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2014年五月华东师大二附中高三三模数学答案(2014 5)


高三数学模考试卷
(本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一、 填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每 题填对得 4 分,否则一律得零分 1.已知 tan

?
2

=2,则 tan(? ?

?
4

/>)=

?

1 7

2.复数 z,满足 z ?1 ? i ? ? 2 ,则 z 的虚部是_____________-1 3. 记关于 x 的不等式

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ≤1 的解集为 Q .若 x ?1
a>2

Q ? P ,则实数 a 的取值范围

4.已知角 ? 的终边过点 P(?4m, 3m) (m ? 0) ,则 2sin ? ? cos ? = 5.函数 f ( x) ? ( x ?1)2 ( x ? 0) 的反函数 f ?1 ( x) ? 6.关于 x 的不等式 2 ? log 1 (5 ? x) ? log2
2

?

2 5

? x ? 1,( x ? 1)

1 ? 0 的解集为____________ x

(0,1)(4,5)
7.某小组共有 10 名学生,其中只有一对双胞胎,若从中随机抽查 4 位学生的作业, 则双胞胎作业同时被抽中概率为:________________(用分数作答) 8. 若 等 比 数 列

2 15

?an ?

, a1 ? a4 ? a7 ? 12 且 a2 ? a5 ? a8 ? 15 , 则

a3 ? a6 ? a9 =_____

75 4
. (lg

9. f ( x) ?

1 lg[( x ? ) ( x ? 2)] lg( x ? 2) 的值域是 x 1 1

5 , ?? ) 2

10.下列命题中,假命题序号为 . (2) (1)存在四边相等的四边形不是正方形; (2) z1 , z2 ? C , z1 ? z2 为实数的充要条件是 z1 , z2 为共轭复数;
1

0 1 n (3)对于任意 n ? N , Cn 都是偶数; ? Cn ???? ? Cn

?

11.直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 交于 A、 B 两点. 则 AB 中垂 线方程为____________________. 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 12.已知数列 ?an ? 共有 m 项,记 ?an ? 的所有项和为 s(1),第二项及以后所有项和为 s(2),第三项及以后所有项和为 s(3),?,第 n 项及以后所有项和为 s(n),若 s(n)是首项为 1, 公差为 2 的等差数列的前 n 项和, 则当 n<m 时 an =

? 2n ? 1

13、若不等式 x3 ? ? k ?1? x ? k ? 0 对 x ? (1, 2) 恒成立,则实数 k 的取值范围 是 . k?2 14. 已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( f ( )) ?0.9 ? e ? 2

.(精确到 0.0001)3.7183

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考 生应在答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.下列函数中,最小正周期为 π 的偶函数是 A. y ? sin 2 x ? cos2 x B. y ? sin x cos x ( ).D

C. y ? cos

x 2

D. y ?

1 ? tan2 x 1 ? tan2 x
)B

16.已知 a ? (1,1) , b ? (1, x2 ) , c ? ( x,1) ,则“ a // b ”是“ a ? c ”的( A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

17.在底面为正方形的长方体上任意选择 4 个顶点, 它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为直角三角形,有一个 面为等腰三角形的四面体;④每个面都是等腰三角形的四面体;⑤每个面都是直角 三角形的四面体.这些几何形体是( A.①②④⑤ B.①②③⑤ )D D.①③④⑤
? ?

C.①②③④

18.样本 ( x1 , x2 ,..., xn ) 的平均数为 x ,样本 ( y1 , y2 ,..., ym ) 的平均数为 y , (x ? y )

2

若样本 ( x1 , x2 ,..., xn , y1, y2 ,..., ym ) 的平均数为 z ? ? x ? (1 ? ? ) y ,其中 0 ? ? ? 则 n, m 的大小关系是( A. n ? m B. n ? m )A C. n ? m D.不能确定

1 , 2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步 骤。每题解题过程写在该题的答题框内,否则不计分。 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面为等腰直角三角形, ? BAC=90 ,
0

AB=AC=2,AA 1 =2 2 ,E, F 分别是 BC、AA1 的中点。 求: (1)异面直线 EF 和 A1B 所成的角。 (2)三棱锥 B-A1EC1 的体积。 解: (1)方法一: (略解)取 AB 的中点 D,连 DE、DF, 则 DF ∥ A1 B , ∴∠DFE 即为所求。——2 分 由题意易知, DF ?

