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中 等 数 学
2 0 0 3 年安徽省高中数学竞赛( 初赛)
一
、
选择题( 每小题 6 分, 共3 6 分)
个公共点, 则 的取值范围是
.
1 . 定义 : A—B={ N + } , 则 Ⅳ一肘 等于(
( A )
( ) .
J 了
E A且 B} . 若 ={ X ) .
( C ) { 1 } ( D ) { 2 0 0 3
I 1 ≤ ≤2 0 0 2 , ∈N +} , N={ , , l 2 ≤, , ≤2 0 0 3 , Y E
8 . 在 ( 4 。 一 2 x 一 5 ) I 1 + 1 )的 展 开 式中 , 常 数
项为
.
— —
( B ) N
2 . 函数, ( ) =一 ( c 0 s ) l g l f 的部分图像是
9 . 设n 为不超过 2 0 0 3 的正整数. 如果有一个角 0 使得( s i n 0+ i c 0 s ) =s i n n O +i c 0 s n O 成立 , 则这
种 n的总个数为 .
L J
,
1 O . 三位数中, 如果十位上的数字比 百位上的数 字和个位上的数字都小, 则称这个数为凹数, 如5 0 4 、 7 4 6 等都是凹数. 那么, 各个数位上无重复数字的三
位数中凹数共有 个. 1 1 . 已知 口=( c o s 口 , s i n口 ) , 6=( c 0 s 卢 , s i n卢 ) , 口
\- ,O V
l f .
/ ^ \
f—
V
J l
( A )
( B )
和6 之间有关系式l + 6 I = √ 3 l 口 一胁l , 其中 > 0 . 则口 ? 6的最小值为 . 1 2 . 已知 X 、 : 均为正整数. 则方程 + Y +z =
1 5 有 组解 .
J
\ 0 l ’
( C )
图 1
三、 解答题 ( 每小题 1 5 分, 共6 0 分)
1 3 . 设a E R , 函 数. 厂 ( ) = 似。 + 一口 ( 1 ≤1 ) .
( D )
( 1 ) 若l 口 l ≤ 1 , 试 证: l , ( ) l ≤ 音;
3 . 若不等式 + ≤m a 2 +b 。 对所有正实
( 2 ) 求使函数, ( ) 有最大值 的 。 的值.
.
数o 、 b 都成立, 则 m的最小值是(
( A ) 2 ( B ) √ 2 ( C )
) .
( D ) 4
已 知A ( , o ) 和 曲 线 鲁一 y 2 = 1 ( 2 ≤ ≤
4 . 曲线2 。 一 ~y 2 一 一 2 y 一 1 = 0 和3 一 4 + 一3 +, , = 0的交点有( ) 个.
( A ) 2
= O , x 3
2 , , , ≥ 0 ) 上的点 P 1 , P 2 , …, . 是否存在 n , 使得
j P A l , l A l , …, 1 A I 成等差数列, 且公差 d ∈
( B ) 3
( C ) 4
( D ) 无穷多
5 . 设0 <口 < 1 . 若 l =口 , 2 = l , 3 =B , 4
,… , : - - ,… ,
( 了 1 , ) ? 若 存 在 , 求 出 n 可 取 的 所 有 值 ; 若 不 存
在, 说明理 由. ( 取√ 5 = 2 . 2 4 )
则数列{ } (
) .
( A ) 递增
( B ) 奇数项增, 偶数项减
1 5 某市 A有 4 个郊县( B 、 C 、 D、 E ) , 如图 2 . 现
( c ) 递减 ( D ) 偶数项增, 奇数项减 6 . 在边长为 1 的正方体 C内, 作一个内切大球 0 。 , 再在 C内的一个角顶内, 作小球 0 : , 使它与大 球外切, 同时与正方体的三个面相切. 则球 O : 的面
积为( ) . ( B ) ( 7 + 4 √ 3 ) 7 r
( D ) 7 r
有5 种颜色, 问有多少种不同的着色方法, 使得相邻
两块不同色 , 且每块只涂一种颜 色?
( A ) ( 7 —4 √ 3 ) 7 r
( c ) T c
⑨
图2 图3
二、 填空题 ( 每小题 9 分, 共5 4 分)
1 6 . 如图 3 , △ A B C 的 外 接 圆 圆 心 为 0, 以
7 . 若直线 y = + 与曲线 =  ̄ / 1 一y 2 恰有一
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2 O O 4 年第3 期 △A B C 各边为对称轴, 求得 0的三个对称点 0 、 0 、 0 . 现将各点均擦去, 仅保留 0 、 0 、 0 , 试根
据这三个点重新作出△ A B C .
