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云南省玉溪一中2015届高三上学期第二次月考数学(文) Word版含答案


玉溪一中高 2015 届高三上学期第二次月测 文 科 数 学

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,集合 A={x| 2 x >1} ,B={x|-4<x<1} ,则 A∩B 等于 A.(0,1) B.(1,+ ? ) C.(一 4,1) D.(一 ? ,

一 4)

2.如右图,在复平面内,复数 z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B , 则

z1 ? z2
1 2 ? i 3 3 1 2 C. ? i 5 5

y 2 A 1 2 B x

1

A.

1 2 B. ? ? i 3 3 1 2 D. ? ? i 5 5
2

-2

-1

O -1 -2

3.若 a ? 2x , b ? log 1 x ,则“ a ? b ”是“ x ? 1 ”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

4.已知向量 m 、 n 满足 | m |? 2 , | n |? 3 , | m ? n |? 17 ,则 m ? n ? A. ? 7 5.设首项为 1 ,公比为 A. S n ? 2an ? 1 B. ?1 C. ?2 D. ?4

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 3

B. S n ? 3an ? 2

C. S n ? 4 ? 3an

D. S n ? 3 ? 2an

6.一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边 三角形, 且该几何体的四个点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐 标分别是(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),则第 五个顶点的坐标可能为 A. (1,1,1) B. (1,1, 2) C. (1,1, 3) D. (2, 2, 3)

7.一平面截一球得到直径为 2 5 cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则

第 1 页 共 11 页

该球的体积是 A.12 ? cm3 D. 108? cm3 8.右边程序运行后,输出的结果为 A.
2011 2012
i=1 s=0 p=0 WHILE i<=2013 p=i*(i+1) s=s+1/p i=i+1 WEND PRINT s END

B. 36 ? cm3

C



64 6?

cm3

B.

2012 2013

C.

2013 2014

D.

2014 2015

?x ? y ? 0 ? 9.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 则 z ? x ? 3 y 的最 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

小值为 A.1 B. 2 C. 3 D .4

10. 抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于 A, B 两点, 其中 A 点的坐标是 (1, 2) .该抛物线的焦点为 F,则 | FA | ? | FB |? A. 7 11.函数 f ( x) ?
y

B. 3 5
ln | x | 的图像可能是 x
y

C. 6

D.5

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

12.已知点 A(0,?1) ,点 B 在圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 2 上运动,则直线 AB 斜率的取 值范围是 A. [?
3 3 , ] 3 3

B.

(??,?

3 3 ] ? [ ,??) 3 3

C.

[- 3, 3 ]

D.

(??,? 3] ? [ 3,??)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数 1、 2、3、4、5、6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于 12 的概率为
第 2 页 共 11 页

.

14.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a11 ? 3a6 ? 4 ,则 S11 ?

.

? x ? 2s ? 1 ? x ? at 15. 在平面直角坐标系中, (s 为参数)和直线 l2 : ? (t 若直线 l1 : ? ?y ? s ? y ? 2t ? 1
为参数)平行,则常数 a 的值为_____ . 16. 已知 f ( x) ?| log 2 x | ,正实数 m, n 满足 m ? n ,且 f (m) ? f (n) ,若 f ( x) 在区间

?m , n?上的最大值为 2,则 m ? n =_______。
2

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ?
x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围。

18. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ,设向 量 m ? (a, b) , n ? (sin A, cosB) , p ? (1,1). (1)若 m / / n, 求角 B 的大小; (2)若 m ? p ? 4 ,边长 c ? 2 ,角 C ?

? , 求 ?ABC 的面积. 3

19. ( 本小题满分 12 分 ) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直棱柱, AB ? AC , 点 M 、N 分别是 A1B 和 B1C1 的中点。 AB ? AC ? AA 1 ?2, (1)求证: MN // A1 ACC1 ; (2)求点 B 到平面 ACM 的距离。
M

A1 B1 N

C1

A B
第 3 页 共 11 页

C

20. (本小题满分 12 分) 有 A、B、C、D、E 五位工人参加技能竞赛培训.现分别 从 A、 B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩 中随机抽取 8 次.用右侧茎叶图表示这两组数 据: (1) A、 B 二人预赛成绩的中位数分别是多少? (2)现要从 A、B 中选派一人参加技能竞赛, 从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位 工人参加合适?请 说明理由; (3)若从参加培训的 5 位工人中选 2 人参加技能竞赛,求 A、B 二人中至少有一 人参加技能竞赛的概率. 0 A 5 0 3 5 0 2 5 7 8 9 9 8 5 B 8 4 3 2 1

