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广东省肇庆四中2015-2016学年高二上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年广东省肇庆四中高二(上)第二次月考数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若直线 l 经过原点和点 A(﹣2,﹣2) ,则它的斜率为( A.﹣1 B.1 C.1 或﹣1 D.0



2.已知直线 l1 经过两点(﹣1,﹣2) 、 (﹣1,4) ,直线 l2 经过两点(

2,1) 、 (x,6) ,且 l1 ∥l2,则 x=( ) A.2 B.﹣2 C.4 D.1 3.过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( ) A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0 4.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )

A.108cm

3

B.100cm

3

C.92cm

3

D.84cm

3

5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 6.圆(x+2) +y =5 关于 y 轴对称的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A.x +(y+2) =5 B.x +(y﹣2) =5 C. (x﹣2) +y =5 2 =5
2 2 2 2 2 2

D. (x﹣2) +(y﹣2)

2

7.经过两圆 x +y =9 和(x+4) +(y+3) =8 的交点的直线方程为( A.8x+6y+13=0 B.6x﹣8y+13=0 C.4x+3y+13=0 D.3x+4y+26=0



8.不论 k 为何实数,直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)=0 恒通过一个定点,这个定 点的坐标是( ) A. (5,2) B. (2,3) C. (5,9) D. (﹣ ,3)

9.已知直线 l1:x+my+6=0,l2: (m﹣2)x+3y+2m=0,若 l1∥l2,则实数 m 的值是( A.3 B.﹣1,3 C.﹣1 D.﹣3 10.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 有两个公共点,则点 P(a,b)与圆的位置关系是( A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能 11.若直线 x﹣y=2 被圆(x﹣a) +y =4 所截得的弦长为 A.﹣1 或 B.1 或 3 C.﹣2 或 6 D.0 或 4 12.已知直线 l:y=x+m 与曲线 y= A. (﹣2,2) B. (﹣1,1)
2 2 2 2





,则实数 a 的值为(



有两个公共点,则实数 m 的取值范围是( C.[1, ) D. (﹣ , )



二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.如果点 P 在 z 轴上,且满足|PO|=1(O 是坐标原点) ,则点 P 到点 A(1,1,1)的距离 是 .

14.已知斜率为 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 的直线方程是
2 2



15.当动点 P 在圆 x +y =2 上运动时,它与定点 A(3,1)连线的中点 Q 的轨迹方程 是 . 16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且仅有四个点到直线 12x﹣5y+c=0 的 距离为 1,则实数 c 的取值范围是 .
2 2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 3 17.一个长、宽、高分别是 80cm、60cm、55cm 的水槽中有水 200000cm ,现放入一个直径 为 50cm 的木球, 且木球的三分之二在水中, 三分之一在水上, 那么水是否会从水槽中流出?

18.在平面直角坐标系中,有三个点的坐标分别是 A(﹣4,0) ,B(0,6) ,C(1,2) . (1)证明:A,B,C 三点不共线;

(2)求过 A,B 的中点且与直线 x+y﹣2=0 平行的直线方程; (3)求过 C 且与 AB 所在的直线垂直的直线方程. 19.已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,﹣2) ,且圆心 C 在 直线 L:x﹣y+1=0 上,求圆 C 的标准方程. 20.如图,PA⊥平面 ABCD,矩形 ABCD 的边长 AB=1,BC=2,E 为 BC 的中点. (1)证明:PE⊥DE; (2)如果 PA=2,求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小.

21.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,E 为 DD1 的中点. (1)求证:BD1∥平面 EAC; (2)求点 D1 到平面 EAC 的距离.

22.已知直线 l:4x+3y+10=0,半径为 2 的圆 C 与 l 相切,圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的上 方 (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 P(1,1)的直线 l1 被圆 C 截得的弦长等于 2 ,求直线 l1 的方程; (3)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A,B 两点(A 在 x 轴上方) ,问在 x 轴正半轴上 是否存在点 N,使得 x 轴平分∠ANB?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理 由.

