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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 阶段训练三 文


阶段训练三
一、 填空题 1.设a,b∈[0,+∞),A= a + b ,B= a ? b ,则A,B的大小关系是 .

2.在数列{an}中,若a1=a2=1,且an+2-an=1,则数列{an}的前30项和为

.

3.函数f(x)=log2(x +2x-3)的定义域是

2



4.若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为

.

5.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则k=

.

6.若不等式x +ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是

2

.

7.在数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N ),那么a7=

*



1 1 1 3 5 8.设n为正整数,f(n)=1+ 2 + 3 +…+ n ,计算得f(2)= 2 ,f(4)>2,f(8)> 2 ,f(16)>3,观
察上述结果,可推测一般的结论为

? x ? y ? 2, ? ? x ? 1, ?1 ? , 1 ???? ? ??? ? ? y ? 2, ? ? 9.设O为坐标原点,点A ? 4 ? ,若M(x,y)满足不等式组 ? 则 OM · OA 的最小值
是 .

10.假设平面α ∩平面β =EF,AB⊥α ,CD⊥β ,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能 推出BD⊥EF,现有下面四个条件:①AC⊥α ;②AC与α ,β 所成的角相等;③AC与BD在β 内的 射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的是 .(填序号)

11.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球 底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为 .

1

(第11题)

AC AE 12.如图,在平面几何中:在△ABC中,∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为 BC = BE .
把这个结论类比到空间:在三棱锥 A-BCD中,DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到类 比的结论是 .

(第12题)

13 . 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 . 当 x>0 时 , f(x)=x -4x , 则 不 等 式 f(x)≥x 的 解 集 为 .

2

14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是 .(填序号)

(第14题)

1 ①当0<CQ< 2 时,S为四边形; 1 ②当CQ= 2 时,S为等腰梯形;

2

3 1 ③当CQ= 4 时,S与C1D1的交点R满足C1R= 3 ; 3 ④当 4 <CQ<1时,S为六边形;
6 ⑤当CQ=1时,S的面积为 2 .

二、 解答题 15 .如图,已知在四棱锥 S-ABCD 中,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面

1 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= 2 ,E是棱SC的中点.
(1)求证:DE∥平面SAB; (2)求三棱锥S-BED的体积.

(第15题)

?2an ? 2n-2,n为奇数, 1 ? -a -n,n为偶数, 2 16.已知数列 {an}满足a1= , an+1= ? n 数列{an} 的前n 项和为 Sn, bn=a2n,
其中n∈N . (1)试求a2,a3的值,并证明数列{bn}为等比数列;
*

? 1 ? ? ? cc (2)设cn=bn+a2n+1求数列 ? n n ?1 ? 的前n项和.

17.已知函数f(x)=x +2ax-a+2. (1)若对于任意的x∈R,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;

2

3

(2)若对于任意的x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围; (3)若对于任意的a∈[-1,1],x +2ax-a+2>0恒成立,求实数x的取值范围.
2

18.某市近郊有一块大约500 m×500 m的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性 休闲广场,首先要建设如图所示的一个总面积为3 000 m 的矩形场地,其中阴影部分为通道, 通道宽度为 2 m,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相 同),塑胶运动场地占地面积为S m . (1)分别用x表示y和S的函数关系式,并给出定义域; (2)怎样设计能使S取得最大值,并求出最大值.
2 2

(第18题)

19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点. (1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD; (2)令点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使PA∥平面MQB.

(第19题)

20.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26. (1)求数列{an}的通项公式;

4

?1,n ? 1, 2an ? n?2 b ? m,n ? 2, n (2)若m= 2 ,数列{bn}满足关系式bn= ? n -1 求证:数列{bn}的通项公式为bn=2 1; (3) 设 (2) 中的数列 {bn} 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n , (1-n)·(Sn+n+2)+(n+p)2 <2 恒成 立,求实数p的取值范围.
n+1

【阶段训练答案】 阶段训练三

2 2 1. A≥B 【解析】由题意得,B -A =-2 ab ≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B.

2. 240 【解析】由题意可知,数列a1,a3,a5,…,a29和数列a2,a4,…,a30均是以1为首

15 ?14 ?1 ? ? ?15 ?1 ? ? 2 ? =240. 项,1为公差的等差数列,所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=2× ?
3. (-∞,-3)∪(1,+∞) 【解析】由x +2x-3>0 ? (x+3)(x-1)>0,解得x<-3或x>1.
2

1 4. 6

2 3 6 【解析】如图,作三棱锥的高PO,则点O为底面的中心,AO= 3 × 2 × 2 = 3 ,
2

? 6? 1 1 3 3 3 1 12 - ? ? 3 ? ? V ? ? PO= = 3 ,所以 PABC = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 6 .

