tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2003年安徽省高中数学竞赛(初赛)


维普资讯 http://www.cqvip.com

中 等 数 学 

2 0 0 3 年安徽省高中数学竞赛( 初赛)  




选择题( 每小题 6 分, 共3 6 分)  

个公共点, 则  的取值范围是 

.  

>1 . 定义 : A—B={   N + } , 则 Ⅳ一肘 等于(  
( A )  
(   ) .  
  J 了  

E   A且  B} . 若  ={ X   ) .  
( C ) { 1 }   ( D ) { 2   0 0 3  

I 1 ≤  ≤2   0 0 2 ,   ∈N +} , N={ , , l   2 ≤, , ≤2   0 0 3 , Y E  

8 . 在 ( 4   。 一 2 x 一 5 ) I   1 +   1 )的 展 开 式中 , 常 数  
项为
.  
— —

( B ) N  

2 . 函数, (  ) =一 ( c 0 s  ) l g   l  f 的部分图像是 

9 . 设n 为不超过 2   0 0 3 的正整数. 如果有一个角   0 使得( s i n   0+ i   c 0 s  )  =s i n   n O +i   c 0 s   n O 成立 , 则这 
种 n的总个数为  .  

 L J

,  

1 O . 三位数中, 如果十位上的数字比 百位上的数  字和个位上的数字都小, 则称这个数为凹数, 如5 0 4 、   7 4 6 等都是凹数. 那么, 各个数位上无重复数字的三  
位数中凹数共有  个.   1 1 . 已知 口=( c o s 口 , s i n口 ) , 6=( c 0 s 卢 , s i n卢 ) , 口  

\- ,O  V

l   f   .  
 

/ ^ \  

f—  
V  
J   l  

( A )  

( B )  

和6 之间有关系式l   + 6   I = √ 3   l 口 一胁l , 其中  >   0 . 则口 ? 6的最小值为   .   1 2 . 已知 X 、  : 均为正整数. 则方程 + Y +z =  
1 5 有  组解 .  

J  
\   0   l  ’  
( C )  
图 1  

三、 解答题 ( 每小题 1 5 分, 共6 0 分)  

1 3 . 设a E R , 函 数. 厂 (   ) = 似。 +  一口 ( 1   ≤1 ) .  

( D )  

( 1 ) 若l 口 l ≤ 1 , 试 证: l , (   ) l ≤ 音;  
3 . 若不等式  +   ≤m   a 2 +b 。 对所有正实 

( 2 ) 求使函数, (   ) 有最大值  的 。 的值.  


数o 、 b 都成立, 则 m的最小值是(  
( A ) 2   ( B ) √ 2   ( C )  

) .  

( D ) 4  

已 知A (  , o ) 和 曲 线 鲁一 y 2 = 1 ( 2 ≤   ≤  

4 . 曲线2   。 一   ~y 2 一  一 2 y 一 1 = 0 和3  一   4  +   一3  +, , = 0的交点有(   ) 个.  
( A ) 2  
= O , x 3

2  , , , ≥ 0 ) 上的点 P 1 , P 2 , …,   . 是否存在 n , 使得 
j   P   A l , l  A   l , …, 1  A   I 成等差数列, 且公差 d ∈  

( B ) 3  

( C ) 4  

( D ) 无穷多 

5 . 设0 <口 < 1 . 若 l =口 ,   2 =  l ,   3 =B  ,   4  
,… ,   :   - - ,… ,

( 了 1 ,   ) ? 若 存 在 , 求 出 n 可 取 的 所 有 值 ; 若 不 存  
在, 说明理 由. ( 取√ 5 = 2 . 2 4 )  

则数列{  } (  

) .  

( A ) 递增  

( B ) 奇数项增, 偶数项减  

1 5   某市 A有 4 个郊县( B 、 C 、 D、 E ) , 如图 2 . 现 

( c ) 递减  ( D ) 偶数项增, 奇数项减  6 . 在边长为 1 的正方体 C内, 作一个内切大球  0 。 , 再在 C内的一个角顶内, 作小球 0 : , 使它与大   球外切, 同时与正方体的三个面相切. 则球 O : 的面 
积为(   ) .   ( B ) ( 7 + 4 √ 3 ) 7 r  
( D )   7 r  

有5 种颜色, 问有多少种不同的着色方法, 使得相邻 
两块不同色 , 且每块只涂一种颜 色?  

