2003年安徽省高中数学竞赛(初赛)

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中 等 数 学　

２ ０ ０ ３ 年安徽省高中数学竞赛（ 初赛） 　
一

、

选择题（ 每小题 ６ 分， 共３ ６ 分） 　

个公共点， 则　 的取值范围是　

． 　

１ ． 定义 ： Ａ—Ｂ＝｛ 　 Ｎ ＋ ｝ ， 则 Ⅳ一肘 等于（ 　
（ Ａ ） 　
（ 　 ） ． 　
　 Ｊ 了 　

Ｅ 　 Ａ且　 Ｂ｝ ． 若　 ＝｛ Ｘ 　 ） ． 　
（ Ｃ ） ｛ １ ｝ 　 （ Ｄ ） ｛ ２ 　 ０ ０ ３ 　

Ｉ １ ≤ 　≤２ 　 ０ ０ ２ ， 　 ∈Ｎ ＋｝ ， Ｎ＝｛ ， ， ｌ 　 ２ ≤， ， ≤２ 　 ０ ０ ３ ， Ｙ Ｅ 　

８ ． 在 （ ４ 　 。 一 ２ ｘ 一 ５ ） Ｉ 　 １ ＋ 　 １ ）的 展 开 式中 ， 常 数 　
项为
． 　
— —

（ Ｂ ） Ｎ 　

２ ． 函数， （ 　） ＝一 （ ｃ ０ ｓ 　） ｌ ｇ 　 ｌ 　ｆ 的部分图像是　

９ ． 设ｎ 为不超过 ２ 　 ０ ０ ３ 的正整数． 如果有一个角 　 ０ 使得（ ｓ ｉ ｎ 　 ０＋ ｉ 　 ｃ ０ ｓ 　） 　＝ｓ ｉ ｎ 　 ｎ Ｏ ＋ｉ 　 ｃ ０ ｓ 　 ｎ Ｏ 成立 ， 则这　
种 ｎ的总个数为　 ． 　

　Ｌ Ｊ

， 　

１ Ｏ ． 三位数中， 如果十位上的数字比 百位上的数　 字和个位上的数字都小， 则称这个数为凹数， 如５ ０ ４ 、 　 ７ ４ ６ 等都是凹数． 那么， 各个数位上无重复数字的三 　
位数中凹数共有　 个． 　 １ １ ． 已知 口＝（ ｃ ｏ ｓ 口 ， ｓ ｉ ｎ口 ） ， ６＝（ ｃ ０ ｓ 卢 ， ｓ ｉ ｎ卢 ） ， 口 　

＼－ ，Ｏ　 Ｖ

ｌ 　 ｆ 　 ． 　
　

／ ＾ ＼ 　

ｆ— 　
Ｖ 　
Ｊ 　 ｌ 　

（ Ａ ） 　

（ Ｂ ） 　

和６ 之间有关系式ｌ 　 ＋ ６ 　 Ｉ ＝ √ ３ 　 ｌ 口 一胁ｌ ， 其中 　＞ 　 ０ ． 则口 ? ６的最小值为 　 ． 　 １ ２ ． 已知 Ｘ 、 　： 均为正整数． 则方程　＋ Ｙ ＋ｚ ＝ 　
１ ５ 有　 组解 ． 　

Ｊ 　
＼ 　 ０ 　 ｌ 　’ 　
（ Ｃ ） 　
图 １ 　

三、 解答题 （ 每小题 １ ５ 分， 共６ ０ 分） 　

１ ３ ． 设ａ Ｅ Ｒ ， 函 数． 厂 （ 　 ） ＝ 似。 ＋ 　一口 （ １ 　 ≤１ ） ． 　

（ Ｄ ） 　

（ １ ） 若ｌ 口 ｌ ≤ １ ， 试 证： ｌ ， （ 　 ） ｌ ≤ 音； 　
３ ． 若不等式　 ＋ 　 ≤ｍ 　 ａ ２ ＋ｂ 。 对所有正实　

（ ２ ） 求使函数， （ 　 ） 有最大值　 的 。 的值． 　
．

数ｏ 、 ｂ 都成立， 则 ｍ的最小值是（ 　
（ Ａ ） ２ 　 （ Ｂ ） √ ２ 　 （ Ｃ ） 　

） ． 　

（ Ｄ ） ４ 　

已 知Ａ （ 　， ｏ ） 和 曲 线 鲁一 ｙ ２ ＝ １ （ ２ ≤ 　 ≤ 　

４ ． 曲线２ 　 。 一 　 ～ｙ ２ 一 　一 ２ ｙ 一 １ ＝ ０ 和３ 　一 　 ４ 　＋ 　 一３ 　＋， ， ＝ ０的交点有（ 　 ） 个． 　
（ Ａ ） ２ 　
＝ Ｏ ， ｘ ３

