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重庆市第十一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


重庆市第十一中学 2015 至 2016 学年度高二下半期 数 学 试 题(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1. 若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? A.第一象限

3 ? i ,则在复平面内 z 的共轭复数对应的点位于( )
C.

第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2 3 2 2. 已知函数 f(x)= x -2ax -3x(a∈R),若函数 f(x)的图像上点 P(1,m)处的切线方程为 3 3x-y+b=0,则 m 的值为( 1 A.- 3 1 B.- 2
2

) 1 C. 3 D. 1 2

3. 用数学归纳法证明命题:1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 增加的项数为( A. 2n ? 1 ) B. 2n
x

n2 ? n4 时,则从 n ? k 到 n ? k ? 1 左边需 2

C. 2n ? 1

D. n ? n ? 1
2

4. 已知点 P 在曲线 y= ( )

4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 e +1

? π? A.?0, ? 4? ?

?π π ? B.? , ? ?4 2?

?π 3π ? C.? , ? 4 ? ?2

D.?

?3π ,π ? ? ? 4 ?
)

5. 已知函数 y=f(x)的图象如左下图所示,则其导函数 y=f′(x)的图象可能是(

6. 过点(3, 1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线, 切点分别为 A, B, 则直线 AB 的方程为( A.4x-y-3=0 B.2x-y-3=0 C.2x+y-3=0 D.4x+y-3=0
2

2

2

)

7. 已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 1 相切,则 a 的 值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10

8. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是边 AB、BC 的中点,△AED、△EBF、 △FCD 分别沿 DE、EF、FD 折起,使 A、B、C 三点重合于点 A′,若四面体 A?EFD 的四 个顶点在同一个球面上,则该球面的面积为( ) .

1

A. 3?
2

B. 6?

C.

10?


9. 点 P 是曲线 y=x -lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是( A. 2 B. 2 2 C.

3 2 2

D. 3 2 ) .

10. 已知 ? , ? ? (0, ) ,且 A. ? ? ?

? 2

sin ?

?

?

sin ?

?
?
2

,则下列结论正确的是( C. ? ? ? D. ? ? ? ?

B. ? ? ? ?

?
2

2 11. 若圆 (x ? 3) ? ( y ? 5) 2 ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y=2 的距离

等于 1,则半径 r 的范围为( A. ?4, 6? B.(4,6)

) C. ?4, 6? D.[4,6]

1 , f (0) ? 11,则 12.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,其导函数为 f '( x) ,若 f (x) ? f '( x) ?
不等式 f ( x) ? A. (10,??)

e x ? 10 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) ex
,??) B. (??,0) ? (11
C. (??,11) D. ( ??, 0)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 2 13. 如图所示,图中曲线方程为 y=x -1,则围成封闭图形(阴影 的面积是__________. 14. 已 知 4 2 2+ = 2 3 7+ =7 2 , 3 3 3+ = 3 8 3 , 8 4 4+ = 15

部分)

4 ,…,若 15

a b

a ,(a、b 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a、b 的值, b

进而可得 a+b=________. 15. 以抛物线 y ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线的渐近线方程
2

为 . 3 16.设函数 f(x)=ax -3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数

a 的值为________.
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.17 题 10 分,其它题为 12 分。解答应写出文字 说明.证明过程或演算步骤) . 17. 设函数 f ( x) ? (1 ? x) ?2 ln( 1 ? x) .
2

(Ⅰ)对任意 x0 ? [0,1] ,不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的最小值;

2

(Ⅱ)若存在 x0 ? [0,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 成立,求实数 m 的取值范围.

18.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (1)若 f (1) ? ?5 ,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2], 函数 g ( x) ? x ? x [ f ?( x) ?
3 2

m ] 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围. 2

19. 设函数 f ( x) ? ln x ?

m ,m? R. x

⑴ 当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ? x ? 的最小值; (2) 若对任意 b ? a ? 0,

f ?b? ? f ? a ? ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

20.在三棱柱 ABC?A1B1C1 中, 四边形 AA1C1C 是 边长为 2 的菱形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C, ∠A1AC=60°,∠BCA=90°. (1)求证:A1B⊥AC1; (2)已知点 E 是 AB 的中点,BC=AC,求二面 角 B1 ? A1E ? C1 的正弦值