3 , DE ? 1 , AE ? 2

由 DE⊥AB、DE⊥A A1 得 DE⊥平面 ABB1A1 ∴△DEF 为直角三角形,∠EDA=90 ∴tan∠DFE= tan?DFE ?
0
0

DE 1 3 ——4 分 ? ? DF 3 3
0

∴ ?DFE ? 30 ,即异面直线 EF 和 A1B 所成的角为 30 。——6 分 方法二: 以 A 为坐标原点以 AB、AC、 AA1 所在直线分别 x 轴、y 轴、 Z 轴建立如图所示的直角坐标系,
3

z A1 B1 F C1

o
B x A E C y

则 A (o,o,2 2 )

B (2,0,0)

? E、F 分别是 BC、AA1 中点
∴E(1,1,0) F(0,0, 2 ) ∴ BA ? ? 2, 0, 2 2 ——2 分

?

?
BA1 ? EF BA1 ? EF ? 3 2

EF ? ? 1,? 1, 2

?

?
?
6

设 BA与FG 的夹角为 ? ∴cos ? =

?0 ? ? ? ?

∴ ? ?

——4 分

∴异面直线 EF 和 AB 所成的角为

? 6

——6 分

(2) VB ? A1EC1 ? VA1 ? BEC1 ?

2 2 ——6 分 3

20. (本题满分 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分) 已知函数 f ( x) ? sin
2

? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2
? ? 2π ? ? ?

? ?

π?

(1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? .——6 分 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,

4

所以

2π ? π ,解得 ? ? 1 .——8 分 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ? 因为 0 ≤ x ≤

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ ,——2 分 6 6 6
所以 ?

1 π? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? .——6 分 6? 2 2 ? 2?

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 记函数 f ?x ? 的定义域为 D ,若存在 x0 ? D ,使 f ?x0 ? ? x0 成立,则称点

?x0 , x0 ? 为函数 f ?x ? 图像上的不动点.
(1)若函数 f ? x ? ?

3x ? 8 图像上的两个不动点分别为 A, A ', P 为函数 f ?x ? 图像上 x?3

的另一个点,其纵坐标 y P ? 3 ,求点 P 到直线 AA ' 的距离的最小值及此时点 P 的 坐标; (2)下述命题“若定义在 R 上的奇函数 f ?x ? 的图像上存在有限个不动点,则不动 点有奇数个”是否正确?若正确,给予证明;若不正确,请举一反例. 解: (1)由不动点的定义知,直线 AA 的方程是 y ? x .
'

设点 P?x, y ?, P 到直线 AA 的距离为 d ,则 d ?
'

x? y 2

???? 2 分 6

d?


? 1 8 ? 3y 1 y2 ? 8 1 ? 1 ?y ? ? ? ? 6? ? 4 2 , ?? ? y ? 3? ? ? y?3 ? 2 y?3 2 y?3 2?

5

1 ,即 y ? 4 时,上式取等号,此时 x ? ?4. y ?3 故点 P 的坐标为 P?? 4,4? .
当且仅当 y ? 3 ? 8分

??

(2)命题正确. ?? 1分 因为 f ?x ? 为奇函数,所以 f ?? x ? ? ? f ?x ? .取 x ? 0 ,得 f ?0? ? 0 ,即 ?0,0? 为函数 图像上的一个不动点. ?? 3 分 设 函 数 f ?x ? 图 像 上 除 ?0,0? 以 外 还 有 不 动 点 ? x, x ? ?x ? 0? , 则 f ?x ? ? x , 又

f ?? x ? ? ? f ?x ? ? ? x , 故 ?? x,? x ? ?x ? 0? 也为函数图像上的不动点.