２ 　， ， ， ≥ ０ ） 上的点 Ｐ １ ， Ｐ ２ ， …， 　 ． 是否存在 ｎ ， 使得　
ｊ 　 Ｐ 　 Ａ ｌ ， ｌ 　Ａ 　 ｌ ， …， １ 　Ａ 　 Ｉ 成等差数列， 且公差 ｄ ∈ 　

（ Ｂ ） ３ 　

（ Ｃ ） ４ 　

（ Ｄ ） 无穷多　

５ ． 设０ ＜口 ＜ １ ． 若　ｌ ＝口 ， 　 ２ ＝ 　ｌ ， 　 ３ ＝Ｂ 　， 　 ４ 　
，… ， 　 ： 　 － － ，… ，

（ 了 １ ， 　 ） ？ 若 存 在 ， 求 出 ｎ 可 取 的 所 有 值 ； 若 不 存 　
在， 说明理 由． （ 取√ ５ ＝ ２ ． ２ ４ ） 　

则数列｛ 　｝ （ 　

） ． 　

（ Ａ ） 递增 　

（ Ｂ ） 奇数项增， 偶数项减 　

１ ５ 　 某市 Ａ有 ４ 个郊县（ Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ、 Ｅ ） ， 如图 ２ ． 现　

（ ｃ ） 递减　 （ Ｄ ） 偶数项增， 奇数项减　 ６ ． 在边长为 １ 的正方体 Ｃ内， 作一个内切大球　 ０ 。 ， 再在 Ｃ内的一个角顶内， 作小球 ０ ： ， 使它与大 　 球外切， 同时与正方体的三个面相切． 则球 Ｏ ： 的面　
积为（ 　 ） ． 　 （ Ｂ ） （ ７ ＋ ４ √ ３ ） ７ ｒ 　
（ Ｄ ） 　 ７ ｒ 　

有５ 种颜色， 问有多少种不同的着色方法， 使得相邻　
两块不同色 ， 且每块只涂一种颜 色？ 　

（ Ａ ） （ ７ —４ √ ３ ） ７ ｒ 　
（ ｃ ） 　 Ｔ ｃ 　

⑨　
图２ 　 图３ 　

二、 填空题 （ 每小题 ９ 分， 共５ ４ 分） 　

１ ６ ． 如图 ３ ， △ Ａ Ｂ Ｃ 的 外 接 圆 圆 心 为 ０， 以 　

７ ． 若直线 ｙ ＝ 　＋ 　 与曲线 　＝ ￣ ／ １ 一ｙ ２ 恰有一 　

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２ Ｏ Ｏ ４ 年第３ 期　 △Ａ Ｂ Ｃ 各边为对称轴， 求得 ０的三个对称点 ０ 　 、 　 ０ 　 、 ０ 　 ． 现将各点均擦去， 仅保留 ０ 　 、 ０ 　 、 ０ 　 ， 试根 　
据这三个点重新作出△ Ａ Ｂ Ｃ ． 　

３ １ 　

２ 【 　 ｒ ＋ （ ｒ ＋ 　 ） 】 ＝ 　＝ 　 ． 　
ｒ ： 　 ， ４ ７ ｒ ｒ ２ ： （ ７ — ４ ４ ５ ） ７ ｃ ． 　
二、 ７ ． Ｊ ｝ ＝一 √ ２ 或Ｊ ｝ ∈（ 一１ ， １ ］ ． 　
８．１ ５． 　

参考 答案 　
一

、

１ ． Ｄ． 　

２ ． Ａ． 　

首先， Ｊ ｒ （ 　 ） 为偶函数， 故图像关于 Ｙ 轴对称， 排　
除（ Ｂ ） 、 （ Ｄ ） ． 再看图像和　轴都有交点， 图像与 　 轴　

原 式 ＝ （ ４ 　 ２ — ２ 　 一 ５ ） （ １ 　 ５ 　 １ ０ ＋ ． ． ? ） ． 　
所以， 展开式中常数项 为（ 一 ５ ） ×１ ＋ ４ × ５ ＝１ ５ ． 　
９．５ ０１ ． 　