2015-2016 学年广东省肇庆四中高二(上)第二次月考数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若直线 l 经过原点和点 A(﹣2,﹣2) ,则它的斜率为( ) A.﹣1 B.1 C.1 或﹣1 D.0 【考点】斜率的计算公式. 【专题】计算题. 【分析】把原点坐标(0,0)和点 A 的坐标(﹣2,﹣2)一起代入两点表示的斜率公式 k= ,即可得到结果.

【解答】解:根据两点表示的斜率公式得:k=

=

=1,

故选 B. 【点评】本题考查用两点表示的斜率公式得应用,注意公式中各量所代表的意义,体现了代 入的思想. 2.已知直线 l1 经过两点(﹣1,﹣2) 、 (﹣1,4) ,直线 l2 经过两点(2,1) 、 (x,6) ,且 l1 ∥l2,则 x=( ) A.2 B.﹣2 C.4 D.1 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系. 【分析】根据条件可知直线 l1 的斜率不存在,然后根据两直线平行的得出 x 的值. 【解答】解:∵直线 l1 经过两点(﹣1,﹣2) 、 (﹣1,4) , ∴直线 l1 的斜率不存在 ∵l1∥l2 直线 l2 经过两点(2,1) 、 (x,6) , ∴x=2 故选:A. 【点评】本题考查了两直线平行的条件,同时考查斜率公式,属于基础题. 3.过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( ) A.x﹣2y+7=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y﹣5=0 D.2x+y﹣5=0 【考点】直线的一般式方程;两条直线平行的判定. 【专题】计算题. 【分析】由题意可先设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 再由直线过点(﹣1,3) ,代入可求 c 的值,进而可求直线的方程 【解答】解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7

∴x﹣2y+7=0 故选 A. 【点评】 本题主要考查了直线方程的求解, 解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的 直线方程 x﹣2y+c=0. 4.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )

A.108cm B.100cm C.92cm D.84cm 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】立体几何. 【分析】由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为 4,4,3 的一个三棱锥(长方体的一个角) .据此即可得出体积. 【解答】解:由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3,砍去一个三条侧棱长分 别为 4,4,3 的一个三棱锥(长方体的一个角) . ∴该几何体的体积 V=6×6×3﹣ 故选 B. =100.

3

3

3

3

【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 5.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n ②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之 间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 【专题】证明题;压轴题;空间位置关系与距离. 【分析】根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行 的性质结合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个 平面的两条直线不一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正 确.由此可得本题的答案. 【解答】解:对于①,因为 n∥α,所以经过 n 作平面 β,使 β∩α=l,可得 n∥l, 又因为 m⊥α,l?α,所以 m⊥l,结合 n∥l 得 m⊥n.由此可得①是真命题; 对于②,因为 α∥β 且 β∥γ,所以 α∥γ,结合 m⊥α,可得 m⊥γ,故②是真命题; 对于③,设直线 m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 α 是正方体下底面所在的平面, 则有 m∥α 且 n∥α 成立,但不能推出 m∥n,故③不正确; 对于④,设平面 α、β、γ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面, 则有 α⊥γ 且 β⊥γ,但是 α⊥β,推不出 α∥β,故④不正确. 综上所述,其中正确命题的序号是①和② 故选:A 【点评】本题给出关于空间线面位置关系的命题,要我们找出其中的真命题,着重考查了线 面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 6.圆(x+2) +y =5 关于 y 轴对称的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 A.x +(y+2) =5 B.x +(y﹣2) =5 C. (x﹣2) +y =5 D. (x﹣2) +(y﹣2) 2 =5 【考点】关于点、直线对称的圆的方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】求出关于 y 轴对称的圆的圆心坐标为(2,0) ,半径还是 2,从而求得所求的圆的 方程. 【解答】解:已知圆关于 y 轴对称的圆的圆心坐标为(2,0) ,半径不变,还是 2, 2 2 故对称圆的方程为(x﹣2) +y =5, 故选:C. 【点评】本题主要考查求圆的标准方程,求出关于 y 轴对称的圆的圆心坐标为(2,0) ,是 解题的关键,属于基础题. 7.经过两圆 x +y =9 和(x+4) +(y+3) =8 的交点的直线方程为( ) A.8x+6y+13=0 B.6x﹣8y+13=0 C.4x+3y+13=0 D.3x+4y+26=0 【考点】圆系方程. 【专题】计算题;函数思想;直线与圆. 【分析】利用圆系方程,求解即可. 2 2 2 2 【解答】 解: 联立 x +y =9 和 (x+4) + (y+3) =8, 作差可得: 8x+6y+26=0, 即 6x﹣8y+13=0. 故选:B. 【点评】本题考查圆系方程的应用,考查计算能力. 8.不论 k 为何实数,直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)=0 恒通过一个定点,这个定 点的坐标是( )
2 2 2 2 2 2