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? 2x2 ? 3x (1)求曲线 y ? f ( x) 在点(1,f (1))处的切线方程; (2)当 x ≥1 时,若关于 x 的不等式 f (x) ≥ ax 恒成立,求实数 a 的取值范围;

22. (本小题满分 12 分) 如图,设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为
l ,过准线 l 上一点 M (?1, 0) 且斜率为 k 的直线 l1 交抛物线 C 于 A , B 两点,线段
AB 的中点为 P ,直线 PF 交抛物线 C 于 D , E 两点.

(1)求抛物线 C 的方程及 k 的取值范围; (2)是否存在 k 值,使点 P 是线段 DE 的中点?若存在, 求出 k 值,若不存在,请说明理由.

第 4 页 共 11 页

玉溪一中高 2015 届高三上学期第二次月测 文 科 数 学

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U=R, 集合 A= {x| 2 x >1} , B= {x|-4<x<1} , 则 A∩B 等于 A.(0,1) B.(1,+ ? ) C.(一 4,1) A

D.(一 ? ,一 4)

2.如右图,在复平面内,复数 z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B ,则
1 2 ? i 3 3 1 2 C. ? i 5 5

z1 ? D z2
y 2 A 1 2 B x

A.

1 2 B. ? ? i 3 3 1 2 D. ? ? i 5 5

1
-2 -1 O -1 -2

3.若 a ? 2x , b ? log 1 x ,则“ a ? b ”是“ x ? 1 ”的
2

B

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 C

4.已知向量 m 、 n 满足 | m |? 2 , | n |? 3 , | m ? n |? 17 ,则 m ? n ? A. ? 7 5.设首项为 1 ,公比为 A. S n ? 2an ? 1 B. ?1 C. ?2

D. ?4 D

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 3

B. S n ? 3an ? 2

C. S n ? 4 ? 3an

D. S n ? 3 ? 2an

6.一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边 三角形, 且该几何体的四个点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐 标分别是(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),则第 五个顶点的坐标可能为 C

第 5 页 共 11 页

A. (1,1,1)

B. (1,1, 2)

C. (1,1, 3)

D. (2, 2, 3)

7.一平面截一球得到直径为 2 5 cm的圆面,球心到这个平面的距离是2 cm,则 该球的体积是 B B. 36 ? cm3 C .
64 6?

A.12 ? cm3 D. 108? cm3

cm3

8.右边程序运行后,输出的结果为 A.
2011 2012

C
2013 2014

B.

2012 2013

C.

D.

2014 2015

?x ? y ? 0 ? 9.已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 则 z ? x ? 3 y 的最 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

小值为 B A.1 B. 2 C. 3 D .4

i=1 s=0 p=0 WHILE i<=2013 p=i*(i+1) s=s+1/p i=i+1 WEND PRINT s END

10. 抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 交于 A, B 两点, 其中 A 点的坐标是 (1, 2) .该抛物线的焦点为 F,则 | FA | ? | FB |? A. 7 11.函数 f ( x) ?
y

A C. 6 D.5

B. 3 5
ln | x | 的图像可能是 x
y

A
y
y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

12.已知点 A(0,?1) ,点 B 在圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 y ? 2 上运动,则直线 AB 斜率的取 值范围是 A. [? B
3 3 , ] 3 3

B.

(??,?

3 3 ] ? [ ,??) 3 3

C.

[- 3, 3 ]

D.

(??,? 3] ? [ 3,??)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
第 6 页 共 11 页

13.投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数 1、 2、 3、 4、 5、 6) 一次, 则两颗骰子向上点数之积等于 12 的概率为 14.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a 1 1 ? 3a 6 ? 4 ,则 S11 ?
1 9 . 44

.

