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2017优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第八章第6讲知能训练轻松闯关


x2 y2 1.双曲线 - =1 的两条渐近线的方程为________. 16 9 x2 y2 3 解析:令 - =0,解得 y=± x. 16 9 4 3 答案:y=± x 4 x2 y2 2.(2016· 惠州一调改编)双曲线 - =1 的焦距为________. 3 2 解析:由双曲线定义易知 c2=5. 答案:2 5 x2 3.双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离为

________. 4 x2 x 解析:双曲线 -y2=1 的渐近线方程为 y=± ,即 x±2y=0,所以双曲线的顶点(± 2, 4 2 0)到其渐近线距离为 2 5 答案: 5 x2 y2 5 4.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为________. a b 2 2 2 c2 a +b b2 5 b2 1 解析:因为 e2= 2= 2 =1+ 2= ,所以 2= , a a a 4 a 4 2 2 5 = . 5 5 b 1 1 所以 = ,所以 y=± x. a 2 2 1 答案:y=± x 2 x2 y2 5. (2016· 江苏省模拟考试)双曲线 2- 2=1 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离 a b 的一半,则双曲线的离心率 e 为________. 解析:双曲线的渐近线方程为 bx± ay=0,它的右焦点为(c,0),从而右焦点到渐近线的 a+c |bc| 2 2 2 2 2 距离为 d= 2 2=b= 2 ,即 2 c -a =a+c,故 3c -2ac-5a =0,从而 3e -2e-5 a +b 5 =0,解得 e= 或-1(舍去). 3 5 答案: 3 x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= 2,则一条渐近线与实轴所成锐角 a b 的值是________. c2 解析:因为 e= 2,所以 e2=2,即 2=2,又 c2=a2+b2, a b2 b 所以 2=1, 即 =1, a a π 所以一条渐近线与实轴所成锐角的值是 . 4 π 答案: 4 x2 y2 7.设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使 a b 9 得 PF1+PF2=3b,PF1·PF2= ab,则该双曲线的离心率为________. 4 解析:由双曲线的定义得|PF1-PF2|=2a,又 PF1+PF2=3b,所以(PF1+PF2)2-(PF1 -PF2)2=9b2-4a2,即 4PF1·PF2=9b2-4a2,又 4PF1·PF2=9ab,因此 9b2-4a2=9ab, b?2 9b 1 b 4?b ?3b ??3b ? ? 即 9? ?a? - a -4=0,则? a +1?? a -4?=0,解得a=3?a=-3舍去?,则双曲线的离心率 e = b?2 5 1+? ?a? =3. 5 答案: 3 x2 y2 8.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支 a b 上,且 PF1=4PF2,则双曲线的离心率 e 的最大值为________. 解析:设∠F1PF2=θ, PF = a, ?PF -PF =2a, ? 3 ? 由? 得? 由余弦定理得 2 ?PF =4PF , ? ?PF =3a, 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 PF2 17 9 1+PF2-F1F2 17a -9c cos θ= = = - e2. 8a2 8 8 2PF1·PF2 8 17

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