正 方 向 的 第 一 个 交 点 为 （ １ ， ０ ） ， 第 二 个 为 （ 号 ， ０ ） ． 取 　
３
＝ 　 ，

（ ｓ ｉ ｎ 　 ０ ＋ ｉ 　 ｃ ０ ８ 　 ０ ） 　＝ ［ ｉ （ ｃ ０ ｓ 　 ０ 一 ｉ 　 ｓ ｉ ｎ 　） ］ 　 ＝ ｉ 　 ［ ｃ ０ ８ （ 一 　） ＋ ｉ 　 ｓ ｉ ｎ （ 一 　） ］ 　
＝ｉ 　 （ ｃ ０ ｓ 　 一ｉ 　 ｓ ｉ ｎ 　 ｎ Ｏ ） ＝ ｉ 　 （ ｓ ｉ ｎ 　 ｎ Ｏ ＋ｉ 　 ｃ ０ ｓ 　 ｎ Ｏ ） ． 　

则 ｉ （ ３ ） ＝ 一 ｃ ０ ｓ 　ｌ ｇ 　 ｌ 导 ｌ ＜ ０ ． 又 　 ３ ∈ 　

（ １ 专 ） ， 则 排 除 （ ｃ ） ． 　
３ ． Ｃ ． 　

女 口 果ｉ 　 一 　 （ ｓ ｉ ｎ， 　＋ｉ 　 ｃ ０ ｓ 　 ｎ Ｏ ） ＝ｓ ｉ ｎ 　 ｎ Ｏ ＋ｉ 　 ｃ ０ ｓ 　 ｎ Ｏ 。 贝 ｑ 　
ｉ 　 ‘ ＝ １ 于是 ， ｎ ＝ ４ ｋ ＋１ ≤２ 　 ０ ０ ３ ， Ｊ ｝ （ Ｊ ｝ ≥０ ） 为整数 ． 　
．

因 为 　＋ 　 ≤ 厕
４． Ｄ． 　 ２ ｘ 　一 　

≤ √ ２ √ 　 ． 　
即　

故 符 合 条 件 的 ｎ 的 个 数 为 【 　
１ ０．２ ４ ０． 　

】 ＋ ｌ ＿ ５ ０ １ ． 　

当且仅当 ｎ ＝６ 时等号成立 ． 　 所 以， ｍ≥２ 寺， 即 ｍ的最小值为 ２ ｊ． 　
一ｙ ２一 　 一２ ｙ一１＝０

当十位数为０ 时， 符合条件的凹数有９ × ８ 个， 　 当十位数为 １ 时， 符合条件的凹数有８ × ７ 个， 　 当十位数为 ７ 时， 符合条件的凹数有２ × １ 个， 　
共有 ７ ２ ＋５ ６ ＋ ４ ２ ＋ ３ ０ ＋ ２ ０ ＋１ ２ ＋６ ＋２ ＝ ２ ４ ０ 个． 　

，

２ 　＋Ｙ＋１ ＝ ０ 司 　 —Ｙ 一１ ＝ ０ ． 　
３ ｘ 　 一 ４ ｘ ｙ＋ 　 一 ３ 　 Ｙ＝ ０ ， 即　

３ ｘ— Ｙ＝ ０ 司 ￡ 　 —Ｙ一 １ ＝ ０ ． 　

专 ． 　
由Ｉ 　 ＋西 ｌ 　＝ 　 Ｉ 　 ａ一胁 Ｉ ） 　得　
８ 　? 西＝（ ３ 一Ｊ ｝ 　 ） ａ 　 ＋（ ３ ｋ 　 一１ ） 西 　 ． 　

所以 ， 已知　 曲线都可以退化成　直线 。 且有一　

对直线重合． 故两曲线有无穷多个公共点． 　
５ ． Ｂ ． 　

（ １ ） ｘ Ｉ ＝ 口 　 ， 　 ２ ＝ 　ｌ ， 因１ ＞０ ， 贝 ４ 　 ａ 　 ＜０ 　 Ｉ ， 　 Ｉ ＜ 　 ２ ． 　 （ ２ ） 　 ｌ ＝口 　 ， 　 ３ ＝０ 　， １ ＝０ 。 ， 　 ２ ＝０ Ｉ 。 ． 而０ ＜ 　Ｉ ， 　