(第4题)

5

k (k -1) 2 5. 3 【解析】由a7-a5=2d=4,得d=2,a1=a11-10d=21-20=1,所以Sk=ka1+ 2 d=k =9.又k∈
N ,故k=3.
*

? 23 ? ?? ? ?- , ? 6. ? 5

【解析】由Δ =a +8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所

2

以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-

? 23 ? 23 ?? ? ?- , ?. 5 ,故实数a的取值范围为 ? 5
7. 1 【解析】由an+1=an+an+2,得an+2=an+1-an,所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=1-2=-1,a5=a4-a3=-11=-2,a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6-a5=-1-(-2)=1.

n?2 n * 8. f(2 )≥ 2 (n∈N )
n

3 4 5 6 1 2 3 4 【解析】因为f(2 )= 2 ,f(2 )>2= 2 ,f(2 )> 2 ,f(2 )> 2 ,所以

n?2 * 归纳猜想得f(2 )≥ 2 (n∈N ). 5 9. 4

【解析】由题意作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示, OM =(x,y),

???? ?

?1 ? 1 1? ??? ? ? , ???? ? ??? ? 1 OA = ? 4 ? ,故令z= OM · OA = 4 x+y,可化为y=- 4 x+z,故过点E(1,1)时,

1 5 ???? ? ??? ? 1 z= OM · OA = 4 x+y有最小值,为 4 +1= 4 .

(第9题)

6

10. ①③ 【解析】如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内, 所以BD⊥EF,故要证BD⊥EF,只需让AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.

11.

2

【解析】连接BC1,B1C,使BC1∩B1C=O,则O为底面BCC1B1的中心.由题意知,球心为

侧面BCC1B1的中点O,BC为截面圆的直径,所以∠BAC=90°,则△ABC的外接圆圆心N位于BC的中 点.同理,△A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△OMC1中,

?x? ?x? x x ? ? ? ? OM= 2 ,MC1= 2 ,OC1=R=1(R为球的半径),所以 ? 2 ? + ? 2 ? =1,即x= 2 ,即AB=AC=1,所以
侧面ABB1A1的面积为 2 ×1= 2 .

2

2

AE S? ACD S 12. EB = ? BCD

AE S? ACD S 【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 EB = ? BCD .

13. [-5,0]∪[5,+∞) 【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.设x<0,则-

x>0,所以f(-x)=x2+4x,又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-4x,x<0.当x>0时,由f(x)≥x,得x24x≥x,即x -5x≥0,解得x≥5或x≤0(舍去),此时x≥5.当x=0时,f(0)≥0成立.当x<0时,由
2

f(x)≥x得-x2-4x≥x,即x2+5x≤0,解得-5≤x≤0,x=0舍去.此时-5≤x<0.综上,-5≤x≤0或 x≥5.

1 14. ①②③⑤ 【解析】当0<CQ< 2 时,截面为如图(1)所示的APQM,所以为四边形,所以①
正确;

图(1)

1 2 2 2 2 2 2 当 CQ= 2 时, D1Q =D1 C1 +C1Q , AP =AB +BP ,所以 D1Q=AP. 又因为 AD1∥PQ, AD1=2PQ ,所以②正
确;

7

1 4 C1Q C1R 3 1 3 C1R CQ 如图(2)所示,当CQ= 4 时,由△QCN∽△QC1R,得 = CN ,即 4 = 1 ,所以C1R= 3 ,所
以③正确.

图(2)

如图(3)所示,当CQ=1时,截面为APC1E. 可知AC1= 3 ,EP= 2 且APC1E为菱形,

6 所以S的面积即为四边形APC1E的面积,所以S= 2 ,所以⑤正确.

3 当 4 <CQ<1时,截面为五边形APQMF.
所以④错误.

图(3) (第14题)

1 15. (1) 如图,取线段SB的中点F,连接EF,AF,则EF∥BC且EF= 2 BC.

8

1 由已知AD∥BC且AD= 2 BC,
知EF∥AD且EF=AD, 所以四边形ADEF是平行四边形, 所以AF∥DE. 又AF ? 平面SAB,DE ? 平面SAB, 所以DE∥平面SAB.

