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上海高二数学行列和数列1


矩阵和数列
一、行列式概念及运算 1.用记号

a1 a2

b1 b2

表示算式 a1b2 ? a 2 b1 ,即

a1 a2

b1 b2

= a1b2 ? a 2 b1 ,

2.二元一次方程组的解 二元一次方程组 ?<

br />
a1 ? a1 x ? b1 y ? c1 (其中 a1 , a2 , b1 , b2 不全为零);记 a2 ? a 2 x ? b2 y ? c 2 c1 c2 b1 b2
, Dy ?

b1 b2

叫做方程组的系

数行列式;记 D x ? 的系数后得到的.

a1 a2

c1 c2

即用常数项分别替换行列式 D 中 x 的系数或 y

(1) 若 D ? 0, 则方程组有唯一一组解, x ?

Dy Dx ,y ? ; D D

(2) 若 D ? 0 ,且 Dx , D y 中至少有一个不为零,则方程组无解; (3) 若 D ? Dx ? Dy ? 0 ,则方程组有无穷多解. 3。三阶行列式及对角线法则

a1
用 a2

b1 b2 b3 a1

c1 c 2 表示算式;其结果是 a1b2 c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 ? a3b 2 c1 ? a2b1c3 ? a1b3c2 . c3 b1 b2 b3 c1 c 2 叫做三阶行列式; c3

a3

我们把 a 2

a3

a1b2 c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 ? a3b 2 c1 ? a2b1c3 ? a1b3c2 叫做三阶行列式的展开式 .其计算结果
叫做行列式的值; ai , bi , ci ( i ? 1,2,3 )都叫做三阶行列式的元素. 4. 三阶行列式按一行(或一列)展开 把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式 叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第 i 行与第

j 列的代数余子式的符号为 (?1) i ? j .
三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之 和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开.

5.三元一次方程组的解

? a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 ? 三元一次方程组 ?a 2 x ? b2 y ? c 2 z ? d 2 (其中 (ai , bi , ci (i ? 1,2,3)不全为零); ?a x ? b y ? c z ? d 3 3 3 ? 3

a1
记 D ? a2

b1 b2 b3
b1 b2 b3

c1

d1

b1 b2 b3

c1

a1

d1 d2 d3

c1 c2 c3

a3
a1 Dz ? a2 a3

c 2 为方程组的系数行列式;记 D x ? d 2 d3 c3
d1

c2 , D y ? a2 c3 a3

d 2 ,即用常数项分别替换行列式 D 中 x或y或z 的系数后得到的. d3

? ?x ? ? ? D ? 0 (1) 当 时,方程组有惟一解 ? y ? ? ?z ? ? ?

Dx D Dy D Dz D

(2) 当 D ? 0 时,方程组有无穷多组解或无解.

一、填空题

cos
1.行列式

?
3

sin cos

?
6

sin

?
3

?
6

的值是

.

2.行列式

a b ( a, b, c, d ?{?1,1, 2} )的所有可能值中,最大的是 c d

.

?2 x ? 0 ? 3.将方程组 ?3 y ? z ? 2 写成系数矩阵形式为 ?5 x ? y ? 3 ?

.

4.若由命题 A :“

2 x > 0 ”能推出命题 B :“ x ? a ” ,则 a 的取值范围是 3 1- x 2



5.若方程组 ?

? a1 x ? b1 y ? c1 的解为 x ? 1, y ? 2 ,则方程组 ? a2 x ? b2 y ? c2

?2b1 x ? 5a1 y ? 3c1 ? 0 的解为 x ? ? ?2b2 x ? 5a 2 y ? 3c 2 ? 0
1
6.方程 1

,y?

.

2 x

4 x 2 ? 0 的解集为 9
.

1 ?3
7.把

x2 y2 x3 y3

?2

x1 y1 x3 y3

?4

x1 y1 x2 y2
.

表示成一个三阶行列式为

8.若 ?ABC 的三个顶点坐标为 A(1, ?2), B(?2,3), C (?4, ?5) , 其面积为 .

2x
9.在函数 f ? x ? ? ? x

1 ?x 2

?1 x 中 x3 的系数是 x
.

1
11.矩阵的一种运算 ? ?

