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2016年高考数学百日冲刺好题每天一练 第1天


2016 年高考数学百日冲刺好题每天一练 第 1 天
1.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R ,使得 e 0 ≤ 0
x

2 B. sin x ?

2 ≥3( x ? kπ, k ? Z ) sin x

C. ?x ? R, 2x ? x2 D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分不必要条件 2.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时,

? ?5 sin( x) (0 ? x ? 1) ? ?4 2 f ( x) ? ? ?( 1 ) x ? 1 ( x ? 1) ? ? 4

若关于 x 的方程 5 ? f ( x) ? ? (5a ? 6) f ( x) ? 6a ? 0
2

(a?R ) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是(



5 4 5 C. 0 ? a ? 1或a ? 4
A. 0 ? a ? 1或a ?

B. 0 ? a ? 1或a ? D. 1 ? a ?

5 4

5 或a ? 0 4

?1 ? x ? 2 ? 3.已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定.若 M ( x, y ) 为 ? x ? 2y ?
D 上的动点,点 A 的坐标为 (2,1) ,则 z ? OA ? AM 的最大值为(
A. ?5 B. ?1 C. 1 D. 0

??? ? ???? ?



4.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4 a1 ,2 a 2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 S4 = ( ) A.7 B.15 C.31 D.8

5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是

9 3 C. D.3 2 2 0 ? x ?1 2 2 6.在区域 ? ?0 ? y ? 1 内任意取一点 P ( x, y ) ,则 x ? y ? 1 的概率是 ? ? 1 ? ? A.0 B. ? C. 1 ? D. 4 2 4 4
A.2 B. 7.一个算法的程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( 开始 ) .

k ? 0,?S ? 0

S<1000




S ? S+2S
输出 k

k ? k ?1
A.4 B. 5

结束 C. 6 D. 7

8.已知 F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点, A 为右顶点, P 是椭圆上一点, a 2 b2

PF ? x 轴.若 PF ?
(A)

1 AF ,则该椭圆的离心率是( 4
(C)



1 4

(B)

3 4

1 2

(D)

3 2

9 .设函数 f ( x) ?

15 sin(?x) ,若存在 x0 ? (?1,1) 同时满足以下条件:①对任意的 2

x ? R , 都 有 f ( x) ? f ( x0 ) 成 立 ; ② x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 , 则 m 的 取 值 范 围
是 .

10.观察下面的算式:

1 1 1 12 ? ?1? 2 ? 3 , 12 ? 22 ? ? 2 ? 3 ? 5 , 12 ? 2 2 ? 32 ? ? 3 ? 4 ? 7 , 6 6 6
则 12 ? 22 ? ? ? n2 ? (其中 n ? N ) .
*

11. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 2 x ? 1 ( a ? R ) . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 ( 0 , f (0) ) 处的切线方程; (2)是否存在常数 a ,使得 ?x ?[ ? 2 , 4 ] , f ( x) ? 3 恒成立?若存在,求常数 a 的值 或取值范围;若不存在,请说明理由.

12. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足:a2 ? a3 ? a4 ? 28, 且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; ( Ⅱ ) 若 数 列 {an} 是 单 调 递 增 的 , 令 bn ? an log1 an , Sn ? b1 ? b2 ?
2

? bn , 求 使

Sn ? n ? 2n?1 ? 50成立的正整数 n 的最小值.

参考答案 1.D
x x?? 1 【 解 析 】 则 指 数 函 数 性 质 可 知 , ?x ? R, e ? 0所 以 A 错 ; 当 s i n 时,
2 sin x?

