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《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(31)


一、选择题 1.四位好朋 友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、 杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示.盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余 酒的高度从左到右依次为 h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是( )

A.h2>h1>h4 C.h3>h2>h4 【答案】A

B.h1>h2>h3 D.h

2>h4>h1

【解析】 结合所给的酒杯形状观察分析可知第二个酒杯中酒的体积与酒高之间变化率最 大,第四个酒杯 中酒的体积与酒高之间变化率最小.由排除法可知选 A. 2.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为( )

A.280 C.360 【答案】C
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

B.292 D.372

【解析】该几何体的直观图 如图,则所求表面积为

S 表=2×(2×8+8×10+2×10)+2×(8×6+8×2)=360.
故选择 C.

[来源:学科网 ZXXK]

3.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形, 等腰三角形和菱形.则该几何体体积为( )

A.4 3 C.2 3 【答案】C

B.4 D.2

【解析】由题意知该几何体为如图所示的四棱锥,底面为菱形,且 AC=2 3,BD=2, 高 OP=3,

1 ?1 ? 其体积 V= ×? ×2 3×2?×3=2 3. 3 ?2 ? 故选择 C. 4.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( )

A.8 C.10 【答案】C

B.6 2 D.8 2

【解析】 由三视图可知, 该几何体的四个面都是直角三角形, 面积分别为 6,6 2, 8,10, 所以面积最大的是 10,故选择 C. 5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π +2 3 2 3 C.2π + 3 【答案】C

B.4π +2 3 2 3 D.4π + 3

【解析】这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱,上半部分是 一个底面边长为 2、高为 3的正四棱锥,故其体积为 1 2 3 2 2 π ×1 ×2+ ×( 2) × 3=2π + . 3 3 故选择 C. 二、填空题 6.若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为 3,3,2 的三角形,则该圆锥的 侧面积 为 .

【答案】3π 【分析】本题主要考查主视图的概念及圆锥侧面积的求法. 【解析】由主视图 知该圆锥的底面半径 r=1,母线长为 l=3, ∴S 圆锥侧=π rl=π ×1×3=3π . 7.(2011 新课标全国卷·理)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且

AB=6,BC=2 3,则棱锥 O—ABCD 的体积为
【答案】8 3

.

【分析】本题考查空间几何体的体积以及空间想象能力. 【解析】设矩形对角线 AC,BD 交于点 O1,则 BO1=2 3, 因此 OO1= |OB| -|O1B| = 4 -? 2 3? 1 1 因此 V= Sh= ×6×2 3×2=8 3. 3 3
2 2 2 2

[来源:Z§xx§k.Com]

=2,

8.如图 1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实

心装饰块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器倒置,水面 也恰好过点 P(图 2).有下列四个命题:

A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点 P D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满 其中真命 题的代号是 【答案】B、D 【解析】设正四棱柱底面边长为 b,高为 h1,正四锥柱高为 h2,则原题图(1)中水的体 1 2 2 2 2 积为:b h2- b h2= b h2, 3 3 图(2)中水的体积为:b h1-b h2=b (h1-h2), 2 2 2 所以 b h2=b (h1-h2), 3 5 所以 h1= h2,故 A 错误,D 正确. 3 对于 B,当容器侧面水平 放置时,P 点在长方体中截面上,又水占容器内空间的一半, 所以水面也恰好经过 P 点,故 B 正确. 25 对于 C,假设 C 正确,当水面与正四棱锥的一个侧面重合时,经过计算得水的体积为 36
2 2 2

(写出所有真命题的代号).

b2h2> b2h2,矛盾,故 C 不正确.
三、解答题 9.正三棱锥 P-ABC 的高为 2,侧棱与底面 ABC 成 45°角,求点 A 到侧面 PBC 的距离. 【解析】 设点 A 到侧面 PBC 的距离是 h, PO⊥平面 ABC 于点 O, 作 连结 AO, O 是△ABC 则 的中心,∠PAO=45°,PO=AO=2,PA=2 2. 由 =2AO=4,AB=2 3, sin 60°

2 3

AB

由 VP-ABC=VA-PBC 得 1 1 ·S△ABC·PO= S△PBC·h,即 3 3 1 3 2 · ·(2 3) ·2 3 4 1 ?1 = ·? ·2 3· ? 3 ?2 2 2?
2

-?

3?

2

?·h, ? ?

6 5 6 5 由此解得 h= ,即点 A 到侧面 PBC 的距离是 . 5 5 10.如图,

某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积 雪之用).已建的仓库 的底面直径为 12 m,高 4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多的食盐.现有 两个方案:一是新建仓库的底面直径比原来的大 4 m(高不变),二是高度增加 4 m(底面直径 不变). (1)分别计算按这两个方案所建仓库的体积; (2)分别计算按这两个方案所建仓库的表面积; (3)哪一个方案更经济些? 【解析】(1)第一种方案所建仓库的体积为 1 3 1 3 256 3 π (m ), 3

V1= ×π ×82×4=

第二种方案所建仓库的体积为

V2= ×π ×62×8=96π (m3).
(2)第一 种方案所建仓库的表面积为

S1=π ×8× 82+42=32 5π (m2),
第二方案所建仓库的表面积为

S2=π ×6× 62+82=60π (m2).
(3)因为 V1<V2,S1>S2,所以第二种方案更经济些. 11. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形, 正视图(或称主视图)是一个底边长为 8, 高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S. 【解析】本小题主要考查三视图、几何体体积、等腰三角形性 质、三角形面积等基础 知识,以及空间想象能力、运算求解能力. 由题设可知,几何体是一个高为 4 的四棱锥,其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形,正 侧面及其相对侧面均为底边长为 8,高为 h1 的等腰三角形,左、右侧面均为底边长为 6、高 为 h2 的等腰三角形,如图所示.

(1)几何体的体积 为

V= ·S 矩形·h= ×6×8×4=64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为:

1 3

1 3

h1= 42+32=5.
左、右侧面的底边上的高为:
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

h2= 4 +4 =4 2.
故几何体的侧面面积为

2

2

? ? S=2? ×8×5+ ×6×4 2?=40+24 2. 2 2
1 1

?

?

12.如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径是 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°.△ADP∽△BAD.

(1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11R,求三棱锥 P-ABC 的体积. 【解析】(1)∵BD 是圆的直径, ∴∠BAD=90°,又△ADP∽△BAD, ∴

AD DP = , BA AD
2

AD2 ? BDsin 60°? DP= = BA ? BDsin 30°?

3 2 4R × 4 = =3R. 1 2R× 2

(2 )在 Rt△BCD 中,CD=BDcos 45°= 2R, ∵PD +CD =9R +2R =11R =PC , ∴PD⊥CD,又∠PDA=90°, ∴PD⊥底面 ABCD. 1 2
2 2 2 2 2 2

S△ABC= AB·BCsin(60°+45°)
1 2 1 2? ? 3 = R· 2R? · + · ? 2 2 2 2 2 ? ?

[来源:学科网 ZXXK]



3+1 2 R. 4 1 3

三棱锥 P-ABC 的体积为

VP-ABC= S△ABC·PD
1 3+1 2 3+1 3 = · R ·3R = R. 3 4 4


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