tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

【优化指导】2015高考数学总复习 第1节 坐标系素能提升演练 理(含解析)新人教版选修4-4


【优化指导】 2015 高考数学总复习 第 1 节 坐标系素能提升演练 理 (含解析)新人教版选修 4-4

1.(2014·陕西五校模拟)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ +2 3sin θ ,则圆心

C 的一个极坐标为________.

? π? 解析:?2, ? 3? ?

坐标方程化为直角坐标方程为 x +y -2x-2 3y=0,即(x-1) +

2

2

2

? π? 2 (y- 3) =4,圆心为(1, 3),其一个极坐标为?2, ?. 3? ?
2.在极坐标系中,过圆 ρ =6cos θ -2 2sin θ 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐 标方程为________. 解析:ρ cos θ =3 圆的直角坐标方程为(x-3) +(y+ 2) =11,故圆心坐标为(3, - 2),因此过圆心与 x 轴垂直的直线方程为 x=3,其极坐标方程为 ρ cos θ =3.
2 2

? π? 3.(2014·汕头调研)在极坐标系中, ρ =4sin θ 是圆的极坐标方程,则点 A?4, ?到 6? ?
圆心 C 的距离是________. 解析: 2 3 圆的直角坐标方程为 x +(y-2) =4, 圆心为 C(0,2), 点 A 坐标即为(2 3, 3
2 2 2

2),故所求的距离为|AC|=

=2 3.

4.在极坐标系中,已知两圆 C1:ρ =2cos θ 和 C2:ρ =2sin θ ,则过两圆圆心的直 线的极坐标方程是________. 解析:ρ cos θ +ρ sin θ =1 两圆 C1:ρ =2cos θ 和 C2:ρ =2sin θ 化为直角坐 标方程为 C1:(x-1) +y =1 和 C2:x +(y-1) =1,两圆圆心分别为(1,0),(0,1),过两 圆圆心的直线方程为 x+y=1,化为极坐标方程是 ρ cos θ +ρ sin θ =1. 5.(2014·韶关模拟)已知圆的极坐标方程为 ρ =2cos θ ,则该圆的圆心到直线 ρ sin θ +2ρ cos θ =1 的距离是________. 解析: 5 5 圆的直角坐标方程为 x +y -2x=0,圆心为(1,0),直线的直角坐标方程 |2-1| 2 +1
2 2 2 2 2 2 2 2

为 y+2x=1,即 2x+y-1=0.所以圆心到直线的距离 d=



5 . 5

6.(2012·湖南高考)在极坐标系中,曲线 C1:ρ ( 2cos θ +sin θ )=1 与曲线 C2: ρ =a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a=________. 解析: 2 2 把曲线 C1:ρ ( 2cos θ +sin θ )=1 化成直角坐标方程得 2x+y=1;

1

把曲线 C2:ρ =a(a>0)化成直角坐标方程得 x +y =a . ∵C1 与 C2 的一个交点在极轴上 ∴ 2x+y=1 与 x 轴交点? 所以?

2

2

2

? 2 ? ,0?在 C2 上, ?2 ?

2 ? 2?2 2 ? +0=a .又 a>0,∴a= 2 . ?2?

π? ? 7.(2014·揭阳模拟)已知曲线 C1:ρ =2 2和曲线 C2:ρ cos?θ + ?= 2,则 C1 上 4? ? 到 C2 的距离等于 2的点的个数为________. π? ? 2 2 2 解析:3 将方程 ρ =2 2与 ρ cos?θ + ?= 2化为直角坐标方程得 x +y =(2 2) 4? ? 与 x-y-2=0,知 C1 为圆心在坐标原点,半径为 2 2的圆,C2 为直线,因圆心到直线 x-y -2=0 的距离为 2,故满足条件的点的个数为 3. 8.在极坐标系中,圆 ρ =4 上的点到直线 ρ (cos θ + 3sin θ )=8 的距离的最大值 是________. 解析:8 把 ρ =4 化为直角坐标方程为 x +y =16,把 ρ (cos θ + 3sin θ )=8 化 8 为直角坐标方程为 x+ 3y-8=0, ∴圆心(0,0)到直线的距离为 d= =4.∴直线和圆相切, 2 ∴圆上的点到直线的最大距离是 8.
2 2

? 3 ? 9.在极坐标系中,定点 A?2, π ?,点 B 在直线 ρ cos θ + 3ρ sin θ =0 上运动, ? 2 ?
当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为________.