3 1
2 【 r + ( r + ) 】 = = .
r : , 4 7 r r 2 : ( 7 — 4 4 5 ) 7 c .
二、 7 . J } =一 √ 2 或J } ∈( 一1 , 1 ] .
8.1 5.
参考 答案
一
、
1 . D.
2 . A.
首先, J r ( ) 为偶函数, 故图像关于 Y 轴对称, 排
除( B ) 、 ( D ) . 再看图像和 轴都有交点, 图像与 轴
原 式 = ( 4 2 — 2 一 5 ) ( 1 5 1 0 + . . ? ) .
所以, 展开式中常数项 为( 一 5 ) ×1 + 4 × 5 =1 5 .
9.5 01 .
正 方 向 的 第 一 个 交 点 为 ( 1 , 0 ) , 第 二 个 为 ( 号 , 0 ) . 取
3
= ,
( s i n 0 + i c 0 8 0 ) = [ i ( c 0 s 0 一 i s i n ) ] = i [ c 0 8 ( 一 ) + i s i n ( 一 ) ]
=i ( c 0 s 一i s i n n O ) = i ( s i n n O +i c 0 s n O ) .
则 i ( 3 ) = 一 c 0 s l g l 导 l < 0 . 又 3 ∈
( 1 专 ) , 则 排 除 ( c ) .
3 . C .
女 口 果i 一 ( s i n, +i c 0 s n O ) =s i n n O +i c 0 s n O 。 贝 q
i ‘ = 1 于是 , n = 4 k +1 ≤2 0 0 3 , J } ( J } ≥0 ) 为整数 .
.
因 为 + ≤ 厕
4. D. 2 x 一
≤ √ 2 √ .
即
故 符 合 条 件 的 n 的 个 数 为 【
1 0.2 4 0.
】 + l _ 5 0 1 .
当且仅当 n =6 时等号成立 . 所 以, m≥2 寺, 即 m的最小值为 2 j.
一y 2一 一2 y一1=0
当十位数为0 时, 符合条件的凹数有9 × 8 个, 当十位数为 1 时, 符合条件的凹数有8 × 7 个, 当十位数为 7 时, 符合条件的凹数有2 × 1 个,
共有 7 2 +5 6 + 4 2 + 3 0 + 2 0 +1 2 +6 +2 = 2 4 0 个.
,
2 +Y+1 = 0 司 —Y 一1 = 0 .
3 x 一 4 x y+ 一 3 Y= 0 , 即
3 x— Y= 0 司 £ —Y一 1 = 0 .
专 .
由I +西 l = I a一胁 I ) 得
8 ? 西=( 3 一J } ) a +( 3 k 一1 ) 西 .
所以 , 已知 曲线都可以退化成 直线 。 且有一
对直线重合. 故两曲线有无穷多个公共点.
5 . B .
( 1 ) x I = 口 , 2 = l , 因1 >0 , 贝 4 a <0 I , I < 2 . ( 2 ) l =口 , 3 =0 , 1 =0 。 , 2 =0 I 。 . 而0 < I ,
故 =
韭
.
因为 a =( c 0 s 口 , s i n 口 ) , 西 =( c 0 s , s i n ) , 所以,
a2= 1
,
贝 U 1 >口 l ‘ . 于是 , 口 <0 , l < 3 .
1 ,
=
. 1
=
.
依此类推得 l < 勋< 奶< ….
( 3 ) :口 - x 3 >0 :1 , 则X 2 >1 : 4 .
4
因为 后 > 0 , 后 +1 ≥2 后 , 则 . 百 k 2 +1 ≥
依此类推得 2 > > 6 …. 故数列{ } 奇数项增, 偶数项减.
6 . A.
所以, a ? 西的最小值为 1.
1 2.91 .
将1 5 写成 1 5 个1 , 即1 +1 + …+ 1 = 1 5 , 其中1 4 个加号任取 2 个。 并把这两个加号分隔的 1 合并成
一
如 图 4所 示 。 设 球
O 的半径 为 r , 且设 球
个数得到方程的解 , 故解 的个数是 =9 1 个.
三、 1 3 . ( 1 ) l / ) I =I 似 + 一口 I
1 0 ( 一1 ) + I
O : 作在 D , 内. 则O 、 O 在对角线 B D 上. 设
.
C
=
4 D B=0 , 则 s i I 1 0=
.