A. (5,2) B. (2,3) C. (5,9) D. (﹣ ,3) 【考点】恒过定点的直线. 【专题】计算题. 【分析】 直线方程即 k (2x+y﹣1) + (﹣x+3y+11) =0, 一定经过 2x﹣y﹣1=0 和﹣x﹣3y+11=0 的交点,联立方程组可求定点的坐标. 【解答】解:直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)=0 即 k(2x﹣y﹣1)+(﹣x﹣3y+11)=0, 根据 k 的任意性可得 ,解得 ,

∴不论 k 取什么实数时,直线(2k﹣1)x+(k+3)y﹣(k﹣11)=0 都经过一个定点(2,3) . 故选 B 【点评】本题考查经过两直线交点的直线系方程形式,直线 k(ax+by+c)+(mx+ny+p)=0 表示过 ax+by+c=0 和 mx+ny+p=0 的交点的一组相交直线,但不包括 ax+by+c=0 这一条. 9.已知直线 l1:x+my+6=0,l2: (m﹣2)x+3y+2m=0,若 l1∥l2,则实数 m 的值是( A.3 B.﹣1,3 C.﹣1 D.﹣3 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】直线与圆. 【分析】直接利用两直线平行对应的系数关系列式求得 m 的值. 【解答】解:∵l1:x+my+6=0,l2: (m﹣2)x+3y+2m=0, 若 l1∥l2,则 ,解得:m=﹣1. 故选:C. 【点评】 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系, 关键是对两直线系数所满足关系 的记忆,是基础题. 10.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 有两个公共点,则点 P(a,b)与圆的位置关系是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能 【考点】点与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 2 2 【分析】由于直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 有两个公共点,可得圆心(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d<r.利用点到直线的距离公式和点与圆的位置关系判定即可得出. 2 2 【解答】解:∵直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 有两个公共点, ∴圆心(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d<r. ∴ ,化为 .
2 2



∴点 P(a,b)在圆的外部. 故选:B.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和点与圆的位置关系,属于 中档题. 11.若直线 x﹣y=2 被圆(x﹣a) +y =4 所截得的弦长为 A.﹣1 或 B.1 或 3 C.﹣2 或 6 D.0 或 4 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】计算题.
2 2

,则实数 a 的值为(



【分析】由圆的方程,得到圆心与半径,再求得圆心到直线的距离,由 解. 2 2 【解答】解:∵圆(x﹣a) +y =4 ∴圆心为: (a,0) ,半径为:2 圆心到直线的距离为:



∵ 解得 a=4,或 a=0 故选 D. 【点评】本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用,是常考题型,属中档题.