( A ) ( 7 —4 √ 3 ) 7 r  
( c )   T c  

⑨ 
图2   图3  

二、 填空题 ( 每小题 9 分, 共5 4 分)  

1 6 . 如图 3 , △ A B C 的 外 接 圆 圆 心 为 0, 以  

7 . 若直线 y =  +   与曲线  =  ̄ / 1 一y 2 恰有一  

维普资讯 http://www.cqvip.com

2 O O 4 年第3 期  △A B C 各边为对称轴, 求得 0的三个对称点 0   、   0   、 0   . 现将各点均擦去, 仅保留 0   、 0   、 0   , 试根  
据这三个点重新作出△ A B C .  

3 1  

2 【   r + ( r +   ) 】 =  =   .  
r :   , 4 7 r r 2 : ( 7 — 4 4 5 ) 7 c .  
二、 7 . J } =一 √ 2 或J } ∈( 一1 , 1 ] .  
8.1 5.  

参考 答案  




1 . D.  

2 . A.  

首先, J r (   ) 为偶函数, 故图像关于 Y 轴对称, 排 
除( B ) 、 ( D ) . 再看图像和 轴都有交点, 图像与   轴 

原 式 = ( 4   2 — 2   一 5 ) ( 1   5   1 0 + . . ? ) .  
所以, 展开式中常数项 为( 一 5 ) ×1 + 4 × 5 =1 5 .  
9.5 01 .  

正 方 向 的 第 一 个 交 点 为 ( 1 , 0 ) , 第 二 个 为 ( 号 , 0 ) . 取  

=   ,

( s i n   0 + i   c 0 8   0 )  = [ i ( c 0 s   0 一 i   s i n  ) ]   = i   [ c 0 8 ( 一  ) + i   s i n ( 一  ) ]  
=i   ( c 0 s   一i   s i n   n O ) = i   ( s i n   n O +i   c 0 s   n O ) .  

则 i ( 3 ) = 一 c 0 s  l g   l 导 l < 0 . 又   3 ∈  

( 1 专 ) , 则 排 除 ( c ) .  
3 . C .  

女 口 果i   一   ( s i n,  +i   c 0 s   n O ) =s i n   n O +i   c 0 s   n O 。 贝 q  
i   ‘ = 1 于是 , n = 4 k +1 ≤2   0 0 3 , J } ( J } ≥0 ) 为整数 .  


因 为  +   ≤ 厕
4. D.   2 x  一  

≤ √ 2 √   .  
即 

故 符 合 条 件 的 n 的 个 数 为 【  
1 0.2 4 0.  

】 + l _ 5 0 1 .  

当且仅当 n =6 时等号成立 .   所 以, m≥2 寺, 即 m的最小值为 2 j.  
一y 2一   一2 y一1=0

当十位数为0 时, 符合条件的凹数有9 × 8 个,   当十位数为 1 时, 符合条件的凹数有8 × 7 个,   当十位数为 7 时, 符合条件的凹数有2 × 1 个,  
共有 7 2 +5 6 + 4 2 + 3 0 + 2 0 +1 2 +6 +2 = 2 4 0 个.  



2  +Y+1 = 0 司   —Y 一1 = 0 .  
3 x   一 4 x y+   一 3   Y= 0 , 即 

3 x— Y= 0 司 £   —Y一 1 = 0 .  

专 .  
由I   +西 l  =   I   a一胁 I )  得 
8  ? 西=( 3 一J }   ) a   +( 3 k   一1 ) 西   .  

所以 , 已知  曲线都可以退化成 直线 。 且有一 

对直线重合. 故两曲线有无穷多个公共点.  
5 . B .  