≤1 0 (2 —1 ) I +I I ≤I 一1 I +I I
1
在 △D " E O 2 中,
图4
= ? 一 ? + ? - _ 一 ( ? t 一 ) + 鲁 ≤ 专 .
( 2 ) 当口 = 0 时, J r ( ) = ( I I ≤1 ) 的最大值是
1 ) =1 , 与题设矛盾 .
D ' O : = = r , D 。 D = r + 吉 . 于 是 ,
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3 2
中 等 数 学
当a ≠ 0 时, 厂 ( ) 为二次函数. ( i ) 当a > 0 时, 其开口向上, 故最大值只能在
= 一
种颜色中选一种涂这不相邻区 域有 种, 最后余下
两种颜色涂两个区域的方法有 种 . 根据乘法原理
1 或 =1 时取得 . 而f ( 一1 ) =a一1 一a=一1 .
有 G? d? 2 ? d? = 2 4 0 种方法.
矛盾 . 1 ) =a +1 一a =1 也矛盾 .
( 3 ) 用三种颜色. 选三种颜色有 《种方法. A 、 日 和D 、 C和E 各涂一种颜色有 种, 故得 《 = 6 0
种方法 . 据加法原理 , 共有 1 2 0 +2 4 0 + 6 0 = 4 2 0 种. 1 6 . ( 1 ) 如图 6 , 连结 O A、 O C 、 0 2 A 、
( i i ) 当a < 0 时, 最大值同样不会在 = 1 和 =
一
1 上取得, 故使得f ( ) = 。 +X —a ( I X I ≤1 ) 有
'1
最大值 , 只能等价于
,● ●● ●●, 、● I● L
{ f 一 1 < 一 1 < 1 ,
【 ) : ,
一
口 <
-
( 口
+ 2
●
0 : C , 则这 四条线 段 相 等, O A O : C 是 菱
形. 所 以,
0 , C A O. 图6
一 2
,
口
+
口<0
j a= 一2.
、 ll,
一 8
I l
1 4 . 因为 d >0 , 则数列是递增数列 , 故I P A I 为
0
同理 , O A O B也 是菱形 , A O 0 3 B . 于是, 0 , B/ /0 : C. 从 而, B C O : 0 3 为平行 四边 形, 故B C ∥0 : 0 3 .
最小 , I P . aI 为最大 .
如图 5 , 曲线
一
=
1 ( 2≤ ≤
( 2 ) 同理可证 A C ∥0 。 0 , , A B ∥0 0 : .
( 3 ) 由对称性可知
.
2 4 3 , y ≥ 0 ) 为双曲线
一
部分, A ( 4 3 , 0 ) 是
0
它的右焦点, 则右准
线 Z的方 程 为 =
2 Z
O 0 2 _ J ~ A C, O 0 I _ J — B C, O 0 3 _ J — A B.
则O 0 1 上0 2 0 3 , O 0 2 J _ 0 1 0 3 , O 0 3 上0 1 0 2 .
可见 0为△ 0 。 0 : 0 , 三条高线 的交点 . ( 4 ) 有了上面的分析 , 可见解法如下 : 当已知 0 、 0 : 、 0 , 时, 先作 出以它们为顶点 的 △0 0 : 0 , 三边上的高 , 得交点 0. 然后分别作线段 O 0 、 O 0 : 、 O 0 , 的中垂线 , 三条中垂线两两 的交点即
为 A、 B 、 C .
4
4 3
‘
图5
由 题意, 等差数列的第一项为I P 。 A I = 4 3— 2 ,
第n 项为I P : A J = 3 . 于 是, 有
3 = 一 2 ) + ( n 一1 ) d .
解得 d :
( n >1 ) .
( 从德兴 提供)
因 为 d ∈ ( { , 1 ) , 故 {
解得 ∈( 5 一 4 , 2 6 — 5 ) .
1 .
因为 n 为正整数, 所以, n 的最大值为 1 4 .
于是 , 当n ≤1 4时, 这1 4 个 点中任意连续 的
个点都能得到等差数列 . 又因为是等差数列 , 所以, n ≥3 .
因此 , n= 3 , 4 , 5 , …, 1 4 .
1 5 . 符合要求的涂色方法至少要用三种颜色, 所 以, 可分三类办法涂色 :
( 1 ) 用五种颜色 , 有 =1 2 0 种方法 . ( 2 ) 用 四种颜色 . 选四种颜色 的方法有 种 . 其
中选一种颜色涂 A有 a 种, 剩下 4 块涂三种颜色,
有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色, 选一组不 相邻区域的方法有2 种( 日 、 D或 C 、 E ) , 从余下的三