤a2,有 a1≤( 2+1) a1成立 假设 n=i 时成立,则 a1+ a2+?+ ai+ ai+1≤( 2+1) ( 2+1) Si+ ai+1≤( 2+1) < = >2( 2+1) Siai+1≤(2+2 2)ai+1 < = > Si≤ai+1 Si+ ai+1, Si+ai+1 < = > (3+2 2)Si+2( 2+1) Siai+1+ai+1≤(3+2 2)(Si+ai+1) < = > a1+a2+?+ai≤ai+1

→→ 8、 (全国卷· 向量)已知圆 O 的半径为 1, PA、 PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点, 则 PA · PB 的最小值为________ 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法, 同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) ,∠APO= ? , 则∠APB= 2? , PO= 1 ? x , sin ? ?
2

A

1 1? x
2



O

P

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 2 2 PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x (1 ? 2sin ? ) = = 2 , x2 ? 1 x ?1 B ??? ? ??? ? x4 ? x2 4 2 2 令 PA ? PB ? y ,则 y ? 2 ,即 x ? (1 ? y ) x ? y ? 0 ,由 x 是实数, x ?1 2 2 所以 ? ? [?(1 ? y)] ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 . ??? ? ??? ? 2 ?1 . 故 ( PA ? PB) min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?
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2 ??? ? ??? ? ?? ? PA ? PB ? ? PA ?? PB ? cos ? ? ?1/ tan ? cos ? 【解析 2】设 ?APB ? ? ,0 ? ? ? ? , 2? ?

? ?? ?? ? 1 ? sin 2 ??1 ? 2sin 2 ? ? ? 2 ?? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ,换元 x ? sin 2 , 0 ? x ? 1 , ? ? ? ? ? ? 2? 2 sin 2 sin 2 2 2 ??? ? ??? ? ?1 ? x ??1 ? 2 x ? 1 PA ? PB ? ? 2x ? ? 3 ? 2 2 ? 3 x x
cos 2

?

【解析 3】建系:圆的方程为 x ? y ? 1,设 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), P( x0 , 0) ,
2 2

??? ? ??? ? 2 PA ? PB ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x1 ? x0 , ? y1 ? ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12

AO ? PA ? ? x1 , y1 ? ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? 0 ? x12 ? x1 x0 ? y12 ? 0 ? x1 x0 ? 1 ??? ? ??? ? 2 2 2 PA ? PB ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12 ? x12 ? 2 ? x0 ? ?1 ? x12 ? ? 2 x12 ? x0 ?3? 2 2 ?3
4 9、 (新疆预赛· 三角)已知△ ABC 的内切圆半径为 2,且 tanA=- ,求△ ABC 面积的最小值. 3 解: (09 新疆预赛):设 AB=c, BC=a, AC=b,D 为切点,可知: A 1 4 2AD+2a=a+b+c 得 AD= (b+c-a),由 tanA=- ,可得 tan∠DAO=2, 2 3 D 4 1 1 所以 DO=b+c?a=2,sinA= . S△ ABC= bc· sinA= (a+b+c)· 2 5 2 2 O 2 即: bc=2(b+c)?2,所有 bc=5(b+c)?5≥10 bc?5 5 B 设 bc=t,则知:t2?10t+5≥0,所以 t≥5+2 5或 t≤5?2 5(舍) 2 故 bc≥45+20 5,所以 S△ ABC= bc≥18+8 5,b=c=5+2 5时取等号. 故△ ABC 面积的最小值为 18+8 5. 5 10、 (湖南永州· 三角)方程 x sin(x ) ? 2 ? 0 在区间[0,20]内有
2

C

个实根.

解(07 湖南永州) :设 y ? 所以 x ?

x sin(x ) . 当 y ? 0 时,方程的解为 x ? k? ? [0, 20], k ? Z ,
2

k? (k ? 0, 1, 2, ?, 127 ) 共有 128 个根. 当 x ? 2 时, y ? x sin(x 2 ) 的图象才有可能与 y ? 2 的图

象相交,所以 x ? 4 又 5? ? 4, 6? ? 4 ,当 x ? [ 6? ,

7? ] 时, x s in(x 2 ) ? 0 函数 y ? x s in(x 2 ) 在

[ 6? , 7? ] 上,其图象从点 ( 6? , 0) 开始递增,再递减回到点 ( 7? , 0) ,
且 y max ?

6? ?

?
2

? sin[( 6? ?

?
2

)2 ] ?

6? ?

?
2

?2

故在区间 [ 6? ,

7? ] 内,方程 x sin(x 2 ) ? 2 ? 0 有两个实根.

同理,在区间 [ 8? , 根,故共有 122 个根.

