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东北三省四市教研联合体2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题(一模)


2015 年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一) 数 学(理 科 类)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1、设集合 ? ? ? x ?2 ? x ? 3? , ? ? x 2 x ?1 ? 1 ,则 ? A. ?3, ??? 2、复数 z ? B. ? ?2, ?1?

/>
?

?

?? ?? ? (
R

) D. ? ?1,3?

C. ? ?1,3? )

2i ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( 1? i

A.第一象限

B.第二象限 )

C.第三象限

D.第四象限

3、下列四个命题中真命题的个数是(

①“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 ②命题“ ?x ? R , sin x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R , sin x ? 1 ” ③“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题为真命题 ④命题 p : ?x ??1, ??? , lg x ? 0 ,命题 q : ?x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 p ? q 为真命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 )

4、执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( A. 20 C. 40 B. 30 D. 50

5、将函数 f ? x ? ? cos 2x 的图象向右平移 数 g ? x ? ,则 g ? x ? 具有性质( )

? 个单位后得到 4



A.最大值为 1 ,图象关于直线 x ?

?
2

对称

? ?? B.在 ? 0, ? 上单调递增,为奇函数 ? 4?

? 3? ? ? C.在 ? ? , ? 上单调递增,为偶函数 ? 8 8?

? 3? ? D.周期为 ? ,图象关于点 ? , 0 ? 对称 ? 8 ?
) D. 5

6、等比数列 ?an ? 中, a4 ? 2 , a7 ? 5 ,则数列 ?lg an ? 的前 10 项和等于( A. 2 B. lg 50 C. 10

7、某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆心角为 60 的扇形,
·1 ·

则该几何体的侧面积为( A. 12 ?
10? 3

) B. 6 ?
10? 3

C. 12 ? 2?

D. 6 ? 4?
x2 y 2 ? ?1 (a ? b ? 0) a 2 b2

8、 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0 ) 与椭圆

有 椭

相同的焦点 F ,点 ? 是两曲线的一个公共点,且 ?F ? x 轴,则 圆的离心率为( A. 3 ?1 ) B. 2 ? 1 C.
5 ?1 2

D.

2 2 ?1 2

9、已知 ???C ? 90 , ?? ? 平面 ?? C ,若 ?? ? ?? ? ?C ? 1 ,则四面体 ??? C 的外接球 (顶点都在球面上)的表面积为( A. ? B. 3? ) C. 2? D. 3?

10、 在如图所示的坐标平面的可行域内 (阴影部分且包括边界) , 若目标函数 z ? x ? ay 取 得最小值的最优解有无数个,则 A. C.
2 5
1 6 y 的最大值是( x?a



B. D.

2 3
1 4

11 、 若 G 是 ??? C 的 重 心 , a , b , c 分 别 是 角 ? , ? , C 的 对 边 , 若
aG? ? bG? ? 3 cGC ? 0 ,则角 ? ? ( 3

) C. 45 D. 30 )

A. 90

B. 60

12、已知数列 ?an ? 中, an ? 0 , a1 ? 1 , an ? 2 ?
5 2

1 , a100 ? a96 ,则 a2014 ? a3 ? ( an ? 1

A.

B.

1? 5 2

C.

5 2

D.

?1 ? 5 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、 设随机变量 ? 服从正态分布 ? ?1,4? , 若 ? ? ? ? a ?1? ? ? ? ? ?2 a ? 则a ? 5 ?,
·2 ·



14、设 a ? ?

2

1

1? ? 2 xdx ,则 ? ax ? ? 的展开式中常数项为 x? ?

6



15、在直角梯形 ?? CD 中, ?D//? C , ???C ? 90 , ?? ? ?C ? 2 , ?D ? 1 ,梯形所在 平面内一点 ? 满足 ?? ? ?C ? 2?? ,则 ?C ??D ? . 16、已知函数 f ? x ? ? x ? e x ? e ? x ? ? ? 2 x ? 1? ? e 2 x ?1 ? e1? 2x ? ,则满足 f ? x ? ? 0 的实数 x 的取值 范围为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) ? 17、 (本小题满分 12 分) ???C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c , ? ? , 4 ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? 3 . 4? ? ? ? ? 求角 C ;

? ?? ? 若 b ? c ?

2 ? 3 ,求 ??? C 的面积.