A1 B1

C1

A

C B

21. 已知动圆 P 与圆 F1:(x+1) +y =1 外切,与圆 F2:(x-1) +y =9 内切。动圆 P 的圆 心轨迹为曲线 E, 且曲线 E 与 y 轴的正半轴相交于点 M. 若曲线 E 上相异两点 A、 B 满足直线

2

2

2

2

MA,MB 的斜率之积为 .
(1)求 E 的方程; (2)证明直线 AB 恒过定点,并求定点的坐标;

1 4

3

22. 已知函数 f(x)= x +ax-lnx. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln x , F ( x) ? 3g ( x) ? 2 xg?( x) ,若函数 F(x)在定义域内有 两个零点 x1,x2,且 x1<x2,求证: F ?(

2

x1+x2 ) <0. 2

4

重庆市第十一中学 2015 至 2016 学年度高二下半期 数 学 试 题(理科)答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 C 14.55 4 D 5 A 6 C 7 B 8 B 16. 4 9 A 10 C 11 B 12 D

二、13. 2

15. y ? ? 3x

2x ? x ? 2? 2 ? , 1? x 1? x 当 x ? (0,1) 时, f ' ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上单调递增,
三、17. 解: (Ⅰ)? f ?( x) ? 2(1 ? x) ? 所以 f ( x)max ? f (1) ? 4 ? 2 ln 2 ,不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 恒成立, 等价于 m ? f ( x)max ? 4 ? 2 ln 2 ,所以 m 最小值为 4 ? 2 ln 2 。对任意 x0 ? [0,1] , . (Ⅱ)若存在 x0 ? [0,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 成立,等价于 m ? f ( x) min ? 1,所以 m 的取值范围为 [1,??) . 18.解(1)根据题意知, f (1) ? ?5 ,则 a ? 2 ,又 f ( x ) ?

2(1 ? x) ,x ? 0 x

f(x)的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(0,1]; a (2)∵f′(2)=- =1,∴a=-2,∴f(x)=-2ln x+2x-3.
2

? 2 3 2 ∴g(x)=x +? +2?x -2x,∴g′(x)=3x +(m+4)x-2. ?2 ? ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=-2,

?m

? g ?(t ) ? 0 ,由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立, ? g ?(3) ? 0 2 2 ∴ 3t ? (m ? 4)t ? 2 ? 0 ,则有 ? ( m ? 4) ? 3t ? 对于任意的 t∈[1,2] t 37 2 2 又 3t ? 在[1,2]上为增函数,则 ? ( m ? 4) ? 6 ? ,∴- <m<-9. 3 t 2 e 19. (1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ? ,易得函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) x 1 e x?e ? f ?( x) ? ? 2 ? 2 x x x
∴?

? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减;
当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (e, ??) 上单调递增;

e ? 当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值 f (e) ? ln e ? ? 2 ,? f ( x) 的最小值为 2 e f (b) ? f (a) ? 1 恒成立 (2)对任意 b ? a ? 0, b?a
等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ?

m ? x( x ? 0) x
5

?等价于h( x) 在 (0, ??) 上单调递减
? h?( x) ? 1 m ? ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立 x x2 1 1 ? m ? ? x 2 ? x ? ?( x ? ) 2 ? ( x ? 0) 恒成立 2 4 1 1 1 ?1 ? ? x) ( =0 仅在 x ? 时成立) ? m ? (对 m ? , h ,?m 的取值范围是 ? , ?? ? 4 4 2 ?4 ?
20 解:(1)证明:取 AC 的中点 O,连接 A1O, 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,A1O⊥AC, 所以 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC. 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 AA1C1C, 所以 AC1⊥BC.在菱形 AA1C1C 中,AC1⊥A1C, 所以 AC1⊥平面 A1BC,所以 A1B⊥AC1. (2)以点 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O?xyz,则 A(0,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),C1(0, 3), E (1,0,0, ) , A ,0,? 3) , 1 (0,0, 3) , B 1 (2,2, 3) , A 1E ? (1 设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 A1B1E A1B1 ? (2,2,0) , A1C1 ? (0,2,0, ) , 的法向量,则有 ?

