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习题(26) 抛物线简单的几何性质(3)


凤鸣高中 2012 级高二(下)理科数学

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2014/3/20

习题(26)抛物线的简单几何性质(3)定点
一、选择题: 1.抛物线的准线方程为 x= ,则抛物线的标准方程是( A.x2=-2y A. (0,-1) B.y2=-2x ) C. (0,? B. (-1,0) C.x2=2y
1 2

) D.y2=2x

2.抛物线 4x2=-y 的焦点坐标是(

1 1 D. (? ,0) ) 16 16 3.若抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p=( )
A.0.5 B. 1 C. 2 D.4 2 4.已知 P 为抛物线 y=4x 上一点,且 P 到抛物线准线的距离等于 P 到点(0,2)的距离, 则 P 点的坐标为( )
6 3 66 33 6 3 66 33 , ) , ) , ) , ) B. ( ? C. ( D. ( ? 4 2 16 32 4 2 16 32 5.若 P 为抛物线 y2=4x 上的动点,过 P 分别作 y 轴与直线 x-y+5=0 的垂线,垂足分别为 A,B,则|PA|+|PB|的最小值为( )

A. (

A. 3 2

B.

3 2 2

C. 3 2 ? 1

D.

3 2 ?1 2

6.过抛物线 y2=ax(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AF、BF 的长 mn 分别是 m、n,则 =( ) m+n a 1 1 A. B. C. 2a D. 2a 4a 4 二、填空题: 7.以双曲线 4y2-5x2=20 的焦点为焦点的抛物线的标准方程是 .

8.已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、B 满足 AF =3 FB ,则弦 AB 的中点到 准线的距离为
2



9. 设 F 为抛物线 C: y =4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线于两点 A,B,点 Q 为线段

AB 的中点,若|FQ|=2,则直线的斜率等于



10.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,自 A、B 向准线 作垂线,垂足分别为 A'、B',则∠A'FB'=
2



11.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为原点.若|AF|=3,则 △AOB 的面积为 .

1

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三、解答题: 12.已知点 A(2,8) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2)在抛物线 y2=2px(p>0)上,△ABC 的重 心与此抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.

13.已知直线 l 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点. (1)若直线 l 过点(4,0),求 OA ? OB 的值; (2)若 OA ? OB ? ?4 ,证明:直线 l 过一定点,并求出该定点的坐标.

14.如图,A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线 C:x2=2py( p 为常数,p>0)上的两个动点,直线 AB 与 x 轴交于点 P,与 y 轴交于点 Q,且 y1 y 2 ?
p2 。 4

(1)求证:直线 AB 过抛物线 C 的焦点; 1 1 3 ? ? (2)是否存在直线 AB,使得 ?若 | PA | | PB | | PQ | 存在,求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由。

2

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11.已知直线 l 与抛物线 x2=4y 相交于不同的 A、B 两点. (1)若直线 l 过抛物线焦点 F,且|AB|=8,求直线 l 的方程; (2)若 OA⊥OB,求证:直线 AB 经过定点,并求出该定点的坐标.

*11.已知抛物线 C 的焦点为 F (1, 0) ,顶点在原点. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)已知 Q(m,0) (m为常数) , P 为抛物线 C 上一点,求 | PQ | 的最小值. 13.如图,已知直线 l:y=kx+2 与抛物线 C:x2=2py(p>0)交于 A、B 两点,且 OA + OB =(4,12). (1)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (2)P 是抛物线 C 上一点,当 P 从 A 运动到 B 的过程中,求△PAB 面积的最大值. y A l B F O P x

(第 13 题)

13.已知抛物线 C:y2=2x,过点 P(1,0)作直线 l:x=my+1 与抛物线 C 交于 A,B 两点. y A (Ⅰ)设 Q(-1,0),求 QA ? QB 的最小值; (Ⅱ)设直线 m:x=a 与以 AP 为直径的圆相交与 M,N 两点,
3

M N

Q

O

P

x

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若|MN|为定值,求 a 的值.