故 　 ＝ 　

韭 　

． 　

因为 ａ ＝（ ｃ ０ ｓ 口 ， ｓ ｉ ｎ 口 ） ， 西 ＝（ ｃ ０ ｓ 　， ｓ ｉ ｎ 　） ， 所以， 　
ａ２＝ １
， 　

贝 Ｕ 　 １ ＞口 ｌ ‘ ． 于是 ， 口 　 ＜０ 　， 　ｌ ＜ 　３ ． 　

１ ， 　

＝ 　

． 　 １
＝ 　
． 　

依此类推得　ｌ ＜ 勋＜ 奶＜ …． 　
（ ３ ） 　 ：口 　－ ｘ ３ ＞０ ：１ ， 则Ｘ ２ ＞１ ： ４ ． 　
４　

因为 后 ＞ ０ ， 后 　 ＋１ ≥２ 后 ， 则 ． 百 ｋ ２ ＋１ ≥ 　

依此类推得　 ２ ＞ 　＞ 　 ６ …． 　 故数列｛ 　｝ 奇数项增， 偶数项减． 　
６ ． Ａ． 　

所以， ａ ? 西的最小值为 　 １． 　
１ ２．９１ ． 　

将１ ５ 写成 １ ５ 个１ ， 即１ ＋１ ＋ …＋ １ ＝ １ ５ ， 其中１ ４ 　 个加号任取 ２ 个。 并把这两个加号分隔的 １ 合并成　
一

如 图 ４所 示 。 设 球　

Ｏ 　 的半径 为 ｒ ， 且设 球　

个数得到方程的解 ， 故解 的个数是　 ＝９ １ 个． 　
三、 １ ３ ． （ １ ） ｌ ／ 　） Ｉ ＝Ｉ 似　 ＋ 　 一口 Ｉ 　
１ 　 ０ （ 　 一１ ） ＋ 　Ｉ 　

Ｏ ： 作在　 Ｄ ， 内． 则Ｏ 　 、 　 Ｏ 　 在对角线 Ｂ Ｄ 　 上． 设　
．

Ｃ 　

＝

４ Ｄ 　 Ｂ＝０ ， 则 ｓ ｉ Ｉ １ 　 ０＝ 　
．

≤１ 　 ０ （２ —１ ） Ｉ ＋Ｉ 　Ｉ ≤Ｉ 　 一１ Ｉ ＋Ｉ 　Ｉ 　

１ 　

在 △Ｄ ＂ Ｅ Ｏ ２ 中， 　

图４ 　

＝ ? 一 　? ＋ ? 　 － ＿ 一 （ ? 　 ｔ 一 　 ） 　 ＋ 鲁 ≤ 专 ． 　
（ ２ ） 当口 ＝ ０ 时， Ｊ ｒ （ 　） ＝ 　（ Ｉ 　Ｉ ≤１ ） 的最大值是　
１ ） ＝１ ， 与题设矛盾 ． 　

Ｄ ＇ Ｏ ： ＝ 　＝ 　 ｒ ， Ｄ 。 Ｄ 　 ＝ ｒ ＋ 吉 ． 于 是 ， 　

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３ ２ 　

中 等 数 学　

当ａ ≠ ０ 时， 厂 （ 　） 为二次函数． 　 （ ｉ ） 当ａ ＞ ０ 时， 其开口向上， 故最大值只能在　
＝ 一

种颜色中选一种涂这不相邻区 域有　 种， 最后余下　
两种颜色涂两个区域的方法有　 种 ． 根据乘法原理　

１ 或　 ＝１ 时取得 ． 而ｆ （ 一１ ） ＝ａ一１ 一ａ＝一１ ． 　

有 Ｇ? ｄ? ２ ? ｄ? 　＝ ２ ４ ０ 种方法． 　

矛盾 ． 　１ ） ＝ａ ＋１ 一ａ ＝１ 也矛盾 ． 　

（ ３ ） 用三种颜色． 选三种颜色有 《种方法． Ａ 、 日 　 和Ｄ 、 Ｃ和Ｅ 各涂一种颜色有　 种， 故得 《 　＝ ６ ０ 　
种方法 ． 　 据加法原理 ， 共有 １ ２ ０ ＋２ ４ ０ ＋ ６ ０ ＝ ４ ２ ０ 种． 　 １ ６ ． （ １ ） 如图 ６ ， 　 连结 Ｏ Ａ、 Ｏ Ｃ 、 ０ ２ Ａ 、 　