? 11π ? 解析:?1, 6 ? ? ?

在直角坐标系中,点 A 坐标为(0,-2),点 B 在直线 x+ 3y=0 上,

从而 AB 的最小值为点 A 到直线的距离, 设过点 A 且与直线 x+ 3y=0 垂直的直线方程为 3 3 ? ?x= 2 , 得? 1 y=- . ? ? 2

?x+ 3y=0, x-y+c=0,得 c=-2,由方程组? ? 3x-y-2=0,
1? ? 3 ? 11π ? ? ,- ?,再转化为极坐标为?1, 6 ?. ? ? 2? ?2

即点 B 坐标为

? π? 2 10.(2014·广州毕业班测试)在极坐标系中,已知点 A?1, ?,点 P 是曲线 ρ sin θ 2? ?
=4cos θ 上任一点,设点 P 到直线 ρ cos θ +1=0 的距离为 d,则|PA|+d 的最小值为 ________. 解析: 2 曲线 ρ sin θ =4cos θ 的化为直角坐标方程是 y =4x,直线化为直角坐
2
2 2

标方程是 x=-1.设抛物线的焦点为 F,则点 F(1,0).由抛物线的定义可知 d=|PF|,所以 |PA|+d=|PA|+|PF|.故当点 P 是直线 AF 与抛物线 y =4x 的交点时,|PA|+d 取得最小 值.且(|PA|+d)min=|AF|= -
2 2


2



2

= 2.

11.若直线 3x+4y+m=0 与曲线 ρ -2ρ cos θ +4ρ sin θ +4=0 没有公共点,则 实数 m 的取值范围是________. 解析:(-∞,0)∪(10,+∞) 注意到曲线 ρ -2ρ cos θ +4ρ sin θ +4=0 的直 角坐标方程是 x +y -2x+4y+4=0, 即(x-1) +(y+2) =1.要使直线 3x+4y+m=0 与该 曲线没有公共点,只要圆心(1,-2)到直线 3x+4y+m=0 的距离大于圆的半径即可,即 |3×1+ 5 +∞). 12.(2014·湛江模拟)在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为:ρ +2ρ cos θ =0,点 P
2 2 2 2 2 2



+m| >1,|m-5|>5,解得 m<0 或 m>10.故 m 的范围为(-∞,0)∪(10,

? π? 的极坐标为?2, ?,过点 P 作圆 C 的切线,则两条切线夹角的正切值是________. 2? ?
4 2 2 2 解析: 圆 C 的极坐标方程:ρ +2ρ cos θ =0 化为普通方程:(x+1) +y =1,点 3

P 的直角坐标为(0,2),圆 C 的圆心为(-1,0).如图,当切线的斜率存在时,设切线方程为 y=kx+2,则圆心到切线的距离为
|-k+2| 3 3 =1,∴k= ,即 tan α = .易知满足题意的另 2 4 4 k +1

4 一条切线的方程为 x=0.又∵两条切线的夹角为 α 的余角,∴两条切线夹角的正切值为 . 3

π? ? 13. (2013·江苏高考 ) 在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ? 2, ? ,圆心为直线 4

?

?

π? 3 ? ρ sin?θ - ?=- 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3? 2 ?