? a b ? ? x ? ? ax ? by? ? ? ??? ? ? ??? ? ?, 该运算的几何意义为平面上的点 ( x, y ) 在矩 ? c d ? ? y ? ? cx ? dy ?

阵? ?

?1 a ? ?a b? ? 的作用下变换成点 (ax ? by, cx ? dy) , 若曲线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 ? ? b 1? ? 的作用 ? ? ? ?c d ?
.

下变换成曲线 x ? y ? 1 ? 0 ,则 a ? b 的值为

12.在集合 ?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? ? a, b? .从 所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形, 记所有作成的平行四 边形的个数为 n ,其中面积不超过 ...4 的平行四边形的个数为 m ,则 二.选择题 13.系数行列式 D ? 0 是三元一次方程组无解的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是( ). A.

m ? n

a b c d ?? c d a b
a ? 3c b ? 3d c d ? a b c d

B.

a b d b ? c d c a

C.

D.

a b ?a ?b ?? c d ?c ?d

15.若 a, b, c 表示 ?ABC 的三边长,

a a2 2 且满足 b b c c2

a?b?c a?b?c ? 0, a?b?c

则 ?ABC 是( ). A. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 三、解答题:

B. 直角三角形 D. 等边三角形

? | x | ?5 ? 1 ? ? | x | ?1 17. 已知 P:矩阵 ? ? 的某个列向量的模不小于 2 , Q:行列式 ? 0 ? 2? ? ? 1 x ? 2m 1 ?1 4 0 ?3 中元素 ?1 的代数余子式的值不小于 2 .若 P 是 Q 成立的充分条件 , 求实数 .... ?2 1

m 的取值范围.
1
19.已知函数 f ( x) ? 0

sin x

3 cos x sin x 0

sin x 2m 0

的定义域为 ? 0,

? ?? ,最大值为 4 .试求函数 ? 2? ?

g ( x) ? m sin x ? 2cos x ( x ? R )的最小正周期和最值.





经典例题:假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末 加1000元; (Ⅱ)每半年结束时加300元。请你选择:(1)如果在该公司干10年,问两种方案 各加薪多少元? (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种? 当堂练习: 1. 下列说法中,正确的是 ( ) A.数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列. B.数列 l, 2,3与数列1,2,3,4是同一个数列. C.数列1,2,3,4,?的一个通项公式是 an=n. D.以上说法均不正确. 2 巳知数列{ an}的首项 a1=1,且 an+1=2 an+1,(n≥2),则 a5为 ( ) A.7. B.15 C.30 D.31. 3.数列{ an}的前 n 项和为 Sn=2n2+1,则 a1,a5的值依次为 ( ) A.2,14 B.2,18 C.3,4. D.3,18. 4.已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn=4n2 -n+2,则该数列的通项公式为 ( ) A. an=8n+5(n∈N*) B. an=8n-5(n∈N*)

C. an=8n+5(n≥2) D. 5.已知数列{ an}的前 n 项和公式 Sn=n2+2n+5,则 a6+a7+a8= ( A.40. 6. 若数列 B.45 前 8项的值各异,且 C.50 D.55. 对任意的

)

都成立,则下列数列中可取遍 ( )

前8项值的数列为 A. D. 7.在数列{ an}中,已知 an=2,an= an+2n,则 a4 +a6 +a8的值为 . 8.已知数列{ an}满足 a1=1 , an+1=c an+b, 且 a2 =3,a4=15,则常数 c,b 的值为 9.已知数列{ an}的前 n 项和公式 Sn=n2+2n+5,则 a6+a7+a8= . 10.设 项公式是 是首项为1的正项数列,且 =________. B.

C.

.

( =1,2,3,?) ,则它的通

11. 下面分别是数列{ an}的前 n 项和 an 的公式,求数列{ an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2

12. 已知数列{ an}中 a1=1,

(1)写出数列的前5项;(2)猜想数列的通项公式.

13. 已知数列{ an}满足 a1=0,an+1+Sn=n2+2n(n∈N*),其中 Sn 为{ an}的前 n 项和,求 此数列的通项公式.

14. 已知数列{ an}的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn 之间满足关系 Sn=2-3an (1)求 a1; (2)求 an 与 an (n≥2,n∈N*)的递推关系; (3)求 Sn 与 Sn (n≥2,n∈N*)的递推关系,

数列答案 经典例题:解: (1) (Ⅰ)55000元(Ⅱ)63000元 (2)当 n<2时(Ⅰ)方案 当 n=2时(Ⅰ) (Ⅱ)方案都行 当 n<2时(Ⅱ)方案 当堂练习:

1.C; 2.C; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7. 46; 8.



