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安徽省黄山市屯溪一中2015-2016学年高二上学期期中试题 数学(文)


屯溪一中 2015—2016 学年第一学期期中检测 高二数学(文科) 试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请填在答题卡的指定位置.) 1.若直线过点(1,2)、(4,2+),则此直线的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.若三点 A(3,1)、B(-2,b)、C(8,11)在同一直线上,则实数 b 等于( ) A.2 B.3 C.9 D.-9 3.下列叙述中正确的是( ) A.若直线的倾斜角为α ,则直线的斜率为 tanα B.若直线的斜率为 tanα ,则直线的倾斜角为α C. 经过任意两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线,都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) 来表示 D.经过定点 P0(x0,y0)的直线,都可以用方程 y-y0=k(x-x0)来表示 4.已知直线 l1:ax+4y-2=0 与直线 l2:2x-5y+b=0 互相垂直,垂足为(1,c),则 a+b +c 的值为( ) A.-4 B.20 C.0 D.24 5.若圆锥的母线长是 8,底面周长为 6π ,则其体积是( ) A.24π B.24 C.3π D.3 6.如图,若Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其 中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正 确的是( ) A.EH∥FG C.Ω 是棱柱 B.四边形 EFGH 不是矩形 D.Ω 不是棱台

7.把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱,则圆柱的高为( ) A.R B.2R C.3R D.4R 8.一个水平放置的三角形的直观图是一个边长为 1 的正三角形,则原三角形的面积为( ) 6 3 3 6 A.4 B.4 C.2 D.2 9.已知不重合的两条直线 l、m 和不重合的两个平面α 、β ,下列命题正确的是( ) A.l∥m,l∥β ,则 m∥β B.α ∩β =m,l?α ,则 l∥β C.l⊥m,m⊥β ,l⊥α ,则α ⊥β D.α ⊥β ,l⊥α ,则 l∥β

10 .正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 BB1 中点(如图),用过点 A,E,C1 的 分,则剩余几何体的左视图为 的 平面截去该正方体的上半部 ( )

11.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成三棱锥 C-ABD,它的主视图与俯视图如 图所示,则二面角 C-AB-D 的正切值为( A. 2 C. 3 ) B. D.

12.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2,BC=,D、E 分别是 AC1 和 BB1 的中点, 则直线 DE 与平面 BB1C1C 所成的角为( )

π A. 6 π C. 3

π B. 4 π D. 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中的横线上) 13 .等边三角形的边长为 a ,它绕其一边所在的直线旋转一周,则所得旋转体的表面积为 ________. 14. 已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点. 若点 A(5,0)到直线 l 的距离为 3, 则直线 l 的方程为 . 15.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 是 BC1 的中点,P 是棱 BB1 上的动点,则 AP+MP 的最小值为________.

16.一个水平放置的圆柱形储油桶 (如图所示), 1 桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的4,则油桶直立时,油的高度与桶 的高度的比值是________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)某个几何体的三视图如图所示(单位:m), (1)求该几何体的表面积(结果保留π );

(2)求该几何体的体积(结果保留π ).

18.( 本小题满分 12 分) 当 m 分别为何值时,直线(2m +m-3)x+(m -m)y=4m-1. (1)倾斜角为 45°. (2)在 x 轴上的截距为 1.

2

2

19.(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三个顶点 A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4), 求:(1)AC 边上的高 BD 所在直线方程. (2)BC 边的垂直平分线 EF 所在直线方程.

(3)AB 边上的中线的方程.

1 20.( 本小题满分 12 分)在如图的多面体中,AE⊥平面 BEFC,AD∥EF∥BC,BE=AD=EF=2BC,

G 是 BC 的中点.
(1)求证:AB∥平面 DEG; (2)求证:EG⊥平面 BDF.

21.(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AC=2AB=2,且 BC1⊥A1C. (1)求证:平面 ABC1⊥平面 A1ACC1; (2)设 D 是 A1C1 的中点,判断并证明在线段 BB1 上是否存在点 E,使 DE∥平面 ABC1;若存 在,求三棱锥 E-ABC1 的体积.