π? 3 ? 解:在 ρ sin?θ - ?=- 中令 θ =0, 3? 2 ? 得 ρ =1,
3

所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π? ? 因为圆 C 经过点 P? 2, ?, 4? ? 所以圆 C 的半径 PC= 2
2

π 2 +1 -2×1× 2cos =1,于是圆 C 过极点,所以圆 4

C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ .
14.设过原点 O 的直线与圆(x-1) +y =1 的一个交点为 P,点 M 为线段 OP 的中点,当 点 P 在圆上移动一周时,求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线. 解:圆(x-1) +y =1 的极坐标方程为 π? ? π ρ =2cos θ ?- ≤θ ≤ ?, 2? ? 2 设点 P 的极坐标为(ρ 1,θ 1),点 M 的极坐标为(ρ ,θ ), ∵点 M 为线段 OP 的中点,∴ρ 1=2ρ ,θ 1=θ ,将 ρ 1=2ρ ,θ 1=θ 代入圆的极坐标 π? ? π 方程,得 ρ =cos θ .∴点 M 轨迹的极坐标方程为 ρ =cos θ ?- ≤θ ≤ ?,它表示圆心 2? ? 2 1 ?1 ? 在点? ,0?,半径为 的圆. 2 ?2 ? π? ? 15.(2014·南京调研)在极坐标系中,求圆 ρ =4sin θ 上的点到直线 ρ cos ?θ + ? 4? ? =3 2的距离的最大值. 解:在圆的极坐标方程两边同时乘以 ρ 得 ρ =4ρ sin θ , 化为直角坐标方程为 x +y =4y,即 x +(y-2) =4, 故圆的圆心坐标为(0,2),半径为 2. π? ? 将直线的极坐标方程 ρ cos ?θ + ?=3 2化为直角坐标方程为 x-y-6=0, 4? ? 所以圆的圆心到直线的距离为 d= |0-2-4| 1+ -
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=3 2>2,故直线与圆相离,

π? ? 于是圆 ρ =4sin θ 上的点到直线 ρ cos ?θ + ?=3 2 的距离的最大值为 3 2 + 4? ? 2.16.(2014·昆明模拟)已知曲线 C 的参数方程为?
? ?x=3+5cos θ ?y=5sin θ ?

,(θ 是参数),P 是

曲线 C 与 y 轴正半轴的交点.以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经 过点 P 与曲线 C 只有一个公共点的直线 l 的极坐标方程. 解:把曲线 C 的参数方程? =25,
?x=3+5cos θ ? ? ?y=5sin θ

,(θ 是参数)化为普通方程得(x-3) +y

2

2

4

∴曲线 C 是圆心为 P1(3,0),半径等于 5 的圆. ∵P 是曲线 C 与 y 轴正半轴的交点,∴P(0,4). 根据已知得直线 l 是圆 C 经过点 P 的切线. 4 3 ∵kPP1=- ,∴直线 l 的斜率 k= . 3 4 ∴直线 l 的方程为 3x-4y+16=0. ∴直线 l 的极坐标方程为 3ρ cos θ -4ρ sin θ +16=0.

? π? 17.在极坐标系中,O 为极点,半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为?2, ?. 3? ?
(1)求圆 C 的极坐标方程; → → (2)P 是圆 C 上一动点,点 Q 满足 3OP=OQ,以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立 直角坐标系,求点 Q 的轨迹的直角坐标方程. 解:(1)设 M(ρ ,θ )是圆 C 上任一点,过点 C 作 CH⊥OM 于 H 点,则在 Rt△COH 中,OH =OC·cos∠COH. π? ? ∵∠COH=∠COM=?θ - ?, 3? ?

OH= OM= ρ ,OC=2,
π? 1 ? ∴ ρ =2cos?θ - ?, 3? 2 ? π? ? 即所求的圆 C 的极坐标方程为 ρ =4cos?θ - ?. 3? ? (2)设点 Q 的极坐标为(ρ ,θ ), → → ∵3OP=OQ, π? 1 ?1 ? ? ∴P 的极坐标为? ρ ,θ ?,代入圆 C 的极坐标方程得 ρ =4cos?θ - ?, 3? 3 ?3 ? ? 即 ρ =6cos θ +6 3sin θ , ∴ρ =6ρ cos θ +6 3ρ sin θ ,令 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,得 x +y =6x+6 3
2 2 2

