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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第五节 数列的综合应用课件 理 新人教A版


第五节

数列的综合应用

[典例 ]

(2013· 全国卷Ⅱ )已知等差数列 {an}的公差不为

零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2.

由此建立关于 公差d的方

程.




等差数列{an}中,a1,a4,a7,···,a3n-2成等差数列吗?

[解 ]

(1)设{an}的公差为 d,由题意得 a2 11=a1a13.

即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去)或 d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31, 故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. n n 从而 Sn= 2(a1+a3n-2)=2(-6n+56)=-3n2+28n.

[类题通法]
解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数 列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比 数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果 两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两个数 列分割开,弄清两个数列各自的特征,再进行求解.

[针对训练]

在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比 q>0,设 bn=log2an, 且 b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an.

解:(1)证明:∵bn=log2an, an+1 ∴bn+1-bn=log2 a =log2q 为常数, n ∴数列{bn}为等差数列且公差 d=log2q.

(2)设数列{bn}的公差为 d,∵b1+b3+b5=6,∴b3=2. ∵a1>1,∴b1=log2a1>0. ∵b1b3b5=0,∴b5=0.
? ?b1+2d=2, ∴? ? ?b1+4d=0, ? ?b1=4, 解得? ? ?d=-1.

n?n-1? 9n-n2 ∴Sn=4n+ 2 ×(-1)= 2 .
? ?log2q=-1, ∵? ? ?log2a1=4,

1 ? ?q= , 2 ∴? ? ?a1=16.

∴an=25-n(n∈N*).

[典例]

某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增

加一倍, 并且每年年底固定给股东们分红 500 万元. 该企业 2010 年年底分红后的资金为 1 000 万元.

(1)求该企业 2014 年年底分红后的资金;
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元. 思



企业分红后的资金构成什么数列? 每年给股东分红资金构成什么数列?

[解]

设 an 为(2010+n)年年底分红后的资金,

其中 n∈N*, 则 a1=2×1 000-500=1 500, a2=2×1 500-500=2 500,?,an=2an-1-500(n≥2). ∴an-500=2(an-1-500)(n≥2), 即数列{an-500}是首项为 a1-500=1 000, 公比为 2 的等比 数列. ∴an-500=1 000×2n-1, ∴an=1 000×2n-1+500.

(1)a4=1 000×24-1+500=8 500, ∴该企业 2014 年年底分红后的资金为 8 500 万元. (2)由 an>32 500,即 2n 1>32,得 n>6,


∴该企业从 2017 年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元.

[类题通法] 解数列应用题的建模思路

从实际出发,通过抽象概括建立数学模型,通过对模型的 解析,再返回实际中去,其思路框图为:

[针对训练]

某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的 价值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价 值为上年初的 75%.则第 n 年初 M 的价值 an=________.
解析:当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120, 公差为-10 的等差数列, an=120-10(n-1)=130-10n; 当 n≥7 时,数列{an}是以 a6 为首项,

3 4为公比的等比数列, 又 a6=70,所以
?3?n-6 an=70×?4? . ? ?

? ?130-10n,n≤6, ?3?n-6 答案:an=? 70×?4? ,n≥7 ? ? ? ?

数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命 题,近年由于对数列要求降低,但仍有一些省份在考查数列与 其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有:

?1?数列与不等式的交汇;
?2?数列与函数的交汇; ?3?数列与解析几何的交汇.

1 1.(2014· 湖北七市模拟)数列{an}是公比为2的等比数列,且 1-a2 是 a1 与 1+a3 的等比中项,前 n 项和为 Sn;数列{bn}是等差数 列, b1=8, 其前 n 项和 Tn 满足 Tn=nλ· bn+1(λ 为常数, 且 λ≠1).

角度一

数列与不等式的交汇

(1)求数列{an}的通项公式及 λ 的值;

1 1 1 1 1 (2)比较T +T +T +?+T 与2Sn 的大小. 1 2 3 n
解:(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1),
? ?1 ? 1 ?2 即?1-2a1? =a1?4a1+1?, ? ? ? ?

1 解得 a1=2,
?1?n ∴an=?2? . ? ?

设{bn}的公差为 d,
? ?T1=λb2, 又? ? ?T2=2λb3, ? ?8=λ?8+d?, 即? ? ?16+d=2λ?8+2d?,

1 ? ? ?λ= , ?λ=1, 1 2 ? 解得? 或 (舍),∴λ=2. ? ?d=0 ? d = 8 ?

(2)由(1)知

?1?n Sn=1-?2? , ? ?