22.(本小题满分 12 分)已知等边三角形 ABC 的边长为 a,沿平行于 BC 的线段 PQ 折起,使平 面 APQ⊥平面 PBCQ,设点 A 到直线 PQ 的距离为 x,AB 的长为 d.问:当 x 为何值时,d 取得 最小值,最小值是多少?

屯溪一中 2015—2016 学年第一学期期中检测

高 二数学(文科) 答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 3-2 3 1.A 利用斜率公式 k=4-1=3=tan θ ,可求倾斜角为 30°. 2.D 由 kAB=kAC 得 b=-9. 3.C a 2 4.A 垂足(1,c)是两直线的交点,且 l1⊥l2,故-4·5=-1,∴a=10. l:10x+4y-2=0.将(1,c)代入,得 c=-2;将(1,-2)代入 l2:得 b=-12. 则 a+b+c=10+(-12)+(-2)=-4. 5.C 6.B∵EH∥A1D1, ∴EH∥B1C1, ∴EH∥平面 BB1C1C.由线面平行性质,EH∥FG. 同理 EF∥GH.且 B1C1⊥面 EB1F. 由直棱柱定义知几何体 B1EF-C1HG 为直三棱柱, ∴四边形 EFGH 为矩形,Ω 为五棱柱.故选 B. 7.D 2 6 8.D 原图与其直观图的面积比为 4∶,所以 4=4,所以 S 原=2. 9.C l?β ,l∥m,m?β 时,l∥β ,故 A 错;α ∩β =m,当 l?α 且 l∥m 时,l∥β ,当 l 与 m 相交时,l 与β 相交,故 B 错;α ⊥β ,当 l?β ,l 与α 和β 的交线垂直,l⊥α 时,但

l∥β 不成立,故 D 错;∵l⊥m,l⊥α ,∴m?α 或 m∥α ,又 m⊥β ,
∴α ⊥β ,故 C 正确. 10.C 由条件知 AE∥平面 DD1C1C,平面 AEC1 与平面 DD1C1C 相交,故交线与 AE 平行,∵E 为 BB1 的中点,故取 DD1 的中点 F,∴AE 綊 C1F,故截面为 AEC1F(如图 1),截去正方体的上半部分后, 剩余部分几何体直观图如图 2, 故其左视图形状与直角梯形 FD1A1A 相同, 且 C1E 的射影为虚线, 1 由于 B1E=2AA1,故 E 点射影在直角梯形下底的中点,故选 C. 11.B 三棱锥 C-ABD 直观图如图,平面 CBD⊥平面 ABD,CO⊥平面 ABD,作 OE∥AD,∵AD⊥AB, ∴OE⊥AB,连结 CE,则 CE⊥AB,∴∠CEO 为二面角 C-AB-D 的平面角,在 Rt△COE 中,OE 1 1 2 CO =2AD=2,CO=2,∴tan∠CEO=OE=. 12.A 取 AC 中点 F,则 DFBE 为平行四边形,∴DE∥BF, ∴BF 与平面 BB1C1C 所成的角为所求, ∵AB=1,BC=,AC=2,∴AB⊥BC, 又 AB⊥BB1,∴AB⊥平面 BCC1B1,作 GF∥AB 交 BC 于 G,则 GF⊥平面 BCC1B1,∴∠FBG 为直线

BF 与平面 BCC1B1 所成的角,由条件知 BG=2BC=2,GF
1 1 =2AB=2, GF 3 π ∴tan∠FBG=BG=3,∴∠FBG= 6 . 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.π a
2

1

3

2x+y-5=0, 14.解 方法一 联立 x-2y=0 得交点 P(2,1), 当直线斜率存在时,设 l 的方程为 y-1=k(x-2), 即 kx-y+1-2k=0, |5k+1-2k| 4 ∴ k2+1 =3,解得 k=3, 4 ∴l 的方程为 y-1=3(x-2),即 4x-3y-5=0. 当直线斜率不存在时,直线 x=2 也符合题意. ∴直线 l 的方程为 4x-3y-5=0 或 x=2. 方法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ (x-2y)=0, 即(2+λ )x+(1-2λ )y-5=0, |5(2+λ -5| ∴(2+λ 2+(1-2λ 2=3, 1 2 即 2λ -5λ +2=0,解得λ =2 或2, ∴直线 l 的方程为 4x-3y-5=0 或 x=2. 15.
2

将平面 ABB1A1 展开到与平面 CBB1C1 共面,如下图,易知当 A、P、M 三点共线时(AP

+MP) 最小.