1 2

1 2

y,
∴点 Q 的轨迹的直角坐标方程为 x +y -6x-6 3y=0. 18.(2014·太原模拟)平面直角坐标系 xOy 中,点 A(2,0)在曲线 C1:?
? ?x=acos φ ?y=sin φ ?
2 2



(a>0,φ 为参数)上.以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐 标方程为 ρ =acos θ . (1)求曲线 C2 的普通方程;
5

π? ? (2)已知点 M,N 的极坐标分别为(ρ 1,θ ),?ρ 2,θ + ?,若点 M,N 都在曲线 C1 上, 2? ? 求 1 1 2+ 2的值. ρ 1 ρ 2 解:(1)由点 A(2,0)在曲线 C1 上得? ∵a>0,∴a=2,∴ρ =2cos θ , 由?
?x=ρ cos θ ? ? ?y=ρ sin θ ? ?2=acos φ , ?0=sin φ ?

,得(x-1) +y =1,
2 2

2

2

∴曲线 C2 的普通方程为(x-1) +y =1.

(2)由(1)得曲线 C1:?

?x=2cos φ , ? ?y=sin φ , ?

消去参数 φ 得 +y =1. 4 由题意得点 M,N 的直角坐标分别为 π? π ?? ? ? ? (ρ 1cos θ ,ρ 1sin θ ),?ρ 2cos?θ + ?,ρ 2sin?θ + ??. 2? 2 ?? ? ? ? ∵点 M,N 在曲线 C1 上, ∴ ∴ ρ 1cos θ ρ 2sin θ 2 2 2 2 +ρ 1sin θ =1, +ρ 2cos θ =1, 4 4 1 1 ?cos θ 2 ?sin θ +cos2 θ ?=5. +sin θ ? +? ? ? 4 2+ 2= ? ρ 1 ρ 2 ? 4 ? ? 4 ?
2 2 2 2 2 2

x2

2

6


推荐相关:

【优化指导2015高考数学总复习第5章 第1节 平面向量的概念及其线性运算课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导2015高考数学总复习第5章 第1节 平面向量的概念及其线性运算课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总...


【优化指导】2015高考数学总复习 第7章 第1节 不等关系与不等式课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】2015高考数学总复习 第7章 第1节 不等关系与不等式课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总复习 ...


【优化指导】2015高考数学总复习 第3章 第1节 导数的概念及其运算课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】 2015 高考数学总复习 第 3 章第 1 节 导数的概念及其 运算课时跟踪检测 理(含解析)新人教版 cos x 1.函数 y= 的导数是( 1-x cos x+sin...


【优化指导】2015高考数学总复习 第6章 第1节 数列的概念及简单表示法课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】2015高考数学总复习 第6章 第1节 数列的概念及简单表示法课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总...


【优化指导】2015高考数学总复习 第9章 第5节 椭 圆课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】2015高考数学总复习 第9章 第5节 椭 圆课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】2015 高考数学总复习 第 9 章第...


【优化指导】2015高考数学总复习 第4章 第6节 简单的三角恒等变换课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】2015高考数学总复习 第4章 第6节 简单的三角恒等变换课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总复习...


【优化指导】2015高考数学总复习 第7章 第5节 合情推理与演绎推理课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】2015高考数学总复习 第7章 第5节 合情推理与演绎推理课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总复习...


【优化指导】2015高考数学总复习 第9章 第8节 曲线与方程课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】2015高考数学总复习 第9章 第8节 曲线与方程课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总复习 第 9 ...


【优化指导】2015高考数学总复习 第2章 第6节 二次函数与幂函数课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】2015高考数学总复习 第2章 第6节 二次函数与幂函数课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_高考_高中教育_教育专区。【优化指导】 2015 高考数学总复习 ...


【优化指导】2015高考数学总复习第11章 第7节 离散型随机变量及其分布列课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

【优化指导】2015高考数学总复习第11章 第7节 离散型随机变量及其分布列课时跟踪检测 理(含解析)新人教版_数学_高中教育_教育专区。【优化指导】2015 高考数学总...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com