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【名师一号】(新课标)2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数本章回顾课件 新人教A版必修4


第一章

三角函数

本章回顾

知识网络

规律方法总结 1.三角函数值的符号 三角函数值的符号在求三角函数值及三角恒等变形等问题 中十分重要,根据三角函数的定义,可简记为:一全正,二正 弦,三正切,四余弦. 2.诱导公式 诱导公式是指角 α 的三角函数与- α,180° ± α, 90° ± α, 270° ± α,360° ± α,360° · k± α 等角的三角函数之间的关系,其内 容相似,极易混淆,其记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.

3.求解析式 求解析式 y=Asin(ωx+φ)中参数的顺序是: 先求 A, 再求 ω, 最后求 φ. 4.“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 π 3 五点的取法是:设 X=ωx+φ,由 X 取 0,2,π,2π,2π 求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图.

6.周期的求法 2π (1)y=Asin(ωx+φ)的周期 T= ; |ω| 2π (2)y=Acos(ωx+φ)的周期 T= ; |ω| π (3)y=Atan(ωx+φ)的周期 T= . |ω| 7.三角函数的单调性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本 思想是把 ωx+φ 看做一个整体,利用正弦函数 y=sinx 的单调 区间求解.

π π 如 2kπ-2≤ωx+φ≤2kπ+2(k∈Z)解出 x 的范围, 所得区间 π 3 即为增区间. 由 2kπ+2≤ωx+φ≤2kπ+2π(k∈Z)解出 x 的范围, 所得区间为减区间. 若函数 y=Asin(ωx+φ)中 A>0,ω<0, 可用诱导公式将函数 变为 y=-Asin(-ωx-φ),再求单调区间.



?π ? ? π? y=sin?4-x?=-sin?x-4?,解 ? ? ? ?

π π π 2kπ-2≤x-4≤2kπ+2,

π 3 得 2kπ - 4 ≤x≤2kπ + 4 π , (k ∈ Z) , ∴ 原 函 数 的 减 区 间 为
? π 3 ? ?2kπ- ,2kπ+ π?(k∈Z). 4 4 ? ?

对于函数 y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的单调性的讨 论同上.

热点问题剖析 1.三角函数的定义域与值域 【例 1】 求下列函数的定义域: (1)y= 1-2cosx+lg(2sinx-1); (2)y=lgtanx+ 16-x2.

1 ? ? ?cosx≤2, ?1-2cosx≥0, 【解】 (1)由? 得? ? ?2sinx-1>0, ?sinx>1. 2 ? π 5π ? ?2kπ+3≤x≤2kπ+ 3 ?k∈Z?, ∴? ?2kπ+π<x<2kπ+5π?k∈Z?. 6 6 ? π ∴函数 y= 1-2cosx +lg(2sinx -1)的定义域是{x|2kπ + 3 5 ≤x<2kπ+ π,k∈Z}. 6

? ?tanx>0, ? π (2)要使 y 有意义,则有?x≠kπ+2?k∈Z?, ? 2 ? ?16-x ≥0, π ? ?kπ<x<kπ+ ?k∈Z?, 2 ? ? ?-4≤x≤4. π π 解得-π<x<-2或 0<x<2或 π<x≤4.



? π? ? π? 故所求的定义域为?-π,-2?∪?0,2?∪(π,4]. ? ? ? ?

规律技巧

?1? 求三角函数的定义域注意应用单位圆中三

角函数线或函数图象解题. ?2?求与正切函数有关问题时,不要忽略正切函数自身的定 义域.

π 【例 2】 已知|x|≤4,求函数 f(x)=cos2x+sinx 的值域. 【分析】 cos2x+sinx 难以表示成 Asin(ωx+φ)或 Acos(ωx

+φ)的形式,却容易表示成关于 sinx 的二次函数,于是可结合 二次函数的相关性质求解.

【解】

y=f(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1.

π 2 2 令 t=sinx,∵|x|≤ ,∴- ≤sinx≤ , 4 2 2 即
? t∈? ?- ?

2 2? ? , ?. 2 2?
2

则 y=-t

? 1?2 5? +t+1=-?t-2? + ? - 4? ? ? ?

2 2? ? ≤t≤ ?. 2 2?

? 2 π 2? ? ∴当 t=- 2 ,即 x=-4时,f(x)有最小值 f?- ? 2? ? ? ? =-? ?- ?

2 1? ? 2 5 1- 2 +4= 2 . 2 -2? ?

? 1? 5 1 π 当 t=2,即 x=6时,f(x)有最大值 f?2?=4. ? ?

∴函数

? 1- f(x)的值域为? ? 2 ?

2

5? ? , ?. 4?

误区警示 量的取值范围.

利用换元法解答此类问题时,一定要注意新变

2.三角函数式的化简与求值 【例3】 值为( A. 1 3 C. 2 ) B. 3 3 D. 3 已知α为锐角,且sin
? π? ?α- ? = 12? ?

2 ,则tanα的 2

【解析】

π 2 ∵α为锐角,且sin(α-12)= 2 ,

π π π ∴α-12=4,∴α=3. ∴tanα= 3.

【答案】

B

? 2?π 【例4】 已知sinθ+cosθ= 3 ?2<θ<π?,求tanθ的值. ? ?

【分析】 切为弦的求法.