; 9. 45; 10.

;

11. 【 解】

(1)

an=4n+5

(2)

12. 【 解】 (1)1,

,

,

, .(2)

.

13. 【 解】 14. 【 解】 矩阵答案 1. 3. (1) 0 (2) an +1= .2. 6 an (n≥1,n∈N*)(3) Sn +1= . .4 (-∞,-2] Sn+ (n≥1,n∈N*)

? 2 0 0? ? x ? ? 0 ? ? 0 3 1? ? y ? ? ? 2? ? ?? ? ? ? 5 1 0 ? ? ? ?? ?z? ? ? ? 3? ?



5.

x ? -3 , y ? -5/3 .6. [-3,2]
.9. -2 .11. 2 .

.7.

? x1 ?x ? 2 ? x3 ?

y1 y2 y3

1 ? ? 2? ? ? 4? ?

.

8. 17

解析:若 P(x,y)是变换后得到的曲线上任一点。与 P 对应的点为 Q(x0,y0)且 Q 点在直线 x+y-1=0 上,则

? x 0 ? ay 0 ? x ? x0 ? ( x ? ay ) /(1 ? ab ) x ? ay y ? bx ? ?1 ? 0 ?? 代入直线 x+y-1=0? ? 1 ? ab 1 ? ab ?bx 0 ? y 0 ? y ? y 0 ? ( y ? bx ) /(1 ? ab )
?

1? b 1? a x? y ?1 ? 0, 1 ? ab 1 ? ab

此曲线与变换后得到的曲线 x-y-1=0 是同一条曲线。故有:

?1 ? b ? 1 ?a ? 2 ?? ?a+b=2. ? ?1 ? a ? ?1 ?b ? 0
12.

m ? 1/3 . n

解析:在集合 ?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? ? a, b? , 这些向量为: (2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)共六个向量。依次记为 α1,α2,α3,α4,α5,α6.
若从原点出发的向量 α=(x1,y1)与 β=(x2,y2),由它们构成的平行四边形面积为:

0
S= |

0

1
1 2 1 4 1 5 3 4 3 6

x1 x2

y 2 1 | =|x1y2-x2y1|。而 S≤4 的向量对为(α ,α ), (α ,α ), (α ,α ), (α ,α ), (α ,α ), y2 1
2

即 m=5,而 n= C6

? 15,从而 m/n=1/3.

13.( B )14.(D ).15( A ). 解析:由行列式计算得: (a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)=0 从而:a=b 或 b=c 或 c=a,即?ABC 是等腰三角形。

? | x | ?5 ? 17.解析:矩阵 ? | x | ?1 ? 0 ?
其中模不小于 2 只可能为

? 1 ? | x | ?5 ? 的某个列向量的模为: | x | ?1 ,而另一个向量的模为 3 ? 2? ?

| x | ?5 ? 2 ?|x|≤3?-3≤x≤3; | x | ?1

-1 的代数余子式 ( ?1)

1? 2

x ? 2m 1

?3 1

? ?( x ? 2 m ? 3)

2m ? x ? 5
m . (5+x) 由 P 是 Q 成立的充分条件 知: 2 =8 max . . . .... .. .≥ . . . . . . . .

? m ≥ 3. . . . . . 19. 解析:f(x)=2m(sin x- 3 sin x?cos x)=m-2msin(2x+π/6);
2

0≤x≤π/2 ? π/6 ≤ (2x+π/6) ≤ 7π/6; 1 m>0 ○ 由 fmax=2m=4?m=2;

g ( x) ? m sin x ? 2 cos x = 2 sin x ? 2 cos x = 2 2 sin( x ?

?
4

) ( x? R)

T=2π,gmin=- 2 2 ,gmax= 2 2 ;
2 m<0 ○ 由 fmax=-m=4?m=-4;

,其中 ? ? arctan g ( x) ? ?4 sin x ? 2 cos x = 2 5 sin(? ? x) ( x ? R ) T=2π,gmin=- 2 5 ,gmax= 2 5 ;

1 2


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