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浙江省杭州市建德市严州中学2015届高三上学期1月月考数学(文)试卷


2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高三(上)1 月月 考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的. 1.若 P={x|x≤1},Q={y|y≥﹣1},则( ) A. P? Q B. ? RP? Q C. P∩Q=? 2.下列选项一定正确的是(
2 2


D. P∪(? RQ)=R

) ,则 a>b ,则 a>b

A. 若 a>b,则 ac>bc B. 若 C. 若 a >b ,则 a>b D. 若

3.设 b、c 表示两条直线,α、β表示两个平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 c∥α,α⊥β,则 c∥β. B. 若 b? α,b∥c,则 c∥α. C. 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则α⊥β D. 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则α⊥β 4.把函数 y=f(x)所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,图象上所有点向右 平行移动 个单位长度,得到 y=sinx(x∈R) ,则函数 y=f(x)的表达式( ) ,x∈R B. y=sin( + ) ,x∈R D. y=sin(2x+ ) ,x∈R ) ,x∈R )

A. y=sin(2x+ C. y=sin(2x﹣

5.已知数列{an}是等差数列,若 a9+a12>0,a10? a11<0,且数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值, 那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于( ) A. 17 B. 19 C. 20 D. 21

6.若 0<x<

,则 xtanx>1 是 xsinx>1 的(



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两 条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A. 3 B. C. D. 2
2 2

8.已知 a>0,b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与 C2

的离心率之积为 A. x±

,则 C2 的渐近线方程为(



y=0 B.

x±y=0 C. x±3y=0 D. 3x±y=0

二、填空题:本大题共 7 小题,每空 3 分,共 36 分. 9.偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(﹣1)=



10.设θ为第二象限角,若

,则 sinθ+cosθ=



11.已知某个多面体的三视图(单位 cm)如图所示,则此多面体的体积是

cm .

3

12. (1)当实数 x,y 满足

时,1≤x+ay≤5 恒成立,则实数 a 的取值范围




2 2

(2)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 是 .
*

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离

2

13.已知数列{an}的通项公式 an=log2

(n∈N ) ,设数列{an}的前 n 项的和为 Sn,则使 Sn

<﹣5 成立的正整数 n 的最小值为 (2)已知命题: “在等差数列{an}中,若 4a2+a10+a()=24,则 S11 为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得 括号内的数为 . 14.在△ABC 中, (1)若点 P 在△ABC 所在平面上,且满足 = + ,则 = .

(2)若点 G 为△ABC 重心,且(56sinA) B= .

+(40sinB)

+(35sinC)

=0,则∠

(3)若点 O 为△ABC 的外心,AB=2m,AC= (m>0) ,∠BAC=120°,且 为实数) ,则 x+y 的最小值是 .

=x

+y

(x,y

15.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1,BC 的中点, (1)直线 MN 与平面 BDD1B1 所成角的余弦值为 (2)则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影的面积为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acosB+bcosA=2ccosC, (1)求角 C 的值; (2)若△ABC 的面积为 S= c,且 a+b=2c,求边长 c 的值.

17.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣1(n∈N ) , (1)求 an; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+b3+…+bn,若 Tm+bm﹣1> 成立,求正整数 m 的最大值.

*

18.如图,矩形 ACMP 和菱形 ABCD 所在的平面互相垂直,点 N 为 PM 的中点, (1)证明:直线 CN∥平面 PBD (2)若 AP=AB,∠BAD=120°,求直线 MC 与平面 PBD 所成角的正切值.

19.已知函数 f(x)=|x ﹣a|﹣ax+1(a∈R) (1)当 a<0 时,f(x)在[﹣2,﹣1]上是单 调函数 (1)求实数 a 的取值范围; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值 M(a) 20.已知抛物线 y =4x,直线 l:y=kx+2(k>0)与抛物线 C 交于 M、N 两点,与 x 轴交于点 A,H 为 MN 的中点,O 为坐标原点. (1)判断直线 OH 与直线 2x﹣y﹣2 =0 是否平行,并说明理由; (2)设点 Q 在 x 轴上,记以 QM、QN 为邻边的棱形面积为 S1,三角形 AHQ 的面积为 S2, 的取值范围.
2

2

2014-2015 学年浙江省杭州市建德市严州中学高三(上) 1 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的. 1.若 P={x|x≤1},Q={y|y≥﹣1},则( ) A. P? Q B. ? RP? Q C. P∩Q=? D. P∪(? RQ)=R