18、 (本小题满分 12 分)2014 年 7 月 16 日,中国互联网络信息中心发布《第三十四次 中国互联网发展状况报告》 ,报告显示:我国网络购物用户已达 3.32 亿.为了了解网购者 一次性购物金额情况, 某统计部门随机抽查了 6 月 1 日这一天 100 名网购者的网购情况, 得到如下数据统计表.已知网购金额在 2000 元以上(不含 2000 元)的频率为 0.4 .

? ? ? 确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图; ? ?? ? 为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关,对这 100 名网购者调查显示:购物
金额在 2000 元以上的网购者中网龄 3 年以上的有 35 人,购物金额在 2000 元以下(含 2000 元)的网购者中网龄不足 3 年的有 20 人. ①请将列联表补充完整;
·3 ·

购物金额在 2000 元以上 购物金额在 2000 元以下 20 合计 100 ②并据此列联表判断, 是否有 97.5 %的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上 有关? 参考数据: ? ?? 2 ? k ? 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706 3.841
2

网龄 3 年以上 35

网龄不足 3 年

合计

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式: ? 2 ?

n ? ad ? bc ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

19、 (本小题满分 12 分)已知四棱锥 ? ? ??CD ,侧面 ??D ? 底面 ?? CD ,侧面 ??D 为 等边三角形,底面 ?? CD 为菱形,且 ?D?? ?

?
3



? ? ? 求证: ?? ? ?D ; ? ?? ? 求平面 ??? 与平面 ?CD 所成的角(锐角)的余弦值.

20、 (本小题满分 12 分)设抛物线的顶点在坐标原点,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的 直线交抛物线于 ? , ? 两点,线段 ?? 的长是 8 , ?? 的中点到 x 轴的距离是 3 . ? ? ? 求抛物线的标准方程;

? ?? ? 在抛物线上是否存在不与原点重合的点 ? ,使得过点 ? 的直线交抛物线于另一点 Q ,
满足 ?F ? QF ,且直线 ?Q 与抛物线在点 ? 处的切线垂直?并请说明理由.

·4 ·

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3 ( a ? 0 ) .

? ? ? 讨论 f ? x ? 的单调性; 2 ? ?? ? 若 f ? x? ? ? a ?1? x ? 4 ? e ? 0 对任意 x ? ? ? e, e ? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围( e 为自然
常数) ; . ? ??? ? 求证 ln ? 22 ? 1? ? ln ? 32 ? 1? ? ln ? 42 ? 1? ? ??? ? ln ? n2 ? 1? ? 1 ? 2 ln n! ( n ? 2 , n ? ?? )

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,? ,? ,C 为 ? 上的三个点,?D 是 ???C 的平分线, 交 ? 于点 D , 过?作 ? 的切线交 ?D 的延长线于点 ? . ? ? ? 证明: ?D 平分 ???C ;

? ?? ? 证明: ?? ? DC ? ?? ? ?? .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 2 cos ? 已知在直角坐标系 x?y 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,定点 ? ? y ? 3 sin ?
? 0, ? 3 , F1 、 F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点.

?

?

求经过点 F1 且平行于直线 ?F2 的 ? ? ? 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程; ? ?? ? 设 ? ? ? 中 直 线 l 与 圆 锥 曲 线 C 交 于 ? , ? 两 点 , 求

F 1? ? F 1? .

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
·5 ·

设函数 f ? x ? ? x ? 2 ? 2x ? 4 , g ? x ? ? a ? x .

? ? ? 当 a ? 3 时,解不等式 f ? x? ? g ? x? ; ? ?? ? 画出函数 y ? f ? x? 的图象,根据图象求使 f ? x? ? g ? x? 恒成立的实数 a 的取值范围.

·6 ·

2015 年数学科模拟试题答案(理科)
1 D 2 A 3 D 4 B 5 B 6 D 7 C 8 B 9 C 10 A 11 D 12 C

13. 2 17.(1)解:? 0 ? A ?

14. ?540

15. -1

16. ( ,1)

3 ? ? ? ,? ? A ? ? ? 4 4 4 ? 2? 5? ????????2 分 ?, A ? ? ,? A ? 4 3 12

1 3

?C ?
(2)

?

3

????????4 分

? sin B ?

2 3 , sin C ? 2 2

? b : c ? 2 : 3 ????????6 分
? b ? c ? 2 ? 3 ,? b ? 2 , c ? 3 ????????8 分

sin A ? sin( B ? C ) ?

6? 2 ????????10 分 4

? S ?ABC ?