( 1 ) x I = 口   ,   2 =  l , 因1 >0 , 贝 4   a   <0   I ,   I <   2 .   ( 2 )   l =口   ,   3 =0  , 1 =0 。 ,   2 =0 I 。 . 而0 <  I ,  

故   =  

韭  

.  

因为 a =( c 0 s 口 , s i n 口 ) , 西 =( c 0 s  , s i n  ) , 所以,  
a2= 1
,  

贝 U   1 >口 l ‘ . 于是 , 口   <0  ,  l <  3 .  

1 ,  

=  

.   1
=  
.  

依此类推得 l < 勋< 奶< ….  
( 3 )   :口  - x 3 >0 :1 , 则X 2 >1 : 4 .  
4 

因为 后 > 0 , 后   +1 ≥2 后 , 则 . 百 k 2 +1 ≥  

依此类推得  2 >  >   6 ….   故数列{  } 奇数项增, 偶数项减.  
6 . A.  

所以, a ? 西的最小值为   1.  
1 2.91 .  

将1 5 写成 1 5 个1 , 即1 +1 + …+ 1 = 1 5 , 其中1 4   个加号任取 2 个。 并把这两个加号分隔的 1 合并成 


如 图 4所 示 。 设 球 

O   的半径 为 r , 且设 球 

个数得到方程的解 , 故解 的个数是  =9 1 个.  
三、 1 3 . ( 1 ) l /  ) I =I 似  +   一口 I  
1   0 (   一1 ) +  I  

O : 作在  D , 内. 则O   、   O   在对角线 B D   上. 设 


C  



4 D   B=0 , 则 s i I 1   0=  


≤1   0 (2 —1 ) I +I  I ≤I   一1 I +I  I  

1  

在 △D " E O 2 中,  

图4  

= ? 一  ? + ?   - _ 一 ( ?   t 一   )   + 鲁 ≤ 专 .  
( 2 ) 当口 = 0 时, J r (  ) =  ( I  I ≤1 ) 的最大值是 
1 ) =1 , 与题设矛盾 .  

D ' O : =  =   r , D 。 D   = r + 吉 . 于 是 ,  

维普资讯 http://www.cqvip.com

3 2  

中 等 数 学 

当a ≠ 0 时, 厂 (  ) 为二次函数.   ( i ) 当a > 0 时, 其开口向上, 故最大值只能在 
= 一

种颜色中选一种涂这不相邻区 域有  种, 最后余下 
两种颜色涂两个区域的方法有  种 . 根据乘法原理 

1 或  =1 时取得 . 而f ( 一1 ) =a一1 一a=一1 .  

有 G? d? 2 ? d?  = 2 4 0 种方法.  

矛盾 .  1 ) =a +1 一a =1 也矛盾 .  

( 3 ) 用三种颜色. 选三种颜色有 《种方法. A 、 日   和D 、 C和E 各涂一种颜色有  种, 故得 《  = 6 0  
种方法 .   据加法原理 , 共有 1 2 0 +2 4 0 + 6 0 = 4 2 0 种.   1 6 . ( 1 ) 如图 6 ,   连结 O A、 O C 、 0 2 A 、  

( i i ) 当a < 0 时, 最大值同样不会在  = 1 和  =  


1 上取得, 故使得f (   ) =  。 +X —a (   I X   I ≤1 ) 有  
'1  

最大值  , 只能等价于  
,● ●● ●●, 、● I● L  

{ f   一 1 < 一   1 < 1 ,  
【 ) :  ,  
一  

口   < 
-  

(   口 
+  2 



0 : C , 则这 四条线 段  相 等, O A O : C 是 菱 
形. 所 以,  
0 , C   A O.   图6  

一 2  
, 

口 
+ 

口<0  
j a= 一2.  

、 ll,

一 8   

I   l

1 4 . 因为 d >0 , 则数列是递增数列 , 故I   P   A   I 为 
0 

同理 , O A O   B也  是菱形 , A O   0 3 B .   于是, 0 , B/ /0 : C. 从 而, B C O : 0 3 为平行 四边  形, 故B C ∥0 : 0 3 .  

最小 , I P . aI 为最大 .  