考点: 集合的包含关系判断及应用;补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据已知中 P={x|x≤1}, Q={y|y≥﹣1}, 结合集合包含的定义及集合的交并补运算, 逐一判断四个答案的正误,可得结论. 解答: 解:∵P={x|x≤1}=(﹣∞,1],Q={y|y≥﹣1}=[﹣1,+∞) , ∴A 中,P? Q 错误; B 中,? RP=(1,+∞)? Q 正确, C 中,P∩Q=[﹣1,1]≠? ,错误; P∪(? RQ)=(﹣∞,1]∪(﹣∞,﹣1)=P≠R,错误; 故选:B 点评: 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合的交并补运算,难度不大, 属于基础题. 2.下列选项一定正确的是(
2 2

) ,则 a>b ,则 a>b

A. 若 a>b,则 ac>bc B. 若 C. 若 a >b ,则 a>b D. 若

考点: 专题: 分析: 解答:

命题的真假判断与应用. 综合题;简易逻辑. 通过举反例说明选项 A,C,D 错误,由不等式的可乘积性说明 B 正确. 解:对于 A,a>b,若 c=0,则 ac=bc,选项 A 错误; ,则
2 2

对于 B,若

,即 a>b,选项 B 正确;

对于 C, (﹣3) >2 ,﹣3<2,选项 C 错误; 对于 D, ,﹣2<2,选项 D 错误.

故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查了不等式的性质,举反例说明一个命题是假 命题是常用的方法,是中档题. 3.设 b、c 表示两条直线,α、β表示两个平面,下列命题中正确的是( )

A. 若 c∥α,α⊥β,则 c∥β. B. 若 b? α,b∥c,则 c∥α. C. 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则α⊥β D. 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则α⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 c∥α,α⊥β,则 c 与β相交、平行或 c? β,故 A 错误; 若 b? α,b∥c,则 c∥α或 c? α,故 B 错误; 若 b∥α,c⊥β,b∥c,则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β,故 C 正确; 若 b∥α,c⊥β,b⊥c,则α与β相交或平行,故 D 错误. 故选:C. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 4.把函数 y=f(x)所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,图象上所有点向右 平行移动 个单位长度,得到 y=sinx(x∈R) ,则函数 y=f(x)的表达式( ) ,x∈R B. y=sin( + ) ,x∈R D. y=sin(2x+ ) ,x∈R ) ,x∈R )

A. y=sin(2x+ C. y=sin(2x﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 按照三角函数关系进行逆推即可得到结论. 解答: 解:将 y=sinx 图象上所有点向左平行移动 ∈R, 然后把函数 y=f (x) 所有点的横坐标缩短到原来的 倍 (纵坐标不变) , 得到 y=sin (2x+ x∈R, 故 y=f(x)的表达式是 y=sin(2x+ ) ,x∈R, ) , 个单位长度,得到 y=sin(x+ ) ,x

故选:A 点评: 本题主要考查函数解析式的求解, 根据三角函数图象之间的关系是解决本题的关键. 5.已知数列{an}是等差数列,若 a9+a12>0,a10? a11<0,且数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值, 那么当 Sn 取得最小正值时,n 等于( ) A. 17 B. 19 C. 20 D. 21 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和求和公式可得 a10>0,a11<0,又可得 S19=19a10>0,而 S20=10 (a10+a11)<0,进而可得 Sn 取得最小正值时 n 等于 19.

解答: 解:∵a9+3a11<0,∴由等差数列的性质可得 a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2(a11+a10)<0, 又 a10? a11<0,∴a10 和 a11 异号, 又∵数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值, ∴数列{an}是递减的等差数列, ∴a10>0,a11<0, ∴S19=19a10>0 ∴S20=10(a1+a20)=10(a9+a12)>0 ∴Sn 取得最小正值时 n 等于 20 故选:C 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.

6.若 0<x<

,则 xtanx>1 是 xsinx>1 的(



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 0<x< 即可判断出. 解答: 解:∵0<x< 反之不成立,取 x= ,∴tanx>sinx>0,∴xsinx>1? xtanx>1, 即可判断出. ,可得 tanx>sinx>0,于是 xsinx>1? xtanx>1,反之不成立,取 x=

因此 xtanx>1 是 xsinx>1 的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定,属于基础题. 7.已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x +y ﹣2y=0 的两 条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( ) A. 3 B. C. D. 2
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 先求圆的半径,四边形 PACB 的最小面积是 2,转化为三角形 PBC 的面积是 1,求出 切线长,再求 PC 的距离也就是圆心到直线的距离,可解 k 的值. 解答: 解:圆 C:x +y ﹣2y=0 的圆心(0,1) ,半径是 r=1, 由圆的性质知:S 四边形 PACB=2S△PBC,四边形 PACB 的最小面积是 2, ∴S△PBC 的最小值=1= rd(d 是切线长)∴d 最小值=2
2 2

圆心到直线的距离就是 PC 的最小值, ∵k>0,∴k=2 故选 D. 点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,点到直线的距离公式等知识,是中档题.