1 1 6 ? 2 3 ? 3 频率 bc sin A ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 4 4 组距
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (千元)

????????12 分 18.答案:⑴因为网购金额在 2000 元以上的频率为 0.4 , 所以网购金额在 2000 元以上的人数为 100 ? 0.4 =40 所以 30 ? y ? 40 , 所以 y ? 10 ,????????1 分

x ? 15 ,????????2 分
所以 p ? 0.15, q ? 0.1 ????????4 分 所以频率分布直方图如右图????????5 分 ⑵由题设列联表如下
·7 ·

网龄 3 年以上 购物金额在 2000 元以上 购物金额在 2000 元以下 合计 所以 K ?
2

网龄不足 3 年 5 20 25

合 计 40 60 100 ????????7 分

35 40 75

n( ad ? bc ) 2 100(35 ? 20 ? 40 ? 5) 2 = ? 5.56 ????????9 分 75 ? 25 ? 40 ? 60 ( a ? b )(c ? d )( a ? c )(b ? d )

因为 5.56 ? 5.024 ????????10 分 所以据此列联表判断,有 97.5 %的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有关. ????????12 分 19.证明: (1)取 AD 中点 O ,连结 PO, BO . 侧面 PAD 为等边三角形,底面 ABCD 为菱形且 ?DAB ?

?
3

? PO ? AD, BO ? AD ????????2 分

PO ? BO ? O,? AD ? 面POB ????????4 分
? PB ? AD ????????5 分
(2)侧面 PAD ? 底面 ABCD ,侧面 PAD ? 底面 ABCD = AD ,

? PO ? 面ABCD , PO ? AD ? PO ? 面ABCD ????????7 分
以 O 为坐标原点, OA 方向为 x 轴, OB 方向为 y 轴, OP 方向为 z 轴建立空间直角坐标系,设 A 点 坐标为 (1,0,0) 则 B (0, 3 ,0), P (0,0, 3 ), D (?1,0,0), C (?2, 3 ,0)

? PA ? (1,0,? 3 ), PD ? (?1,0,? 3 ), AB ? (?1, 3 ,0) ????????8 分
设面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则?
?

? x1 ? 3 z1 ? 0 ?? x1 ? 3 y1 ? 0

,令 x1 ? 3 ,解得 n1 ? ( 3 ,1,1) ????????9 分
? ?

?

设面 PCD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,同理解得 n2 ? ( 3 ,1,?1) ????????10 分
·8 ·

? cos ? ?

n1 ? n2 n1 ? n2
? ?

?

?

?

3 ?1?1 3 ? 5? 5 5
3 ????????12 分 5

面 PAB 与面 PCD 所成的角(锐角)的余弦值为
2

20.解: (1)设抛物线的方程是 x ? 2 py ( p ? 0) , A( x A , y A ), B ( x B , y B ) , 由抛物线定义可知 y A ? y B ? p ? 8 ????????2 分 又 AB 中点到 x 轴的距离为 3,∴
2

y A ? y B ? 6 ,∴p=2,

所以抛物线的标准方程是 x ? 4 y .????????4 分
2 (2) 设 P(x1 , y1 ), x1 ? 0, Q ( x 2 , y 2 ) , 则 x ? 4 y 在 P 处 的 切 线 方 程 是 y ?

x1 x ? y1 , 直 线 2

PQ : y ? ?

2 8 x ? 2 ? y1 代入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? x ? 4(2 ? y1 ) ? 0 ,????????6 分 x1 x1 8 8 4 , x1 x 2 ? ?8 ? 4 y1 ,所以 x 2 ? ? ? x1 , y 2 ? ? y1 ? 4 ????????8 分 x1 x1 y1
2

故 x1 ? x 2 ? ?

而 FP ? FQ ? ? y1 ? 2 y1 ?
3 2

4 ? 7 ? 0 ????????10 分 y1

y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) ,得 ( y1 ? 1) 2 ( y1 ? 4) ? 0 ,所以 y1 ? 4 ,
存在点 P (?4,4) .????????12 分 (说明:没求出 y1 ,但说明关于 y1 的方程 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) 有解,也给分。
3 2

例如令 f ( y1 ) ? y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 , f (1) ? 0, f (5) ? 0 ,
3 2

所以 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) 有解)
3 2

21 解: (1) f ' ( x) ?

a (1 ? x) ( x ? 0) , x

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? ,单调减区间为 ?1, ?? ? ;????????3 分 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ?1, ?? ? ,单调减区间为 ? 0,1? ;????????4 分
·9 ·

(2)令 F ( x) ? a ln x ? ax ? 3 ? ax ? x ? 4 ? e ? a ln x ? x ? 1 ? e

F ' ( x) ?

x?a ?0 x

若 ? a ? e , a ? ?e , F ( x) x ? e, e

?