1 1 ?1?n+1 1 ∴2Sn=2-?2? ≥4, ? ? 1 ? 1 1 1?1 又 Tn=4n +4n,T = =4?n-n+1?, 4n?n+1? ? ? n
2



1 1 1 ∴T +T +?+T
1 2

n

?1 1 ?? 1?? 1? ?1 1? =4??1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?? ? ? ? ?? ? ??

1 ? 1 1? =4?1-n+1?<4, ? ? 1 1 1 1 由①②可知T +T +?+T <2Sn. 1 2 n



[类题通法]
数列与不等式相结合问题的处理方法
解决数列与不等式的综合问题时,如果是证明题要灵活选 择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等; 如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法,如列表法、 因式分解法、穿根法等.总之解决这类问题把数列和不等式的 知识巧妙结合起来综合处理就行了.

角度二

数列与函数的交汇

x 2.(2012· 安徽高考)设函数 f(x)=2+sin x 的所有正的极小值点 从小到大排成的数列为{xn}.

(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)设{xn}的前 n 项和为 Sn,求 Sn.

1 解:(1)令 f′(x)=2+cos x=0, 1 2π 得 cos x=-2,解得 x=2kπ± 3 (k∈Z). 由 xn 是 f(x)的第 n 个正极小值点知, 2π xn=2nπ- 3 (n∈N*). 2 2nπ (2)由(1)可知,Sn=2π(1+2+?+n)-3nπ=n(n+1)π- 3 .

角度三

数列与解析几何的交汇

3.在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 y2- 1 x =1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上,其
2

中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{bn}是等比数列;

解:(1)由已知点 An 在 y2-x2=1 上知,an+1-an=1, ∴数列{an}是一个以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列. ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.

1 (2)证明:∵点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上, 1 ∴Tn=-2bn+1. 1 ∴Tn-1=-2bn-1+1(n≥2), 1 1 ①②两式相减得 bn=-2bn+2bn-1(n≥2), 3 1 1 ∴2bn=2bn-1,∴bn=3bn-1. 1 令 n=1,得 b1=-2b1+1, 2 ∴b1=3, 2 1 ∴{bn}是一个以3为首项,以3为公比的等比数列. ① ②

[课堂练通考点]

1.(2013· 安徽“江南十校”高三联考)已知正项等差数列{an}满 足:an+1+an-1=a2 n (n≥2) ,等比数列 {bn} 满足: bn+ 1bn- 1 = 2bn(n≥2),则 log2(a2+b2)= A.-1 或 2 C. 2 B. 0 或 2 D. 1 ( )

解析:由题意可知,an+1+an-1=2an=a2 n, 解得 an=2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数), 又 bn+1bn-1=b2 n=2bn(n≥2), 所以 bn=2(n≥2),log2(a2+b2)=log24=2.

答案:C

2.已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),an+1= an ? ? ,当an为偶数时, ?2 若 a6=1,则 m 所有可 ? ?3an+1,当an为奇数时. 能的取值为 A.{4,5} C.{4,5,32} B.{4,32} D.{5,32} ( )

an ? ? ,当an为偶数时, 解析 : an + 1 = ? 2 ? ?3an+1,当an为奇数时,

注意 递推 的条 件 是

an(而不是 n)为偶数或奇数. 由 a6=1 一直往前面推导可得 a1=4 或 5 或 32.

答案:C

3.(2013· 武汉武昌联考)在等差数列{an}中,a1=2,a3=6,若将 a1,a4,a5 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数 列,则所加的这个数为________.

a3-a1 解析:由题意知等差数列{an}的公差 d= 2 =2,则 a4=8, a5=10,设所加的数为 x,依题意有(8+x)2=(2+x)(10+x), 解得 x=-11.

答案:-11

4.(2013· 江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一 天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的 最少天数 n(n∈N*)等于________.

解析:设每天植树的棵数组成的数列为{an}, 由题意可知它是等比数列,且首项为 2,公比为 2, 2?1-2n? 所以由题意可得 ≥100,即 2n≥51, 1-2 而 25=32,26=64,n∈N*,所以 n≥6.
答案:6

5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2,数列{bn}为等比 数列,且首项 b1=1,b4=8.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足 cn=abn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

解:(1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2, ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 当 n=1 时,a1=S1=1 亦满足上式, 故 an=2n-1(n∈N*).

又数列{bn}为等比数列,设公比为 q, ∵b1=1,b4=b1q3=8,∴q=2. ∴bn=2n-1(n∈N*). (2)cn=abn=2bn-1=2n-1. Tn=c1+c2+c3+?+cn=(21-1)+(22-1)+?+(2n-1)
n 2 ? 1 - 2 ? 1 2 n =(2 +2 +?+2 )-n= -n. 1-2

所以 Tn=2n+1-2-n.


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