（ ｉ ｉ ） 当ａ ＜ ０ 时， 最大值同样不会在 　＝ １ 和 　＝ 　
一

１ 上取得， 故使得ｆ （ 　 ） ＝ 　。 ＋Ｘ —ａ （ 　 Ｉ Ｘ 　 Ｉ ≤１ ） 有 　
＇１ 　

最大值　 ， 只能等价于 　
，● ●● ●●， 、● Ｉ● Ｌ 　

｛ ｆ 　 一 １ ＜ 一 　 １ ＜ １ ， 　
【 ） ： 　， 　
一 　

口 　 ＜　
－ 　

（ 　 口　
＋　 ２　

●

０ ： Ｃ ， 则这 四条线 段　 相 等， Ｏ Ａ Ｏ ： Ｃ 是 菱　
形． 所 以， 　
０ ， Ｃ 　 Ａ Ｏ． 　 图６ 　

一 ２ 　
，　

口　
＋　

口＜０ 　
ｊ ａ＝ 一２． 　

、 ｌｌ，

一 ８　 　

Ｉ 　 ｌ

１ ４ ． 因为 ｄ ＞０ ， 则数列是递增数列 ， 故Ｉ 　 Ｐ 　 Ａ 　 Ｉ 为　
０　

同理 ， Ｏ Ａ Ｏ 　 Ｂ也　 是菱形 ， Ａ Ｏ 　 ０ ３ Ｂ ． 　 于是， ０ ， Ｂ／ ／０ ： Ｃ． 从 而， Ｂ Ｃ Ｏ ： ０ ３ 为平行 四边　 形， 故Ｂ Ｃ ∥０ ： ０ ３ ． 　

最小 ， Ｉ Ｐ ． ａＩ 为最大 ． 　

如图 ５ ， 曲线　
一 　

＝

１ （ ２≤ 　≤ 　

（ ２ ） 同理可证 Ａ Ｃ ∥０ 。 ０ ， ， Ａ Ｂ ∥０ 　 ０ ： ． 　
（ ３ ） 由对称性可知　
． 　

２ ４ ３ ， ｙ ≥ ０ ） 为双曲线　
一

部分， Ａ （ ４ ３ ， ０ ） 是　
０ 　

它的右焦点， 则右准　
线 Ｚ的方 程 为　 ＝ 　

２ 　 Ｚ 　

Ｏ ０ ２ ＿ Ｊ ～ Ａ Ｃ， Ｏ ０ Ｉ ＿ Ｊ — Ｂ Ｃ， Ｏ ０ ３ ＿ Ｊ — Ａ Ｂ． 　

则Ｏ ０ １ 上０ ２ ０ ３ ， Ｏ ０ ２ Ｊ ＿ ０ １ ０ ３ ， Ｏ ０ ３ 上０ １ ０ ２ ． 　

可见 ０为△ ０ 。 ０ ： ０ ， 三条高线 的交点 ． 　 （ ４ ） 有了上面的分析 ， 可见解法如下 ： 　 当已知 ０ 　 、 ０ ： 、 ０ ， 时， 先作 出以它们为顶点 的　 △０ 　 ０ ： ０ ， 三边上的高 ， 得交点 ０． 然后分别作线段　 Ｏ ０ 　 、 Ｏ ０ ： 、 Ｏ ０ ， 的中垂线 ， 三条中垂线两两 的交点即　
为 Ａ、 Ｂ 、 Ｃ ． 　

４ 　

４ ３ 　
‘ 　

图５ 　

由 题意， 等差数列的第一项为Ｉ 　 Ｐ 。 Ａ 　 Ｉ ＝ ４ ３— ２ ， 　

第ｎ 项为Ｉ Ｐ ： Ａ 　 Ｊ ＝ ３ ． 于 是， 有 　
３ ＝ 　 一 ２ ） ＋ （ ｎ 一１ ） ｄ ． 　

解得 ｄ ： 　

（ ｎ ＞１ ） ． 　

（ 从德兴 提供） 　

因 为 ｄ ∈ （ ｛ ， 　 １ ） ， 故 ｛ 　
解得　∈（ ５ 　 一 ４ ， ２ ６ — ５ 　） ． 　

１ ． 　

因为 ｎ 为正整数， 所以， ｎ 的最大值为 １ ４ ． 　
于是 ， 当ｎ ≤１ ４时， 这１ ４ 个 点中任意连续 的　

个点都能得到等差数列 ． 　 又因为是等差数列 ， 所以， ｎ ≥３ ． 　
因此 ， ｎ＝ ３ ， ４ ， ５ ， …， １ ４ ． 　

１ ５ ． 符合要求的涂色方法至少要用三种颜色， 所　 以， 可分三类办法涂色 ： 　
（ １ ） 用五种颜色 ， 有　 ＝１ ２ ０ 种方法 ． 　 （ ２ ） 用 四种颜色 ． 选四种颜色 的方法有　 种 ． 其　

中选一种颜色涂 Ａ有 ａ 种， 剩下 ４ 块涂三种颜色， 　
有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色， 选一组不 　 相邻区域的方法有２ 种（ 日 、 Ｄ或 Ｃ 、 Ｅ ） ， 从余下的三