2

? 是增函数,
e ?1 ? e2 2
无解. ????????5 分

F ( x) max ? F (e 2 ) ? 2a ? e 2 ? e ? 1 ? 0, a ?
2 2

若 e ? ? a ? e , ? e ? a ? ?e , F ( x) , x ? ?e,? a ? 是减函数; x ? ? a, e 2 , 是增函数 ,

?

?

F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1 . F (e 2 ) ? 2a ? e 2 ? e ? 1 ? 0, a ?
e ?1 ? e2 ? ?e ? a ? ????????6 分 2
2
2 若 ? a ? e , a ? ?e , F ( x) x ? e, e

e ?1 ? e2 2

2

2

?

? 是减函数,

F ( x) max ? F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1 ,? a ? ?e 2 ?????7 分
综上所述 a ?

e ?1 ? e2 ????????8 分 2

(3)令 a ? ?1 (或 a ? 1 )此时 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f (1) ? ?2 , 由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 在 (1,??) 上单调递增,∴当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) ,即

? ln x ? x ? 1 ? 0 ,∴ ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立,????????9 分
∵ n ? 2, n ? N* ,则有 ln( ????????10 分 要证 ln(2 ? 1) ? ln(3 ? 1) ? ln(4 ? 1) ?
2 2 2

1 1 1 1 1 ? 1) ? 2 ? ? ? , 2 n n (n ? 1)n n ? 1 n

? ln( n 2 ? 1) ? 1 ? 2 ln n !( n ? 2, n ? N ? )
? ln( 1 ? 1) ? 1( n ? 2, n ? N ? ) 2 n

只需证 ln(

1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? 2 2 3 4

????????11 分

·10·

1 1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ? ln( 2 ? 1) 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n n ln(
所以原不等式成立????????12 分 22.⑴因为 BE 是⊙ O 的切线,所以 ?EBD ? ?BAD ????????2 分 又因为 ?CBD ? ?CAD , ?BAD ? ?CAD ????????4 分 所以 ?EBD ? ?CBD ,即 BD 平分 ?EBC .????????5 分 ⑵由⑴可知 ?EBD ? ?BAD ,且 ?BED ? ?BED

BE BD ,????????7 分 ? AE AB 又因为 ?BCD ? ?BAE ? ?DBE ? ?DBC ,所以 ?BCD ? ?DBC BD ? CD ????????8 分 BE BD CD 所以 ,????????9 分 ? ? AE AB AB 所以 AE ? DC ? AB ? BE ????????10 分
?BDE ∽ ?ABE ,所以
23.解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?

所以普通方程为 C :

x2 y2 ? ? 1 ????????2 分 4 3

A(0,? 3 ), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3 , l : y ? 3 ( x ? 1) ????????3 分
? 直线极坐标方程为: ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ?
????????5 分

?
3

)? 3

t ? x ? ?1 ? ? 2 ? (2)直线的参数方程是 ? (为参数) ,????????7 分 ? y ? 3t ? 2 ?
代入椭圆方程得 5t 2 ? 4t ? 12 ? 0 ????????8 分

12 ????????9 分 5 12 ?| F1 M || F1 N |? ????????10 分 5 ? t1 t 2 ? ?

·11·

?? 3 x ? 2, x ? ?2 ? 24.解: f ( x) ? ?? x ? 6,?2 ? x ? 2 ,????????2 分 ?3 x ? 2, x ? 2 ?
(1) a ? 3 , f ( x) ? g ( x) ? ?

?? 3 x ? 2 ? 3 ? x ?? x ? 6 ? 3 ? x ?3 x ? 2 ? 3 ? x 或? 或? ? x ? ?2 ?? 2 ? x ? 2 ?x ? 2

3 5 或x ? ,????????4 分 2 2 3 5 不等式的解集为 (??, ] ? [ ,??) ????????5 分 2 2 (2)图象????????8 分 y 所以 a ? 2 ????????10 分 ? x ? ?2或 - 2 ? x ?

4

0 2

x
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·12·


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