??5

分 综上,若定义在 R 上的奇函数 f ?x ? 图像上存在有限个不动点,则不动点有奇数 个?? 6 分

22.(本小题满分 16 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 4 分)

x2 ? y2 ? 1, (1)已知椭圆 的左、 右顶点为 A 1 、 A2 ,上、下顶点为 B1 、B2 , 4
6 直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点, ?AA2 B 为直角.证明:直线 l 过定点 ( ,0) . 5 2 (x ? 2) ? y 2 ? 1 , o 为坐标系原点,直线 l 交椭圆于点 A 、 B , (2)已知椭圆 4 且 ?AOB 为直角,问直线 l 有何性质?
(3)试对有心圆锥曲线的弦对特殊点张直角进行了研究并写出一个正确的

一般性结论.
证(1):设直线方程为 x=my+b。 A2 (2,0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 4 ? 0 。

6

8b ? ? x1 ? x2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 ? x x ? 4b ? 4m ? x2 ? 4 y2 ? 4 ? ? 1 2 m2 ? 4 ?? ,代入计算可得 5b2 ?16b ? 12 ? 0, ? ? x ? my ? b ? y ? y ? ?2mb 2 ? 1 m2 ? 4 ? 2 ? y1 y2 ? b ? 4 ? m2 ? 4 ?
所以 b=2(舍去)或 b=

6 得证。 5 4 5

(设斜率表示直线,要注意存在性分类讨论) (2)由平移和对称性可得 l 过定点 ( , 0) (3)圆锥曲线的弦对顶点张直角(满分 4 分)

x2 y 2 命题组 1:设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点为 A 1 、 A ,上、 a b
下顶点为 B 、 B1 ,直线 l 与椭圆交于 C 、 D 两点,则 (1) AC ? AD 的充要条件是直线 l 过定点 M 1 (

a(a2 ? b2) ,0) ; a 2 ? b2 (? a(a2 ? b2) ,0) ; a 2 ? b2

(2) AC ?A 1 1D 的充要条件是直线 l 过定点 M 2

(3) BC ? BD 的充要条件是直线 l 过定点 M 3 (0, ?

b(a 2 ? b2) ); a 2 ? b2
b(a2 ? b2) ). a 2 ? b2

(4) B1C ? B1D 的充要条件是直线 l 过定点 M 4 (0,

证 明 : 显 然 直 线 AC 的 斜 率 存 在 且 不 等 于 0 , 故 设 直 线 AC 的 方 程 为

y ? k ( x ? a) ,

7



?

y ? k ( x ? a), b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2.

2 2 2 2 2 2 2 得 b x ? a k (x ? a) ? a b ,

2 2 2 3 2 2 展开整理得 (x ? a)[(b ? a k )x ? a k ? ab ] ? 0 ,

设 C( xc , yc ) ,得 xc ?

a3k 2 ? ab2 2ab2k y ? ? , . c b2 ? a2k 2 b2 ? a 2k 2

因为 AC ? AD ,所以 AD 方程为 y ? ?

1 (x ? a) ,设 D( xD , yD ) , k

1 ? ? y ? ? ( x ? a), a3 ? ab2k 2 2ab2k k y ? 由? 得 xD ? 2 , . D 2 2 2 2 2 2 a ? b2k 2 a2 ? b2k 2 ? b x ? a y ? a b . ?


M 1C ? (

2a 3b 2 (k 2 ? 1) 2ab 2k , ? ) (a 2 ? b 2 )(b 2 ? a 2k 2 ) b 2 ? a 2k 2
2a 3b 2 (k 2 ? 1) 2ab2k , ), (a 2 ? b 2 )(a 2 ? b 2k 2 ) a 2 ? b 2k 2
所以 M1C ? ?