2 ?? ? 1 ,所以 3 B 错;当 x ? 3 时, 23 ? 32 ,所以 C 错;由不等式性质可知 sin x

a ? 1, b ? 1 ? ab ? 1 ,但 a ? ?2, b ? ?2 时, ab ? 1 不符合 a ? 1, b ? 1 ,所以 D 正确.
2.C

? ?5 sin( x) (0 ? x ?1) ? ?4 2 【解析】作出 f ( x) ? ? 的图象如下, ?( 1 ) x ? 1 ( x ? 1) ? ? 4

又∵函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数, 且关于 x 的方程 5 ? f ( x) ? ? (5a ? 6) f ( x) ? 6a ? 0 ,a∈R 有且仅有 6 个不同实数根,等价
2

6 或 f ( x) ? a ,a∈R 共有且仅有 6 个不同实数根; 5 6 而方程 f ( x) ? 由图知有四个不同的实数根,所以必须且只需方程 f ( x) ? a ,a∈R 有且 5 5 仅有 2 个不同实数根,由图可知 0 ? a ? 1 或 a ? ;故选 C. 4
于 f ( x) ? 3.C 【解析】作出区域 D:

, 由于 z ? OA ? AM ? (2,1) ? ( x ? 2, y ? 1) ? 2 x ? y ? 5 , 显然平移 l0 : y ? ?2 x 到经过点 D(2,2)时取得最大值为: z MAX ? 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 1 ; 故选 C. 4.B 【解析】 设等比数列的公比为 q , 4 a1 , 2 a 2 ,a3 成等差数列, 则 4a1q ? 4a1 ? a1q ? q ? 2,
2

??? ? ???? ?

24 ? 1 S ? ? 15 又 a1 ? 1 ,则 4 2 ?1
5.D 【解析】由三视图可以看出俯视图是底边分别为 1 与 2,且直角腰为 2 的直角梯形,其面积

1 ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 . 2 1 而 x 是几何体的高,则 ? 3 x ? 3 ,解得 x ? 3 3 S?
6.C 【解析】由题意可得,区域 ?

?0 ? x ? 1 表示的是以 1 为边长的正方形 ABCD,其面积为 1 ?0 ? y ? 1

记“在区域 ?

?0 ? x ? 1 内任意取一点 P ( x, y ) ,则 x 2 ? y 2 ? 1 ”事件为 A,则 A 包含的区域 ?0 ? y ? 1

为正方形内除去阴影部分,其面积为 1 ? 7.A 【解析】初始条件:k=0,S=0

? ? , P( A) ? 1 ? . 4 4

运行第 1 次:S=0<1000 是,S=0+2 =1,k=1; 运行第 2 次:S=1<1000 是,S=1+2 =3,k=2;
1

0

运行第 3 次:S=3<1000 是,S=3+2 =11,k=3; 运行第 4 次:S=11<1000 是,S=11+2 =2059,k=4; 运行第 5 次:S=2059<1000 否,输出 k=4; 故选 A. 8.B
11

3

b2 b2 2 2 【解析】根据椭圆性质,|PF|= ,|AF|=a+c,由题意:16 ( ) ? (a ? c) a a
即:16b =a (a+c)
2 2 2 4 2 2

∴ 16(a -c ) =a (a+c) ∴ 16(1-e ) =(1+e) ∴ 16(1-e) =1 ∵ 0<e<1,故 1-e=
2 2 2 2

2

2

1 4

∴ e=

3 4

9. ?? ?,?2? ? ?2,??? 【解析】 对任意的 x ? R , 都有 f ( x) ? f ( x0 ) 成立, ? f ?x0 ? ? f ?x ?min ?

1 15 , 此时 x0 ? , 2 2

1 15 ? ? m 2 ,解得 m ? 2 或 m ? ?2 . 4 4 1 10. n ? n ? 1?? 2n ? 1? . 6
所以 【解析】第一个式子左边一个数的平方,右边从 1 开始连续两个整数相乘再乘 第二个式子左边两个数的平方和,右边从 2 开始连续两个整数相乘再乘 第

1 ? 2 ?1 ? 1? ; 6

1 ? 2 ? 2 ? 1? ; ; 6

n 个式子左边 n 个数的平方和,右边从 n 开始连续两个整数相乘再乘

1 1 ? 2 ? n ? 1? , ?12 ? 22 ? L ? n2 ? n ? n ? 1?? 2n ? 1? . 6 6 1 11. (1) y ? 2 x ? 1 (2)存在 a ? ? , ?x ?[ ? 2 , 4 ] , f ( x) ? 3 恒成立 2
【解析】 (1)求导,得到曲线 y ? f ( x) 在点 ( 0 , f (0) ) 处的切线斜率,代入点斜式即可; ( 2 ) 构 造 函 数 g ( x) ?