12.已知直线 l:y=x+m 与曲线 y=

有两个公共点,则实数 m 的取值范围是(



A. (﹣2,2) B. (﹣1,1) C.[1, ) D. (﹣ , ) 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】画出图象,当直线 l 经过点 A,C 时,求出 m 的值;当直线 l 与曲线相切时,求出 m.即可. 【解答】解:画出图象,当直线 l 经过点 A,C 时,m=1,此时直线 l 与曲线 y= 两个公共点; 当直线 l 与曲线相切时,m= 因此当 故选 C. 有

. 有两个公共点.

时,直线 l:y=x+m 与曲线 y=

【点评】正确求出直线与切线相切时的 m 的值及其数形结合等是解题的关键.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.如果点 P 在 z 轴上,且满足|PO|=1(O 是坐标原点) ,则点 P 到点 A(1,1,1)的距离 是 或 . 【考点】空间两点间的距离公式. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】设 P(0,0,z) ,由于|OP|=1,可得 的距离公式即可得出|PA|. 【解答】解:设 P(0,0,z) ,∵|OP|=1,∴ ∴|PA|= 或 ,即|z|=1,解得 z=±1. . ,即|z|=1,解得 z.再利用两点间

故答案为: 或 . 【点评】本题考查了空间中的两点间的距离公式,属于基础题.

14.已知斜率为 且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4 的直线方程是 y= 【考点】直线的截距式方程. 【专题】直线与圆. 【分析】设直线的方程为 y= 得

±2 .

+m,分别令 x=0,y=0,可得 A(0,m) ,B(﹣2m,0) .可

=4,解出即可. +m,

【解答】解:设直线的方程为 y=

分别令 x=0,y=0,可得 A(0,m) ,B(﹣2m,0) . ∵ 解得 m=±2. ∴直线方程为:y= 故答案为:y= ±2. ±2, =4,

【点评】本题考查了直线的方程及其应用、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能 力,属于基础题. 15. 当动点 P 在圆 x +y =2 上运动时, 它与定点 A (3, 1) 连线的中点 Q 的轨迹方程是 (2x 2 2 ﹣3) +(2y﹣1) =2 . 【考点】轨迹方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】根据已知,设出中点 Q 的坐标(x,y) ,根据中点坐标公式求出点 P 的坐标,根据 2 2 点 P 在圆 x +y =2 上,代入圆的方程即可求得中点 Q 的轨迹方程. 【解答】解:设中点 Q(x,y) ,则动点 P(2x﹣3,2y﹣1) ,
2 2

∵P 在圆 x +y =2 上, 2 2 ∴(2x﹣3) +(2y﹣1) =2, 2 2 故答案为: (2x﹣3) +(2y﹣1) =2. 【点评】此题是个基础题.考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式,体现了数形结合的思想 以及分析解决问题的能力. 16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且仅有四个点到直线 12x﹣5y+c=0 的 距离为 1,则实数 c 的取值范围是 (﹣13,13) . 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】求出圆心,求出半径,圆心到直线的距离小于 1 即可. 【解答】解:圆半径为 2, 圆心(0,0)到直线 12x﹣5y+c=0 的距离小于 1,即 ,
2 2

2

2

c 的取值范围是(﹣13,13) . 【点评】考查圆与直线的位置关系. (圆心到直线的距离小于 1,此时 4 个,等于 3 个,等 于 1,大于 1 是 2 个. )是有难度的基础题. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 3 17.一个长、宽、高分别是 80cm、60cm、55cm 的水槽中有水 200000cm ,现放入一个直径 为 50cm 的木球, 且木球的三分之二在水中, 三分之一在水上, 那么水是否会从水槽中流出?