9? ] , [ 10? , 11? ] ,?, [ 128? , 127 ? ] 内,方程 x sin(x 2 ) ? 2 ? 0 均有两个实
2

综上所述,在区间 [0, 20] 内,方程 x sin(x ) ? 2 ? 0 共有 122 个根. π 11.(四川卷· 三角)设函数 f(x)=2x-cosx,{an}是公差为 的等差数列,f(a1)+f(a2)+?+f(a5)=5π, 8 则[f(a3)]2-a1a5=____________ π π π π [解析] 设 a3=α,则 a1=α- ,a2=α- ,a4=α+ ,a5=α+ ,由 f(a1)+f(a2)+?+f(a5)=5π, 4 8 8 4 π π π π α- ?+cos?α- ?+cosα+cos?α+ ?+cos?α+ ?=5π, 得 2×5α-cos? ? 4? ? 8? ? 8? ? 4? π 即 10α-( 2+ 2+ 2+1)cosα=5π. 当 0≤α≤π 时,左边是 α 的增函数,且 α= 满足等式; 2 当 α>π 时,10α>10π,而( 2+ 2+ 2+1)cosα<5cosα≤5,等式不可能成立; 当 α<0 时,10α<0,而-( 2+ 2+ 2+1)cosα<5,等式也不可能成立. π π 13 π α- ??α+ ?= π2. 故 a3=α= . [f(a3)]2-a1a5=π2-? ? 4?? 4? 16 2
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an 21 12、 (辽宁高考· 数列)已知数列{an}满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 的最小值为_________ n 2 2 2 x y 13、 (全国联赛· 解几)已知椭圆 + =1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 ,点 P 在直线 l: x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 上. 16 4 |PF1| 3 ?1. 当 ?F1 PF2 取最大值时, = |PF2| 解: (06 全国联赛)由平面几何知,要使 ?F1 PF2 最大,则过 F1 , F2 ,P 三点的圆必定和直线 l 相切于 P 点. 设直线 l 交 x 轴于 A (?8 ? 2 3, 0) ,则 ?APF1 ? ?AF2 P ,即 ?APF1 ? ?AF2 P ,即
2

PF1 PF2

?

AP AF2

??①

又由圆幂定理, AP ? AF1 ? AF2 ??②,而 F1 (?2 3, 0) , F2 (2 3, 0) ,A (?8 ? 2 3, 0) ,从而有 AF1 ? 8 ,

AF2 ? 8 ? 4 3 .代入①,②得

PF1 PF2

?

AF1 AF2

?

8 8? 4 3

? 4 ? 2 3 ? 3 ?1 .

14、(江西高考· 立几)在三棱锥 O?ABC 中,三条棱 OA, OB, OC 两两垂直且 OA>OB>OC, 分别经过三条棱 OA, OB, OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1, S2, S3, 则 S1, S2, S3 的大小关系为________________ S3 ? S2 ? S1 15、 (立几)一球外接于四面体 ABCD,半径为 1 的另一个球与平面 ABC 相切,且两球内切于 D 点. 4 1 已知 AD=3,cos∠BAC= ,cos∠BAD=cos∠CAD= . 则四面体 ABCD 的的体积为 5 2 解:首先证明四面体 ABCD 的高 DH 为另一个球的一条直径. 3 如图,设 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,则 AE=AF=AD cos∠BAD= 2 1+cos∠BAC 3 = ,∴AH= 5,故 DH=2 2 10 ∴四面体的外接球心在 DH 上,有 AD=BD=CD cos∠HAE= AC=AB=2AE=3 2. S△ABC= 27 5 18 ∴V= 5 (0, 6+ 2) D

A E

F H B

C

16、 (辽宁高考· 立几)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根 铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值 范围是

17、 (天津高考· 计数)如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色,要求每个点 涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法用 解析:本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想,属于难题. ① B, D, E, F 用四种颜色,则有 A4 ?1?1 ? 24 种涂色方法;
4



② B, D, E, F 用三种颜色,则有 A4 ? 2 ? 2 ? A4 ? 2 ?1? 2 ? 192 种涂色方法;
3 3

③ B, D, E, F 用两种颜色,则有 A4 ? 2 ? 2 ? 48 种涂色方法;所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法.
2

18、 (浙江高考· 计数)有 4 位同学在 同一天的上、下午参加 “身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “ 肺活量” 、 “握力” 、 “台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复. 若上午不测“握力”项目,下午不测 “台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有__________________种(用数字作答). 解析:本题主要考察了排列与组合的相关知识点,突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察,属较难题 解:为了便于说明不妨设“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “ 肺活量” 、 “握力” 、 “台阶”五个项目记为 a, b, c, d, e, 由题意,上午测试 a, b, c, e, 且每位学生各测试一项,共有 A4 种,下午测试 a, b, c, d, 且每位学生也各测试一项, 但上午测试过 a, b, c 的学生, 不能重复测试: 分成第一种情形上午测试过 a, b, c 的学生, 下午仍测试 a, b, c 项目, 但不重复有 2 种测试方法(相当于 3 个元素的禁位排列数) ,剩下的一位学生测试 d;第二种情形:上午测试过 a, b, c 的学生中有一位测试 d,有 C 3 ? 3 种. 由分步计数原理得共有 A4 ? (2 ? C3 ? 3) ? 264
1 4 1

4

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x2 y2 19、 (卓越联盟· 解几)椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,P 为椭圆 C1 上任 a b ?? 意一点,且PF1· PF2最大值的取值范围是[c2,3c2],其中 c= a2-b2. ⑴求椭圆 C1 的离心率 e 的取值范围; ⑵设双曲线 C2 以椭圆 C1 的焦点为顶点, 顶点为焦点, B 是双曲线 C2 在第一象限上任意一点, 当 e 取得最小值时, 试问是否存在常数 λ(λ>0),使得∠BAF1=λ∠BF1A 恒成立?若存在求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.
2 2 2 解: ⑴设 P ? x , y ? , 又 F1 ? ?c, 0 ? , F2 ? c, 0 ? , ∴ PF1 ? ? ?c ? x,