15.如图,已知椭圆 C1:

长轴的弦长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设点 P 在抛物线 C2:y=x2+h(h∈R)上,在 C2 点 P 处的 切线与 C1 交于点 M,N,当线段 AP 的中点与 MN 的中点 的横坐标相等时,求 h 的最小值.

x2 y2 + =1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过 C1 的焦点且垂直于 b2 a2 y
P M O N A x

14.已知直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A,B 两点. (第 15 题图) (Ⅰ)若直线 l 过抛物线焦点 F,且|AB|=8,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若 OA⊥OB,求证:直线 AB 经过定点,并求出该定点的坐标. y l A

O

x

18 . ( 2013 年高考江西卷(理) ) 抛物线

F, 其准线与双曲线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 (第 14 题图)

B

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 ?ABF 为等边三角形,则 P ? _____________ 3 3
【答案】6

7.已知直线 l 交抛物线 y ? 8x 于 A, B 两点,若 M (2, ?1) 恰为弦 AB 的中点,则直线 l 的
2

方程为



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5.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB = ( ) 3 4 3 4 A. B. C.- D.- 5 5 5 5 2 6.在抛物线 y=x +ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,x2=2 的两点,经过两点引一条割 线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切,则抛物线顶点 的坐标为 ( ) A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,6) 6. 过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 11.已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、B 满足 AF =3 FB ,则弦 AB 的中点到 准线的距离为__________. 6.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过 F 且倾斜角为 60 ? 的直线与抛物线
2

交于 A, B 两点,则 | AB |?



7. 若等腰 Rt△AOB 内接于抛物线 y 2 ? 2 x ,O 为抛物线顶点, AO ? OB , 则 △AOB 的 面积为
2



8.若 P 是抛物线 y ? x 上的动点,则 P 到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离的最小值为 ,此时点 P 的坐标为 .

12.过抛物线 y2=ax(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AF,BF 的长 mn 分别是 m,n,则 =__________(结果用 a 表示). m+n 10.已知点 A(-2,1),y2=-4x 的焦点是 F,P 是 y2=-4x 上的点,则 |PA|+|PF|的最小值是_________,此时 P 点的坐标是___________.

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13.已知抛物线 C:y2=2x,过点 P(1,0)作直线 l:x=my+1 与抛物线 C 交于 A,B 两点. y A (1)设 Q(-1,0),求 QA ? QB 的最小值; (2)设直线 m:x=a 与以 AP 为直径的圆相交与 M,N 两点, 若|MN|为定值,求 a 的值. Q O B (第 13 题图) 15.如图,已知椭圆 C1: M N P x

长轴的弦长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设点 P 在抛物线 C2:y=x2+h(h∈R)上,在 C2 点 P 处的 切线与 C1 交于点 M,N,当线段 AP 的中点与 MN 的中点 的横坐标相等时,求 h 的最小值.

x2 y2 + =1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过 C1 的焦点且垂直于 b2 a2 y
P M O N (第 15 题图) A x

15.已知点 A(2,8) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2)在抛物线 y 2 ? 2 px 上,△ABC 的重心 与此抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.(12 分)

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4.若 P 为抛物线 y2=4x 上的动点,过 P 分别作 y 轴与直线 x-y+5=0 的垂线,垂足分别为 A,B,则|PA|+|PB|的最小值为 ( )

3 2 3 2 C. 3 2 -1 D. -1 2 2 5.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为原点.若|AF|=3,则 △AOB 的面积为 ( ) 2 3 2 A. B. 2 C. D. 2 2 2 2 6. 已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A,B 满足 AF = 4 FB , 则弦 AB 的中点 M 到
A. 3 2 B. 准线的距离为 ( )

25 A. 8

9 B. 4

20 C. 7

19 D. 8

11.已知点 A(0,-2),B(0,4),动点 P(x,y)满足 PA ? PB =y2-8. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设(1)中所求轨迹与直线 y=x+2 交于 C、D 两点, 求证:OC⊥OD(O 为原点). 6.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上有 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C ( x3 , y3 ) 三点, F 是它的焦点,若 AF , BF , CF 成等差数列,则 ( A. x1 , x2 , x3 成等差数列 C. y1 , y 2 , y3 成等差数列
7

) B. x1 , x3 , x2 成等差数列 D. y1 , y3 , y 2 成等差数列

8.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 AB 的两端点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则关系式

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y1 y 2 x1 x 2













( ) A.4p B.-4p C.p2 D.-p 2 9.过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的 长分别是 p, q ,则 1 ? 1
p q

A. 2a

( ) 1 B.
2a

C. 4a

D. 4
a

8



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