? x ? 2s ? 1 ? x ? at 15. 在平面直角坐标系中, (s 为参数)和直线 l2 : ? (t 若直线 l1 : ? ?y ? s ? y ? 2t ? 1
为参数)平行,则常数 a 的值为_____ . 4 16. 已知 f ( x) ?| log 2 x | ,正实数 m, n 满足 m ? n ,且 f (m) ? f (n) ,若 f ( x) 在区间

?m , n?上的最大值为 2,则 m ? n =_______。 5 2
2

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ?
x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围。 解: (1)当 a ? 5 时, f ( x) ?
x ?1 ? x ? 2 ? 5 ,

由 x ?1 ? x ? 2 ? 5 ? 0

? x ? ?1 ??2 ? x ? ?1 ? x ? ?2 得? 或? 或? ,解得 x ? 1 或 x ? ?4 ?2 x ? 2 ? 0 ??2 ? 0 ??8 ? 2 x ? 0
即函数 f ( x) 的定义域为 ? x x ? 1或x ? ?4? 。 (5 分) (2)由题可知 x ?1 ? x ? 2 ? a ? 0 恒成立,即 a ? x ? 1 ? x ? 2 恒成立,而

x ?1 ? x ? 2 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 1 ,所以 a ? 1 ,即 a 的取值范围为 ? ??,1? (10 分)
18. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ,设向 量 m ? (a, b) , n ? (sin A, cosB) , p ? (1,1). (1)若 m / / n, 求角 B 的大小; (2)若 m ? p ? 4 ,边长 c ? 2 ,角 C ?

? , 求 ?ABC 的面积. 3

解: (1) m / / n ? a cos B ? b sin A .......2 分? 2 R sin A cos B ? 2 R sin B sin A ........4
第 7 页 共 11 页


? cos B ? sin B,? tan B ? 1. B ? ? 0, ? ? ? B ?

?
4

.................6 分

(2)由 m ? p ? 4 得 a ? b ? 4 ....................8 分 由余弦定理可知: 4 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 于是 ab =4...................10 分

?
3

? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

1 ab s i n C? 3 ..........12 分 2 19. ( 本小题满分 12 分 ) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直棱柱, AB ? AC , S?ABC ?

点 M 、N 分别是 A1B 和 B1C1 的中点。 AB ? AC ? AA 1 ?2, (Ⅰ)求证: MN // A1 ACC1 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 ACM 的距离。 (Ⅰ)证明:连接 B1M , AC1 , 由已知得四边形 ABB1 A1 是矩形, ∴ A , M , B1 三点共线且 M 是 AB1 的中点, 又∵ N 是 B1C1 的中点, ∴ MN ∥ AC1 . ……………4 分
B

A1 B1
M

C1 N

…………1 分 B

A
A1 B1
M
A

C
C1
N

C

又∵ MN ? 平面 A1 ACC1 , AC ? 平面 A1 ACC1 , 1 ∴ MN ∥平面 A1 ACC1 . ………………6 分

(Ⅱ)设点 B 到平面 ACM 的距离为 h . 由已知得 AC ? 平面 ABB1 A1 ,∴ AC ? AM . ∵ AB ? AC , AB ? AC ? AA1 ? 2 ,
1 1 1 1 ∴ AM ? ? AB1 ? ? 2 2 ? 2 .∴ S?ACM ? ? AC ? AM ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2 2 2

∵ AA1 ? 2 , M 是为 A1B 的中点, AA1 ? 平面 ABC ,
1 1 S?ABC ? ? AB ? AC ? ? 2 ? 2 ? 2 . ∴点 M 到平面 ABC 的距离是 1 , ………………9 2 2


第 8 页 共 11 页

1 1 S 2 ∵ VB? ACM ? VM ? ABC ,∴ ? S ?ACM ? h ? ? S ?ABC ? 1 ,∴ h ? ?ABC ? ? 2. 3 3 S?ACM 2

∴点 B 到平面 ACM 的距离是 2 .

………………12分

20. (本小题满分 12 分) 有 A、B、C、D、E 五位工人参加技能竞赛培训.现分别 从 A、 B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩 中随机抽取 8 次.用右侧茎叶图表示这两组数 据: (1) A、 B 二人预赛成绩的中位数分别是多少? (2)现要从 A、B 中选派一人参加技能竞赛, 从平均状况和方差的角度考虑,你认为派哪位 工人参加合适?请 说明理由; (3)若从参加培训的 5 位工人中选 2 人参加技能竞赛,求 A、B 二人中至少有一 人参加技能竞赛的概率. 解: (1)A 的中位数是(83+85)/ 2=84,B 的中位数是(84+82)/ 2=83-------2 分 (2)派 B 参加比较合适。理由如下:
1 xB ? (78 ? 79 ? 81 ? 82 ? 84 ? 88 ? 93 ? 95) ? 85 8