8.已知 a>0,b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与 C2

的离心率之积为 A. x±

,则 C2 的渐近线方程为(



y=0 B.

x±y=0 C. x±3y=0 D. 3x±y=0

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出 a、b 关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 解答: 解:a>b>0,椭圆 C1 的方程为 + =1,C1 的离心率为: ,

双曲线 C2 的方程为



=1,C2 的离心率为:



∵C1 与 C2 的离心率之积为




2

?

= ,



∴( ) = ,即有 = C2 的渐近线方程为:y=

x,即 x±

y=0.

故选:A. 点评: 本题考查椭圆与双曲线的基本性质,离心率以及渐近线方程的求法,基本知识的考 查. 二、填空题:本大题共 7 小题,每空 3 分,共 36 分. 9.偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(﹣1)=

3 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和对称性的性质,得到 f(x+4)=f(x) ,即可得到结论. 解答: 解:法 1:因为偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以 f(2+x)=f(2﹣x)=f(x﹣2) ,

即 f(x+4)=f(x) , 则 f(﹣1)=f(﹣1+4)=f(3)=3, 法 2:因为函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以 f(1)=f(3)=3, 因为 f(x)是偶函数, 所以 f(﹣1)=f(1)=3, 故答案为:3. 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性 f(x+4) =f(x)是解决本题的关键,比较基础.

10.设θ为第二象限角,若

,则 sinθ+cosθ= ﹣



考点: 两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 压轴题;三角函数的求值. 分析: 已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简,求出 tanθ 的值,再根据θ为第二象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinθ与 cosθ的值, 即可求出 sinθ+cosθ的值. 解答: 解:∵tan(θ+ ∴tanθ=﹣ , )= = ,

而 cos θ= ∵θ为第二象限角, ∴cosθ=﹣ =﹣

2

=



,sinθ=

=



则 sinθ+cosθ= 故答案为:﹣



=﹣



点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌 握公式是解本题的关键.
3

11.已知某个多面体的三视图(单位 cm)如图所示,则此多面体的体积是

cm .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知该几何体以俯视图为底面,有一侧面垂直于底面的三棱锥,高为 2, 利用锥体体积公式计算即可. 解答: 解:由三视图可知该几何体是以俯视图为底面,有一侧面垂直于底面的三棱锥,高 为 2, 所以 V= × ×2×2×2= . 故答案为: . 点评: 本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何 体是解题的关键.

12. (1)当实数 x,y 满足

时,1≤x+ay≤5 恒成立,则实数 a 的取值范围是

[0, ]


2 2

(2)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 是 6 .

+y =1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离

2

考点: 椭圆的简单性质;简单线性规划;圆的标准方程. 专题: 不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由约束条件作出可行域,再由 1≤x+ay≤5 恒成立,结合可行域内特殊点 A,B, C 的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数 a 的取值范围; (2)求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出 P,Q 两点间的最大距离. 解答: 解: (1)由约束条件作可行域如图, 联立 ,解得 C(1, ) .

联立

,解得 B(2,1) .

在 x﹣y﹣1=0 中取 y=0,得 A(1,0) . 要使 1≤x+ay≤5 恒成立,



,解得:0≤a≤ .

∴实数 a 的取值范围是[0, ]. (2)设椭圆上的点为(x,y) , ∵圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 , ∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为 = = ≤5 , + =6 .
2 2

∴P,Q 两点间的最大距离是 5 故答案为: (1) (2)

点评: 本题考查线性规划,以及椭圆、圆的方程,考查了数形结合的解题思想方法,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题.
*

13.已知数列{an}的通项公式 an=log2

(n∈N ) ,设数列{an}的前 n 项的和为 Sn,则使 Sn

<﹣5 成立的正整数 n 的最小值为 63 (2)已知命题: “在等差数列{an}中,若 4a2+a10+a ()=24,则 S11 为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的 数为 18 . 考点: 数列递推式;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)由 an=log2 ,解出即可.