如图 5 , 曲线 
一  



1 ( 2≤  ≤  

( 2 ) 同理可证 A C ∥0 。 0 , , A B ∥0   0 : .  
( 3 ) 由对称性可知 
.  

2 4 3 , y ≥ 0 ) 为双曲线 


部分, A ( 4 3 , 0 ) 是 
0  

它的右焦点, 则右准 
线 Z的方 程 为  =  

2   Z  

O 0 2 _ J ~ A C, O 0 I _ J — B C, O 0 3 _ J — A B.  

则O 0 1 上0 2 0 3 , O 0 2 J _ 0 1 0 3 , O 0 3 上0 1 0 2 .  

可见 0为△ 0 。 0 : 0 , 三条高线 的交点 .   ( 4 ) 有了上面的分析 , 可见解法如下 :   当已知 0   、 0 : 、 0 , 时, 先作 出以它们为顶点 的  △0   0 : 0 , 三边上的高 , 得交点 0. 然后分别作线段  O 0   、 O 0 : 、 O 0 , 的中垂线 , 三条中垂线两两 的交点即 
为 A、 B 、 C .  

4  

4 3  
‘  

图5  

由 题意, 等差数列的第一项为I   P 。 A   I = 4 3— 2 ,  

第n 项为I P : A   J = 3 . 于 是, 有  
3 =   一 2 ) + ( n 一1 ) d .  

解得 d :  

( n >1 ) .  

( 从德兴 提供)  

因 为 d ∈ ( { ,   1 ) , 故 {  
解得 ∈( 5   一 4 , 2 6 — 5  ) .  

1 .  

因为 n 为正整数, 所以, n 的最大值为 1 4 .  
于是 , 当n ≤1 4时, 这1 4 个 点中任意连续 的 

个点都能得到等差数列 .   又因为是等差数列 , 所以, n ≥3 .  
因此 , n= 3 , 4 , 5 , …, 1 4 .  

1 5 . 符合要求的涂色方法至少要用三种颜色, 所  以, 可分三类办法涂色 :  
( 1 ) 用五种颜色 , 有  =1 2 0 种方法 .   ( 2 ) 用 四种颜色 . 选四种颜色 的方法有  种 . 其 

中选一种颜色涂 A有 a 种, 剩下 4 块涂三种颜色,  
有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色, 选一组不   相邻区域的方法有2 种( 日 、 D或 C 、 E ) , 从余下的三 


推荐相关:

2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题_图文

2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007年-2013年安徽省高中数学竞赛初赛试题 2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题 1....


2013年-2015年安徽省数学竞赛初赛试题_图文

2013年-2015年安徽省数学竞赛初赛试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。百度文库---拉格朗日空气 安徽省南陵中学蒋舟林编辑 百度文库---拉格朗日空气 安徽省南陵中学蒋舟...


2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案

2015年全国高中数学联赛安徽省初赛试题和答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题(考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00-11:...


2012__安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2012__安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题一 选择题 1. 如果集合 A.B 同时满足 A B...


2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷word

2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷word_学科竞赛_高中教育_教育专区。2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、填空题(每题8分,共64分) x2 ? 2 x ? 3...


2013-2015年安徽省数学竞赛初赛答案

2013-2015年安徽省数学竞赛初赛答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013-2015年安徽省数学竞赛初赛答案 百度文库---拉格朗日空气 2013 年全国高中数学竞赛安徽赛区初赛...


2003年全国高中数学联赛试题及详细解析

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2003 年全国高中数学联赛)删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数, 得到一个新数列.这个数列的第 2003 ...


2005年安徽省高中数学竞赛初赛试题及参考答案

2005年安徽省高中数学竞赛初赛试题及参考答案_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2005年安徽省高中数学竞赛初赛试题及参考答案_学科...


2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题解答及评分参考

2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题解答及评分参考_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 年全国高中数学联赛安徽省初赛试题解答及评分参考一、填空题,每题 8 分 1...


2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷

2008年安徽省高中数学联赛初赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年安徽省高中...专题推荐 2003年安徽省高中数学竞... 2012年安徽高中数学竞赛......

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com