【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题. 【分析】根据长方体的体积公式求出水槽的体积,再根据球的体积公式求出木球的体积,结 合题意, 根据水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和与水槽的体积比较, 即可确定答 案. 【解答】解:∵水槽是一个长、宽、高分别是 80cm、60cm、55cm 的长方体, 根据长方体的体积公式可得,水槽的容积为 V 水槽=80×60×55=264000(cm ) , ∵木球的三分之二在水中, ∴木球在水中部分的体积为 又∵水槽中有水 200000cm , ∴水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和为 (cm ) , ∴V<V 水槽, 故水不会从水槽中流出.
3 3 3

(cm ) ,

3

【点评】本题考查了长方体的体积公式,考查了球体的体积公式,解题的关键是抓住水槽中 水的体积与木球在水中部分的体积之和与水槽的体积之间的关系.属于中档题. 18.在平面直角坐标系中,有三个点的坐标分别是 A(﹣4,0) ,B(0,6) ,C(1,2) . (1)证明:A,B,C 三点不共线; (2)求过 A,B 的中点且与直线 x+y﹣2=0 平行的直线方程; (3)求过 C 且与 AB 所在的直线垂直的直线方程. 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】 (1)利用斜率计算公式分别计算出 KAB,KAC,即可判断出; (2)利用中点坐标公式、点斜式即可得出; (3)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出. 【解答】解: (1)∵ , ,

∴KAB≠KAC, ∴A,B,C 三点不共线. (2)∵A,B 的中点坐标为 M(﹣2,3) , 直线 x+y﹣2=0 的斜率 k1=﹣1, 所以满足条件的直线方程为 y﹣3=﹣(x+2) ,即 x+y﹣1=0 为所求. (3)∵ ,∴与 AB 所在直线垂直的直线的斜率为 ,

所以满足条件的直线方程为

,即 2x+3y﹣8=0.

【点评】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、三点共线与 斜率之间的关系,考查了计算能力,属于基础题. 19.已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,﹣2) ,且圆心 C 在 直线 L:x﹣y+1=0 上,求圆 C 的标准方程. 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】设圆心坐标为 C(a,a+1) ,根据 A、B 两点在圆上利用两点的距离公式建立关于 a 的方程,解出 a 值.从而算出圆 C 的圆心和半径,可得圆 C 的方程. 【解答】解:∵圆心在直线 x﹣y+1=0 上, ∴设圆心坐标为 C(a,a+1) , 根据点 A(1,1)和 B(2,﹣2)在圆上,可得 = 解之得 a=﹣3 ∴圆心坐标为 C(﹣3,﹣2) ,半径 r=5 ,

因此,此圆的标准方程是(x+3) +(y+2) =25. 【点评】本题给出圆 C 满足的条件,求圆的方程.着重考查了两点间的距离公式和圆的标 准方程等知识,属于基础题. 20.如图,PA⊥平面 ABCD,矩形 ABCD 的边长 AB=1,BC=2,E 为 BC 的中点. (1)证明:PE⊥DE; (2)如果 PA=2,求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小.

2

2

【考点】直线与平面垂直的判定;异面直线及其所成的角. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)首先利用勾股定理的逆定理证明 DE⊥AE,及 PA⊥平面 ABCD,根据三垂线 定理即可证明 PE⊥DE; (2)取 PA 的中点 M,AD 的中点 N,连 MC、NC、MN、AC.利用三角形的中位线定理 可知∠MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小.再利用余弦定理即 可得出. 【解答】 (1)证明:连接 AE,由 AB=BE=1,得 ,同理 , 2 2 2 ∴AE +DE =4=AD ,由勾股定理逆定理得∠AED=90°,∴DE⊥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,DE?平面 ABCD,根据三垂线定理可得 PE⊥DE. (2)取 PA 的中点 M,AD 的中点 N,连 MC、NC、MN、AC. ∵NC∥AE, MN∥PD, ∴∠MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小. 由 PA=2,AB=1,BC=2,得 . ∴异面直线 PD 与 AE 所成的角的大小为 . , ,∴ ,

【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、三角形的 中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理是解题的关键. 21.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 a,E 为 DD1 的中点.