2,

? x ? 3z ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0

不妨取 z=1 可得

n1 ? ( 3,? 3,1) 设 n2 ? ( x, y, z) 是平面 A1C1E 的法向量,则有
? x ? 3z ? 0 不妨取 z=1 可得 n2 ? ( 3,0,1) , ? ?2 y ? 0
设二面角 B1 ? A1E ? C1 为 θ ,则 n1 ? n2 ? 3 ? 1 ? 7 ? 2 cos? .则 sin ? ? 21. 解 (1)设动圆 P 的半径为 r ,由已知 PF 1 ? r ? 1 , PF 2 ? 3? r 则有 PF 1 ? PF 2 ? 4 |, 化简得曲线 E 的方程为 4 + 3 =1. (2)由曲线 E 的方程得,上顶点 M(0, 3),记 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,x1≠ 0,x2≠0. 若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB 的方程为 x=x1,故 y1=-y2,且 y1=
2

21 7

x2 y2

x2 y1- 3 y2- 3 y2 3 1 1-3 y2 · =- 2 = , 2=3(1- ),因此,kMA·kMB= 4 x1 x2 x1 4
与已知不符,因此直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB:y=kx+m,代入椭圆 E 的方程 + =1,得 4 3 (3+4k )x +8kmx+4(m -3)=0, ① 因为直线 AB 与曲线 E 有公共点 A,B,所以方程①有两个非零不等实根 x1,x2, 8km 4(m -3) 所以 x1+x2=- , 2,x1·x2= 2 3+4k 3+4k
2 2 2 2

x2 y2

6

又 kAM=

y1- 3 kx1+m- 3 y2- 3 kx2+m- 3 = ,kMB= = x1 x1 x2 x2

1 由 kAM·kBM= 得 4(kx1+m- 3)(kx2+m- 3)=x1x2, 4 即(4k -1)x1x2+4k(m- 3)(x1+x2)+4(m- 3) =0, 所以 4(m -3)(4k -1)+4k(m- 3)(-8km)+4(m- 3) ·(3+4k )=0, 化简得 m -3 3+6=0,故 m= 3或 m=2 3. 结合 x1x2≠0 知 m=2 3,即直线 AB 恒过定点 N(0,2 3). 22. 解: (Ⅰ)∵ x ? 0 , f ?( x) ?
2 2 2 2 2 2 2

2 x 2 ? ax ? 1 a ? a2 ? 8 2 ,由 2 x ? ax ? 1 ? 0 得 x1 ? <0 x 2

舍去, x2 ? 函数。

a ? a2 ? 8 ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, x2 ) 上为减函数,在 ( x2 ,??) 上为增 2

(Ⅱ)由已知 g ( x) ? x2 ? ax ? ln x , F ( x) ? ? x2 ? ax ? 3ln x ? 2 , 则 F ?( x) ? ?2 x ? a ?

3 ? 2 x 2 ? ax ? 3 ? , x x

F ?(

x1 ? x2 6 ………………① ) ? ?( x1 ? x2 ) ? a ? 2 x1 ? x2
2 2

又 ? x1 ? ax1 ? 3ln x1 ? 2 ? 0 , ? x2 ? ax2 ? 3ln x2 ? 2 ? 0 两 式 相 减 有

x ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? a) ? 3 ln 1 ? 0 x2
3 ln

x1 x2 , 则 x1 ? x2 ? a ? 代 入 ① 有 x1 ? x2 3 ln

x1 x ?x 6 3 x1 2( x2 ? x1 ) x2 ? F ?( 1 2 ) ? ? ( l n ? ) x1 ? x2 2 x1 ? x2 x2 ? x1 x2 x1 ? x2

x1 ) 3 x1 x1 ? x2 x x2 F ?( )? {ln ? } ,令 t ? 1 , 则 t ? (0,1) x 2 x2 ? x1 x2 x2 1? 1 x2 2(1 ?
h(t ) ? ln t ? 2(1 ? t ) 1 ? 4) (t ? 1)2 ? , h (t ) ? ? ? ?0 1? t t (1 ? t )2 (1 ? t )2 t

7

则 h(t ) 在 (0,1) 上为增函数,则有 h(t ) ? h(1) ? 0 ,又

3 ? 0 则 F ?( x1+x2 ) <0 2 x2 ? x1

8


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