A 5 0 0 3 5 0 2 5 7 8 9 9 8 5

B 8 4 3 2 1

1 x A ? (75 ? 80 ? 80 ? 83 ? 85 ? 90 ? 92 ? 95) ? 85 8
1 2 SB ? [( 78 ? 85) 2 ? (79 ? 85) 2 ? (81 ? 85) 2 ? (82 ? 85) 2 ? (84 ? 85) 2 ? (88 ? 85) 2 8
? (93 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 35.5

1 2 SA ? [( 75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (83 ? 85) 2 ? (85 ? 85) 2 ? (90 ? 85) 2 8
? (92 ? 85)2 ? (95 ? 85)2 ] ? 41
2 2 因为 xA ? xB ,但 SB ,说明 B 稳定,派 B 参加比较合适。--------8 分 ? SA

(3)5 位工人中选 2 人有 10 种: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C,E) , (D,E) ;A、B 都不参加的有 3 种: (C,D) ,

第 9 页 共 11 页

(C,E) , (D,E) A、B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率 p ? 1 ?
3 7 ? 。--------12 分 10 10

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? 2x2 ? 3x (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ) 当 x ≥1 时,若关于 x 的不等式 f (x) ≥ ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; 解:(Ⅰ) f '(x) =ex +4x–3,则 f / (1) =e+1, 又 f (1)= e – 1 , ∴曲线 y ? f ( x) 在点(1,f (1))处的切线方程为 y – e +1 = (e+1)(x-1),即:(e+1)x – y – 2 =0 (Ⅱ)由 f (x) ≥ ax,得 ax ≤ ex + 2 x2 - 3x, ∵x ≥1 ,∴ a ? 令 g ( x) ?
e x ? 2 x 2 ? 3x x

…………5 分

e x ? 2 x 2 ? 3x ( x ? 1)e x ? 2 x 2 ,则 g ?( x) ? x x2

∵x ≥ 1 ,∴ g?( x) ? 0 ,∴g(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴g(x)min = g(1) = e –1, ∴a 的取值范围是 a ≤ e –1。 …………12 分

22. (本小题满分 12 分) 如图,设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为
l ,过准线 l 上一点 M (?1, 0) 且斜率为 k 的直线 l1 交抛物线 C 于 A , B 两点,线段
AB 的中点为 P ,直线 PF 交抛物线 C 于 D , E 两点.

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程及 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在 k 值,使点 P 是线段 DE 的中点?若存在, 求出 k 值,若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由已知得 ?
p ? ?1 ,∴ p ? 2 .∴抛物线方程为 2

y 2 ? 4x .……2 分

第 10 页 共 11 页

设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , D( x3 , y3 ) , E( x4 , y4 ) ,
? y ? k ( x ? 1) 由? 2 得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 . ? y ? 4x

………………4 分

? ? 16 ? 16k 2 ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1 ,注意到 k ? 0 不符合题意,

所以 k ? (?1,0) (0,1) .

………………5 分 ………………6 分

(Ⅱ)不存在 k 值,使点 P 是线段 DE 的中点.理由如下: 由 (Ⅰ) 得 ky 2 ? 4 y ? 4k ? 0 , 所以 y1 ? y2 ? 直线 PF 的方程为 y ?
k ( x ? 1) . 1? k 2

4 4 2 2 , 所以 x1 ? x2 ? 2 ? 2 ,P ( 2 ? 1, ) , k k k k

………………8 分

k ? ( x ? 1) 4(1 ? k 2 ) ?y ? 由? 得 ky 2 ? 4(1 ? k 2 ) y ? 4k ? 0 , y3 ? y4 ? .……10 分 1? k 2 k ? y2 ? 4x ?
当点 P 为线段 DE 的中点时,有
y1 ? y2 y3 ? y4 2 2(1 ? k 2 ) ? ,即 ? ,因为 k ? 0 , 2 2 k k

所 以 此 方 程 无 实 数 根 . 因 此 不 存 在 k 值 , 使 点 P 是 线 段 DE 的 中 点. ……………12 分

第 11 页 共 11 页


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