4 2 1 ? 2 ? , x ?[ ? 2 , 0) ? (0 , 4] 讨 论 其 单 调 性 可 知 , 3 x x x

?x ?[ ? 2 , 0)



g ( x) ? g (?2) ? ?

1 2



?x ? (0 , 4]



g ( x) ? g (2) ? ?

1 2

由 由

4 2 1 ? 2 ? , a 的取值范围为 3 x x x 4 2 1 1 1 (?? , ? ] ,当 x ?[ ? 2 , 0) 时, a ? 3 ? 2 ? , a 的取值范围为 [? , ? ?) x x x 2 2

f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 2x ? 1 ? 3 , 当 x ? (0 , 4] 时 , a ?

∵(?? , ?

1 1 ? 1? 1 ] ? [ ? , ? ?) ? ?? ? , f (0) ? ?1 ? 3 恒成立,∴ a ? ? 2 2 2 ? 2?

解: (1) f / ( x) ? 3ax 2 ? 2 x ? 2 ,所求切线的斜率 k ? f / (0) ? 2 所求切线方程为 y ? f (0) ? k ( x ? 0) 即 y ? 2x ? 1 ( 2 ) 由

f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 2x ? 1 ? 3 , 作 函 数 g ( x) ?

4 2 1 ? 2 ? , 其 中 3 x x x

x ?[ ? 2 , 0) ? (0 , 4]
g / ( x) ? ? 12 4 1 1 ? 3 ? 2 ? 4 ( x ? 6)( x ? 2) 4 x x x x
[ ? 2 , 0)
- ↘

x

(0 , 2)
- ↘

2
0 极小值

(2 , 4]
+ ↗

g / ( x)
g ( x)

1 1 ; ?x ? (0 , 4] , g ( x) ? g (2) ? ? 2 2 4 2 1 由 f ( x) ? ax 3 ? x 2 ? 2x ? 1 ? 3 , 当 x ? (0 , 4] 时 , a ? 3 ? 2 ? , a 的 取 值 范 围 为 x x x 4 2 1 1 1 (?? , ? ] ,当 x ?[ ? 2 , 0) 时, a ? 3 ? 2 ? , a 的取值范围为 [? , ? ?) x x x 2 2
由上表可知, ?x ?[ ? 2 , 0) , g ( x) ? g (?2) ? ? ∵(?? , ?

1 1 ? 1? 1 ] ? [ ? , ? ?) ? ?? ? , f (0) ? ?1 ? 3 恒成立,∴ a ? ? 2 2 2 ? 2?
1 2
n ?6

12. (Ⅰ) an ? 2n 或 an ? 【解析】

; (Ⅱ)5。

(Ⅰ)用基本量法,即用 a1 , q 表示已知条件,列出方程,解之即可; (Ⅱ)先根据数列单调性确定数列为 an ? 2n ,从而求出数列 {bn } 的通项公式,用错位相减 法求 Sn ,列出不等式可求 n 的最小值.

解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q. 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,可得 a3 ? 8 , 2分

1 ? 2 ? ?q ? 2, ?a1q ? 8, ?q ? , 解之得 ? 或? ? a2 ? a4 ? 20 ,? ? 2 3 ? ?a1 ? 2 ?a1q ? a1q ? 20, ? ? a1 ? 32.

4分

?q ? 2, 当? 时, an ? 2n ; ?a1 ? 2

1 ? 1 ?q ? , 当? 2 时, an ? n ?6 . 2 ? ? a1 ? 32.
1 2
n ?6

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n 或 an ?



6分

(Ⅱ)∵等比数列{an}是单调递增的,? an ? 2n ,? bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n ,
2

? Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2n )

③ 由③-④,得

8分

2Sn ? ?[1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ] ④ Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1.
? Sn ? n ? 2n?1 ? 50 即 2n?1 ? 2 ? 50 ,即 2n?1 ? 52.

10 分

易知:当 n ≤ 4 时, 2n ?1 ≤ 25 ? 32 ? 52 ,当 n ≥ 5 时, 2n ?1 ≥ 26 ? 64 ? 52 故使 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 12 分


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