,

M 1D ? (?

a2 ? b 2k 2 M1D , 故 b2 ? a2k 2

C, M1, D 三点共线,即直线 l 过定点 M 1 .
对(2) 、 (3) 、 (4)可仿照(1)进行证明,具体证明过程从略.

x2 y 2 命题组 2 设双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )左、右顶点为 A 1 、 A ,设离心 a b
率 e ? 2 时,直线 l 与 双曲线交于 C 、 D 两点,则 (1) AC ? AD 的充要条件是直线 l 过定点 M1(

a(a 2 ? b2) ,0) ; a 2 ? b2
a(a2 ? b2) ,0) . a 2 ? b2

M 2(? ?A (2) AC 1 1D 的充要条件是直线 l 过定点
命题组 2 的证明可仿照组 1 进行。
8

更一般的,圆锥曲线上的任一点的直周角(满分 8 分) 仅考虑标准方程 抛物线中定点坐标为 ( x0 ? 2 p,? y0 ) ; (考虑抛物线推广,满分 7 分) 椭圆中定点坐标为 (
a 2 ? b2 a 2 ? b2 x0 ,? a 2 ? b2 a 2 ? b2 y0 ) ; y0 ),(a ? b)

双曲线中定点坐标为 (

a 2 ? b2 a 2 ? b2

x0 ,?

a 2 ? b2 a 2 ? b2

23.(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 8 分,第 3 小题 6 分) 对于数列 A : a1 , a2 ,..., an ,记 M i 表示实数 a1 , a2 ,..., ai 中最大的数, mi 表示实 数 ai , ai ?1 ,..., an 中最小的数, di ? M i ? mi ,其中 i ? 1, 2,..., n .定义变换 T ,T 将数 列 A 变换成数列 T ( A) : d1 , d2 ,..., dn .

2, 0, 4, ?1,1和数列 B : k ? 1, 2,..., n , (1) 已知数列 A : 写出数列 T ( A) bk ? 3k ? 2 ,
和 T ( B) ; (2) 已知数列 A : 证明: 数列 T ( A) : d1 , d2 , d3 , d4 a1 , a2 , a3 , a4 中任意两项互不相等, 中必有两个相邻的项相等; ( 3 ) 证 明 : 对 于 有 穷 数 列 A , T ( A) 与 A 是 相 同 的 数 列 的 充 要 条 件 是

ak ? 0, k ? 1, 2,..., n (1)由 T ( A) 的定义可知: T ( A) : 3,3,5,5,3

??2 分 ??4 分

同理: T ( B) : 0,0,...,0 即 dk ? 0, k ? 1, 2,..., n

(2) 如果存在 i, 使得 ai ? ai ?1 (i ??1, 2,3?) , 则 M i ?1 ? M i , mi ?1 ? mi , 所以 di ?1 ? di , 反之则有 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ,则 d1 ? d2 ? d3 ? d4 ? 0 所以命题成立 (3)先证充分性:

ak ? 0, k ? 1, 2,..., n ,? M i ? 0, mi ? 0, i ? 1, 2,..., n
??2 分

所以? di ? ai , i ? 1, 2,..., n ,即 T ( A) ? A 再证明必要性: 首先,证明 A 中的各项都是非负的。

0 , i ? 1, 2,..., n mi ? ai ? M i ?di ? Mi ? mi ?
又 T ( A) ? A ,则 ai ? di ? 0 然后,用反证法证明 A 中的各项都是 0 假设 a1 , a2 ,..., an 中有一个正数,设 ak 为 a1 , a2 ,..., an 中从左至右的第一个正数,
9

??4 分

则由定义知: M k ? ak ,从而 ak ? dk ? M k ? mk ? mk ? 0 , 这 说 明 在

ak ?1 , ak ?2 ,..., an 中 最 小 值 为
??6 分

0 , 不 妨 设

al ? 0 (k ?

l ? )n

由定义知: ml ? 0 ,则 dl ? M l ? ml ? al ,得 M l ? 0 由 M l 的定义有: 这与 ak ? 0 矛盾。 故 an ? 0, n ? N ? ak ? M l ? 0 , 8分 ??

10


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