(1)求证:BD1∥平面 EAC; (2)求点 D1 到平面 EAC 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)欲证 BD1∥平面 EAC,只需在平面 EAC 内找一条直线 BD1 与平行,根据中位 线定理可知 EF∥D1B,满足线面平行的判定定理所需条件,即可得到结论; (2)设 D1 到平面 EAC 的距离为 d,根据 可求出点 D1 到平面 EAC 的距离. 【解答】解: (1)证明:连接 BD 交 AC 于 F,连 EF. (1 分) 因为 F 为正方形 ABCD 对角线的交点, 所长 F 为 AC、BD 的中点. (3 分) 在 DDD1B 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点, 所以 EF∥D1B. (5 分) 又 EF?平面 EAC,所以 BD1∥平面 EAC. (7 分) (2)设 D1 到平面 EAC 的距离为 d. 在 DEAC 中,EF^AC,且 所以 于是 因为 又 解得 ,即 ,故 D1 到平面 EAC 的距离为 , (13 分) . (14 分) , . (9 分) , (11 分) , , 建立等式关系可求出 d,即

【点评】 本题主要考查了线面平行的判定以及点到平面距离的度量, 同时考查了空间想象能 力,转化能力和计算求解的能力,属于中档题. 22.已知直线 l:4x+3y+10=0,半径为 2 的圆 C 与 l 相切,圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的上 方 (1)求圆 C 的方程; (2)设过点 P(1,1)的直线 l1 被圆 C 截得的弦长等于 2 ,求直线 l1 的方程; (3)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A,B 两点(A 在 x 轴上方) ,问在 x 轴正半轴上 是否存在点 N,使得 x 轴平分∠ANB?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理 由.

【考点】直线和圆的方程的应用. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (1)设出圆心 C 坐标,根据直线 l 与圆 C 相切,得到圆心到直线 l 的距离 d=r,确 定出圆心 C 坐标,即可得出圆 C 方程; (2)根据垂径定理及勾股定理,由过点 P(1,1)的直线 l1 被圆 C 截得的弦长等于 2 , 分直线 l1 斜率存在与不存在两种情况求出直线 l1 的方程即可; (3) 当直线 AB⊥x 轴, 则 x 轴平分∠ANB, 当直线 AB 斜率存在时, 设直线 AB 方程为 y=k (x﹣1) ,联立圆与直线方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理表示出两 根之和与两根之积,由若 x 轴平分∠ANB,则 kAN=﹣kBN,求出 t 的值,确定出此时 N 坐 标即可. 【解答】解: (1)设圆心 C(a,0) (a>﹣ ) , ∵直线 l:4x+3y+10=0,半径为 2 的圆 C 与 l 相切, ∴d=r,即
2

=2,
2

解得:a=0 或 a=﹣5(舍去) , 则圆 C 方程为 x +y =4; (2)由题意可知圆心 C 到直线 l1 的距离为 =1,

若直线 l1 斜率不存在,则直线 l1:x=1,圆心 C 到直线 l1 的距离为 1; 若直线 l1 斜率存在,设直线 l1:y﹣1=k(x﹣1) ,即 kx﹣y+1﹣k=0, 则有 =1,即 k=0,此时直线 l1:y=1,

综上直线 l1 的方程为 x=1 或 y=1; (3)当直线 AB⊥x 轴,则 x 轴平分∠ANB, 当直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 方程为 y=k(x﹣1) ,N(t,0) ,A(x1,y1) ,B(x2, y2) , 联立得:
2 2


2 2

消去 y 得: (k +1)x ﹣2k x+k ﹣4=0, ∴x1+x2= ,x1x2= ,

若 x 轴平分∠ANB, 则 kAN=﹣kBN, 即

+

=0,

+

=0,

整理得:2x1x2﹣(t+1) (x1+x2)+2t=0,即



+2t=0,

解得:t=4, 当点 N(4,0) ,能使得∠ANM=∠BNM 总成立. 【点评】此题考查了直线与圆的方程的应用,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理,圆的标 准方程,点到直线的距离公式,以及斜率的计算,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.


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