(n∈N ) ,利用对数的运算法则可得:

*

<﹣5,化为

(2)设 4a2+a10+am=24,则 3a2+a2+a10+am=24,由于 S11= a6 为定值,3a2+a2+a10+am=24 化为 3a2+2a6+am=24,即 3a2+am= =6,解出即可. 解答: 解: (1)∵an=log2 ∴数列{an}的前 n 项的和为 Sn= = Sn<﹣5 即 ∴ 解得 n>62, ∴使 Sn<﹣5 成立的正整数 n 的最小值为 63. (2)设 4a2+a10+am=24,则 3a2+a2+a10+am=24, ∵S11= =11a6 为定值, , <﹣5, = (n∈N ) , + . +…+
*

=11a6 为定值,可得 ,因此

∴a6 为定值, ∴3a2+a2+a10+am=24 化为 3a2+2a6+am=24, ∴3a2+am=4a1+(m+3﹣1)d= ∴ =6, ,

解得 m=18. 可推得括号内的数为 18. 故答案分别为:63;18. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式性质、对数的运算性质、恒成立 问题的等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 14.在△ABC 中, (1)若点 P 在△ABC 所在平面上,且满足 = + ,则 = 2 .

(2) 若点 G 为△ABC 重心, 且 (56sinA) + (40sinB) + (35sinC) =0, 则∠B= 60° .

(3)若点 O 为△ABC 的外心,AB=2m,AC= (m>0) ,∠BAC=120°,且 为实数) ,则 x+y 的最小值是 2 .

=x

+y

(x,y

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的加法与减法运算把 = + 中的向量转化为含有 的

向量,则

可求;

(2)利用正弦定理把(56sinA)

+(40sinB)

+(35sinC)

= 中的三角函数转化为

边,再由点 G 为三角形的重心,根据中线的性质及向量加法法则转化为(112a﹣40b﹣35c) +(﹣56a﹣40b+70c) = ,由系数等于 0 且令 c=56 求得 a、b 的值,代入余弦定理求

得∠B=60°; (3)以 A 为原点,以 AB 所在的直线为 x 轴,建立直角系,则 A(0,0) ,B (2a,0) ,C(﹣ ) ,解得△ABC 的外心 O 再由基本不等式求得 x+y 的最小值是 2. 解答: 解: (1)点 P 在△ABC 所在平面上,且满足 则 即 ∴ , ,即 , , = + , ,由条件 =x +y 求得 x,y 的值,



,则

=2;

(2)∵(56sinA)

+(40sinB)

+(35sinC)

= ,

设三角形的边长顺次为 a,b,c,根据正弦定理得: 56a +40b +35 = ,

由点 G 为三角形的重心,根据中线的性质及向量加法法则得: 3 = + ,3 = + ,3 = , )+35( )= ,

代入上式得:56a( 又

)+40b(

,上式可化为:

56a(2

+

)+40b(

)+35c(﹣ +(﹣56a﹣40b+70c) ,

)= , = ,

即(112a﹣40b﹣35c) 则有

令 c=56,解得:



∴cosB= ∵B∈(0,180°) , ∴∠B=60°; (3)如图:

=



以 A 为原点,以 AB 所在的直线为 x 轴,建立直角系. 则 A(0,0) ,B (2a,0) ,C(﹣ ) ,

∵O 为△ABC 的外心,∴O 在 AB 的中垂线 m:x=a 上,又在 AC 的中垂线 n 上, AC 的中点 ∴中垂线 n 的方程为 ,AC 的斜率为 tan120°= . ,

把直线 m 和 n 的方程联立方程组



解得△ABC 的外心 O 由条件 得 =x +y ,



=x(2a,0)+y(﹣ ,

)=(2ax﹣ ,

) ,





解得 x=

,y=



∴x+y=

+

=



=2.

当且仅当 a=1 时取等号. ∴x+y 的最小值是 2. 故答案为: (1)2; (2)60°; (3)2. 点评: 本题考查了平面向量基本定理及其意义,考查了正弦定理与余弦定理的应用,考查 了计算能力,是中档题. 15.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 BB1,BC 的中点, (1)直线 MN 与平面 BDD1B1 所成角的余弦值为 (2)则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影的面积为 .