本题的解题思路入口处较宽,下面给出一种化

7 【解】 将已知等式两边平方得sinθcosθ=-18. π 由于2<θ<π,所以sinθ>0,cosθ<0, 从而sinθ-cosθ>0,故 sinθ-cosθ= ?sinθ-cosθ?2= 1-2sinθcosθ =
? 7? 4 1-2×?-18?=3. ? ?

? 2 ?sinθ+cosθ= 3 , 解方程组? ?sinθ-cosθ=4, 3 ?

? ?sinθ= 2+4, 6 ? 得? 2-4 ? cosθ= 6 . ? ?

9+4 2 sinθ -9-4 2 故tanθ= = =- . cosθ 7 7

3.图象变换 【例5】 若将函数y=tan 个单位长度后,与函数y=tan 值为( 1 A. 6 1 C. 3 ) 1 B. 4 1 D. 2
? π? ?ωx+ ? 4? ?

(ω>0)的图象向右平移

π 6

? π? ?ωx+ ? 6? ?

的图象重合,则ω的最小

【解析】 数解析式为

? π? π y=tan ?ωx+4? 向右平移 6 个单位长度后得到函 ? ?

? ? π? π? ? ? y=tan?ω x-6?+4? ? ? ? ? ? ? π ωπ ? =tan?ωx+4- 6 ?. ? ?

π ωπ π 1 显然当 4 - 6 = 6 +kπ时两图象重合,此时ω= 2 -6k(k∈ Z). 1 ∵ω>0,∴k=0时,ω的最小值为 . 2

【答案】 D

【例6】 要得到函数y=

2 cosx的图象,只需将函数y= )

? π? 2sin?2x+4?的图象上所有的点的横坐标( ? ?

1 π A.缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个 2 8 单位长度 1 π B.缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平移 个单位 2 4 长度

π C.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移 4 个单位 长度 π D.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移 个单位 8 长度

【解析】

先将y=

? π? 2sin ?2x+4? 的图象上所有点的横坐标 ? ? ? π? 2 sin ?x+4? 的图象,再 ? ?

伸长到原来的2倍(纵坐标不变)即得y=

? ? π π? π? π 向左平移 4 个单位,即得y= 2sin ?x+4+4? = 2sin ?x+2? = 2 ? ? ? ?

cosx.故应选C.

【答案】 C

4.函数y=Asin(ωx+φ)解析式的求法 由已知条件确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,需确定 A,ω,φ,其中A,ω易求,下面介绍求φ的几种方法. (1)平衡点法 由y=Asin(ωx+φ)=Asin
? ? φ ?? ?ω?x+ ?? ω ?? ? ?

知它的平衡点横坐标为

φ - (它对应于正弦曲线上的原点),所以我们可以找与原点相 ω φ 邻的且处于递增部分的平衡点,令其横坐标为x1=- ,则可 ω 求φ.

【例7】

? ? π 函数y=Asin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2,x∈R? ? ?

的部分图象如下图所示,则函数表达式为(

)

?π π? A.y=-4sin?8x+4? ? ? ?π π? B.y=4sin?8x-4? ? ? ?π π? C.y=-4sin?8x-4? ? ? ?π π? D.y=4sin?8x+4? ? ?

T 【解析】 由图象易知A=4,2 =6+2=8, 2π π ∴T=16,则ω=16=8. 又点x=6处于递增部分的平衡点, π 3π ∴φ=-ω×6=-8×6=- 4 ,
?π 3π? 于是y=4sin?8x- 4 ?. ? ?

π 由于要求|φ|<2,
?π ?π ? 3π? π ∴y=4sin?8x- 4 ?=4sin?8x+4-π? ? ? ? ? ?π π? =-4sin?8x+4?. ? ?

【答案】 A

误区警示

本题中切勿使用点?-2,0?进行计算,因为它

不是处于递增部分的平衡点.

(2)确定最值法 这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记一些结论,只需 解一个简单的三角方程即可.

【例8】 函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的图象如 图,求该函数的表达式.

【解】

由图象易得

?π ? y=2sin ?4x+φ? +2,下面求φ.由图知,当x=-2时,ymax= ? ? ?π ? 4,即2sin?4×?-2?+φ?+2=4, ? ?

π π ∴-2+φ=2kπ+2(k∈Z),取k=0得φ=π.
?π ? ∴y=2sin?4x+π?+2. ? ?

规律技巧

?1?也可用“x=2时,ymin=0”求φ.

?2?φ有无穷性,相差2kπ?k∈Z?. ?3?若将平衡点?0,2?代入关系式,得φ=kπ,应再由其他 条件舍去k为偶数的φ值,但不如用最值法简单.

(3)利用单调性 将函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sinx的图象比较,选取 它们的一个单调区间得到一个不等式,解答

即可求出φ.

【例9】 已知函数y=sin(2x+φ)的图象(如右图),求φ.
?π 1 ? ∵A?3,2?在递减区间上, ? ?

【解】

? π 3 ? 2 ∴3π+φ∈?2kπ+2,2kπ+2π?(k∈Z). ? ?

2 5 π ∴3π+φ=6π,即φ=6.

规律技巧

求φ时,因条件相异可选不同方法.

(1)已知平衡点时,用平衡点法较简单. (2)已知最高(低)点而不知平衡点时,用最值法. (3)已知一般点时用单调区间法.


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