AM2=AB2+BM2-2AB×BMcos135°=12+(2)2-2×1×2×(-2)=2.

2

2

2

5

1 1 16.4-2π 解析 设圆柱桶的底面半径为 R, 高为 h,油桶直立时油面的高度为 x, 1 x 1 1 2 则R2h=π R x,所以h=4-2π . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解: 由三视图可知: 该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体,上半部分是半径为 1 m 的半球. (1)几何体的表面积为 1 S=2×4π ×12+6×22-π ×12=24+π (m2).

(2)几何体的体积为 1 4 2π V=23+2×3×π ×13=8+ 3 (m3). 18.解:(1)倾斜角为 45°,则斜率为 1. 所以-=1,解得 m=-1,m=1(舍去), 直线方程为 2x-2y-5=0 符合题意,所以 m=-1. (2)当 y=0 时,x==1,解得 m=-,或 m=2, 经检验:当 m=-,m=2 时都符合题意, 所以 m=-或 m=2.

19.解:(1)直线 AC 的斜率 kAC==-2, 所以直线 BD 的斜率 kB D=, 所以直线 BD 的方程为 y=(x+4), 即 x-2y+4=0. (2)直线 BC 的斜率 kBC==,所以 EF 的斜率 kEF=-,线段 BC 的中点坐标为(-,2), 所以直线 EF 的方程为 y-2=-(x+),即 6x+8y-1=0. (3)AB 的中点坐标为(0,-3),所以 AB 边的中线的方程为:=,即 7x+y+3=0(-1≤x≤ 0).

20.证明: (1)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC. 又∵BC=2AD,G 是 BC 的中点,∴AD ∥ BG 且 AD = BG, ∴四边形 ADGB 是平行四边形,∴AB∥DG. ∵AB?平面 DEG,DG?平面 DEG,∴AB∥平面 DEG.

(2)连接 GF,四边形 ADFE 是矩形, ∵DF∥AE,AE⊥底面 BEFC, ∴DF⊥平面 BCFE,EG?平面 BCFE,∴DF⊥EG. ∵EF ∥ BG 且 EF= BG,EF=BE, ∴四边形 BGFE 为菱形, ∴BF⊥EG, 又 BF∩DF=F,BF?平面 BFD,DF?平面 BFD, ∴EG⊥平面 BDF. 21. (1)证明:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 A1A⊥平面 ABC.∴A1A⊥AC,又 A1A=AC,∴

A1C⊥AC1.

又 BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面 ABC1,∵A1C?平面 A1ACC1, ∴平面 ABC1⊥平面 A1ACC1.

(2)存在,E 为 BB1 的中点. 取 A1A 的中点 F,连 EF,FD,当 E 为 B1B 的中点时,EF∥AB,DF∥AC1, ∴平面 EFD∥平面 ABC1,则有 ED∥平面 ABC1. 1 1 1 当 E 为 BB1 的中点时,VE-ABC =VC -ABE=3×2×2×1×1=3.
1 1

22.解: 下图(1)为折叠前对照图,下图(2)为折叠后空间图形. ∵平面 APQ⊥平面 PBCQ, 又∵AR⊥PQ, ∴AR⊥平面 PBCQ,∴AR⊥RB. 在 Rt△BRD 中, 1 3 BR2=BD2+RD2=a2+a-x2, AR2=x2. 2 2 2 2 2 故 d =BR +AR =2x -ax+a 32 5 23 =2a +8a a, 3 5 2 2 ∴当 x=4a 时,d 取得最小值8a ,从而 d 最小值为

a



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