考点: 直线与平面所成的角;平行投影及平行投影作图法. 专题: 空间角. 分析: (1)利用正方体的性质得到 AC 的对交面的垂线,由此得到 NQ 为对角面的垂线,得 到线面角;然后求值; (2)只要找到三个顶点的投影即找到平面的投影. 解答: 解: (1)因为已知是正方体,连接 AC,容易得到 AC⊥平面 BDD1B1,M、N 分别是 BB1, BC 的中点, 过 N 作 NQ∥AC,则 NQ⊥平面 BDD1B1,所以直线 MN 与平面 BDD1B1 所成的角为∠NMQ; 其中 MN= ,NQ= ,所以 MQ= ,所以直线 MN 与平面 BDD1B1 所成角的余弦值为 ;

(2)图中阴影部分 MND 在平面 ADD1A1 上的投影为 EFD 的面积,其中 E,F 分别是 AA1,AD 的 中点,所以其面积为 如图 ;

故答案为: (1)

. (2)

点评: 本题考查了正方体中线面角的求法以及图形的投影;关键是要有较好的空间想象能 力. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 acosB+bcosA=2ccosC, (1)求角 C 的值; (2)若△ABC 的面积为 S= c,且 a+b=2c,求边长 c 的值.

考点: 余弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦,进而利用两角和公式化 简整理求得 cosC,进而求得 C. (2)根据余弦定理求得 a 和 b 的关系式,通过三角形的面积求出 abc 的关系,结就求出 c 即可. 解答: (本题满分 14 分) 解: (1)由题意得 sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC, 即 sinC=2sinCcosC,故 cosC= ,所以 C= (2)△ABC 的面积为 S= c= = . ,ab=c

cosC= =
2 2 2



所以 ab=a +b ﹣c . 2 2 2 2 由 a+b=2c,可得 a +b +2ab=4c ,即 ab=c , ∴c=1. 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用,正弦定理的应用,两角和公式的化简求值.综合 考查了学生的基础知识的掌握.

17.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣1(n∈N ) , (1)求 an; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+b3+…+bn,若 Tm+bm﹣1> 成立,求正整数 m 的最大值.

*

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 Sn=2an﹣1,得 Sn﹣1=2an﹣1﹣1(n≥2) ,S1=a1=2a1﹣1,从而{an}是首项为 1, n﹣1 公比为 2 的等比数列,由此能求出 an=2 . (2)由 bn= 数 m 的最大值. 解答: 解: (1)∵数列{an}的前 n 项和 Sn=2an﹣1(n∈N ) ,① ∴Sn﹣1=2an﹣1﹣1(n≥2) ,② ①﹣②,得:an=2an﹣2an﹣1, 整理,得 an=2an﹣1, 又 S1=a1=2a1﹣1,解得 a1=1, ∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, n﹣1 ∴an=2 . (2)∵bn= ∴Tn=b1+b2+b3+…+bn= = = ,
*

=

=

,得 Tn=1﹣

,从而

,由此能求出正整

=

=1﹣



∵Tm+bm﹣1> ∴

成立, ,即
*



解得 m<6,∵m∈N ,∴正整数 m 的最大值是 5. 点评: 本题主要考查数列的通项公式的求法、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比 数列等基础知识, 考查抽象概括能力, 推理论证能力, 运算求解能力, 考查化归与转化思想、 函数与方程思想. 18.如图,矩形 ACMP 和菱形 ABCD 所在的平面互相垂直,点 N 为 PM 的中点, (1)证明:直线 CN∥平面 PBD (2)若 AP=AB,∠BAD=120°,求直线 MC 与平面 PBD 所成角的正切值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连结 AC、BD,交于点 O,连结 OP,通过四边形 OCNP 为平行四边形,及线面平 行的判定定理即得结论; (2) 易得∠MCN 即为直线 MC 与平面 PBD 所成角的平面角. 在 Rt△MCN 中, 利用 tan∠MCN= 计算即可. 解答: (1)证明:连结 AC、BD,交于点 O,连结 OP, 则 O 为 AC 的中点, 又∵四边形 ACMP 为矩形,点 N 为 PM 的中点, ∴PN∥OC,PN=OC, ∴四边形 OCNP 为平行四边形, ∴NC∥OP, ∴直线 CN∥平面 PBD; (2)解:根据题意易得∠MCN 即为直线 MC 与平面 PBD 所成角的平面角. ∵AP=AB,∠BAD=120°, ∴AC=AB=PA, 又由(1)可得 MN= AC,MC=AC, ∴在 Rt△MCN 中,tan∠MCN= = .