(第15题) (2) 因为E是棱SC的中点,

1 1 1 V V V 所以 SBDE = CBDE = EBDC = 3 S△BDC· 2 SA= 12 . 1 16. (1) 因为a1= 2 ,

an+1=

?2an ? 2n-2,n为奇数, ? ?-an -n,n为偶数,

所以a2=2a1+2-2=1,a3=-a2-2=-3,

bn+1=a2n+2=2a2n+1+2(2n+1)-2=2a2n+1+4n.
又a2n+1=-a2n-2n, 所以bn+1=2(-a2n-2n)+4n=-2a2n=-2bn,b1=a2=1, 所以数列{bn}为首项为1、公比为-2的等比数列. (2) 由(1)可得a2n+1=-a2n-2n,bn=a2n,cn=bn+a2n+1=a2n+(-a2n-2n)=-2n,cn+1=-2(n+1),

1 1 1?1 1 ? ? ? cc 所以 n n ?1 = -2n ? [-2(n ? 1)] = 4 ? n n ? 1 ? ,

? 1 ? ? ? cc 所以数列 ? n n ?1 ? 的前n项和为

9

? 1 1 ?? 1 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 - 1 ? ? ?? ?? 2 ? ? ? ? + ? 2 3 ? +…+ ? n n ? 1 ?? = 4 4 ??

n 1 ? ? ?1 ? ? 4(n ? 1) ? n ?1 ? = .
2

17. (1) 若对于任意的x∈R,f(x)≥0恒成立,需满足Δ =4a -4(-a+2)≤0, 得-2≤a≤1. 即实数a的取值范围是[-2,1]. (2) 对称轴为x=-a, 当-a<-1,即a>1时,当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=3-3a≥0,解得a≤1,不合题意,舍去; 当-a>1,即a<-1时,当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(1)=3+a≥0,解得-3≤a<-1; 当-1≤a≤1时,当x∈[-1,1]时,

f(x)min=f(-a)=-a2-a+2≥0,解得-2≤a≤1,所以-1≤a≤1.
综上,实数a的取值范围为[-3,1]. (3) 对于任意a∈[-1,1],x +2ax-a+2>0恒成立,等价于g(a)=(2x-1)a+x +2>0,
2 2

? x 2 ? 2 x-1 ? 2 ? 0, ? 2 ? x -2 x ? 1 ? 2 ? 0, 解得x≠-1,
所以实数x的取值范围是{x|x≠-1}.

3000 18. (1) 由已知得xy=3 000,所以y= x ,其定义域是(6,500).
S=(x-4)a+(x-6)a=(2x-10)a, 因为2a+6=y,

y 1500 所以a= 2 -3= x -3,
? 1500 ? ? 15000 ? -3 ? ? 6x ? ? ? ? =3 030- ? x ? ,其定义域是(6,500). 所以S=(2x-10)· ? x

15000 ? 15000 ? ? 6x ? 6x ? ? x =3 030-2×300=2 430, ? ≤3 030-2 (2) S=3 030- ? x

15000 当且仅当 x =6x,即x=50(50∈(6,500))时,上述不等式等号成立,
此时,x=50,y=60,Smax=2 430. 答:设计x=50 m,y=60 m时,运动场地面积最大,最大面积为2 430 m .
2

10

19. (1) 如图,连接BD,因为四边形ABCD为菱形,且∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形. 又Q为AD的中点,所以AD⊥BQ. 又因为PA=PD,所以AD⊥PQ. 又BQ∩PQ=Q,BQ,PQ ? 平面PQB, 所以AD⊥平面PQB, 又AD ? 平面PAD, 所以平面PQB⊥平面PAD.

(第19题) (2) 若PA∥平面MQB,连接AC交BQ于点N,连接MN.如图.由AQ∥BC可得△ANQ∽△CNB,

AQ AN 1 所以 BC = NC = 2 .
因为PA∥平面MQB,PA ? 平面PAC, 平面PAC∩平面MQB=MN, 所以PA∥MN,

PM AN 1 1 因此, PC = AC = 3 ,即t的值为 3 .
20. (1) 设等差数列{an}的公差为d,

由已知,有

?a1 ? 2d ? 7, ? ?2a1 ? 10d ? 26,

?a1 ? 3, ? d ? 2. 解得 ?
所以an=3+2(n-1)=2n+1, 即等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,n∈N .
*

11

2an 22n?1 n?2 n?2 n-1 (2) 因为m= 2 =2 =2 ,
所以当n≥2时,bn=bn-1+2 .
n-1

b2-b1=2,b3-b2=22,…,bn-bn-1=2n-1,
将这n-1个式子相加,得bn-b1=2+2 +2 +…+2 ,
2 3

n-1

1-2n 2 3 n-1 n 即bn=1+2+2 +2 +…+2 = 1-2 =2 -1.
当n=1时,b1=1也满足上式. 所以数列{bn}的通项公式为bn=2 -1. (3) 由(2)知bn=2 -1,所以Sn=(2+2 +2 +…+2 )-n=2 -(n+2), 即原不等式变为(1-n)2 +(n+p)·2 <2,即p·2 <2-2 ,
n+1 n+1 n+1 n+1 n
2 3

n

n

n+1

1 n * 所以p< 2 -1对任意n∈N 恒成立,所以p≤-1,
所以p的取值范围是(-∞,-1].

12



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