点评: 本题考查空间中线面平行的判定,考查求线面角的三角函数值,注意解题方法的积 累,属于中档题.

19.已知函数 f(x)=|x ﹣a|﹣ax+1(a∈R) (1)当 a<0 时,f(x)在[﹣2,﹣1]上是单 调函数 (1)求实数 a 的取值范围; (2)求 f(x)在[0,1]上的最大值 M(a) 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 a<0,得到 f(x)=x ﹣ax﹣a+1,求其对称轴,根据 f(x)在[﹣2,﹣1] 上是单调函数即可求得 a 的取值范围; (2)为去绝对值,所以讨论 a 的取值:分成 a≤0,0<a<1,a≥1 三种情况,根据二次函 数的单调性即可求出每种情况下的 f(x)的最大值,从而可最后写出最大值 M(a) . 解答: 解: (1)a<0 时,f(x)=x ﹣ax﹣a+1; 该函数对称轴为 x= ; ∵f(x)在[﹣2,﹣1]上是单调函数; ∴ ,或 ;
2 2

2

∴a≤﹣4,或﹣2≤a<0; ∴a 的取值范围为(﹣∞,﹣4]∪[﹣2,0) ; (2)①若 a≤0,f(x)=x ﹣ax﹣a+1; 对称轴为 x= ; ∴函数 f(x)在[0,1]上单调递增; ∴此时,f(x)的最大值为 f(1)=2﹣2a; ②若 0<a<1; x∈[0, x∈[ )时,f(x)=﹣x ﹣ax+a+1,f(x)在[0, ]时,f(x)=x ﹣ax﹣a+1,对称轴
2 2 2

)单调递减,最大值为 f(0)=a+1; ,f(x)在[ ,1]上单调递增,最

大值为 f(1)=2﹣2a; a+1﹣(2﹣2a)=3a﹣1; ∴0<a 时,a+1≤2﹣2a,∴此时 f(x)的最大值为 2﹣2a; 时,a+1>2﹣2a,∴f(x)的最大值为 a+1; ③若 a≥1,f(x)=﹣x ﹣ax+a+1,f(x)在[0,1]上单调递减,所以 f(x)的最大值为 f (0)=a+1;
2

∴综上得 M(a)=



点评: 考查二次函数的对称轴,二次函数的单调性,含绝对值函数的处理方法:去绝对值, 根据二次函数的单调性求其最大值.

20.已知抛物线 y =4x,直线 l:y=kx+2(k>0)与抛物线 C 交于 M、N 两点,与 x 轴交于点 A,H 为 MN 的中点,O 为坐标原点. (1)判断直线 OH 与直线 2x﹣y﹣2 =0 是否平行,并说明理由; (2)设点 Q 在 x 轴上,记以 QM、QN 为邻边的棱形面积为 S1,三角形 AHQ 的面积为 S2, 的取值范围.

2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点 H(x0,y0) .把直线与抛物线方程 联立化为 k x +(4k﹣4)x+4=0,由于△>0,可得 标,kOH= ,利用 kOH=2 解出并判定即可得出.
2 2

.利用中点坐标公式可得 H 坐

(2)由(1)可得 H

,利用弦长公式可得

|MN|=

=

.利用菱形的性

质可得 QH⊥l.可得直线 QH 的方程为

=﹣

,可得

Q

.利用点到直线的距离公式可得|QH|=

.S1=|MN|?

|QH|=

.S2=

yH.即可得出

=

=f

(k).

.利用导数研究函数的单调性即可得出.

解答: 解: (1)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点 H(x0,y0) . 联立 ,化为 k x +(4k﹣4)x+4=0,
2 2

△>0,16(k﹣1) ﹣16k >0,解得

2

2



x1+x2=

=2x0,

∴x0=



= ,

∴kOH= 当

, ,解得 k= ,不满足△>0, =0 不平行. ,

因此直线 OH 与直线 2x﹣y﹣2 (2)由(1)可得 H

|MN|=

=

=



∵点 Q 是菱形的一个顶点,∴QH⊥l. ∴ .

∴直线 QH 的方程为

=﹣



令 y=0,可得 x=



∴Q



∴|QH|=

=



∴S1=|MN|? |QH|=



|QA|=



∴S2=

yH=

=





=

=f(k).



∴f′(k)=

<0.

∴函数 f(k)单调递减,∴



∴0<f(k)<2. 点评: 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、 弦长公式、 点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、菱形的面积计算公式,考查了利用导数研究 函数的单调性极值,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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