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奥赛辅导(运动学)一


运动学

本章内容
质点运动的描述
description of particle motion

Contents

chapter 1

质点运动的两类基本问题
two basic kinds of particle motion problem

圆周运动及刚体转动的描述
descriptions of circular motion and rigid body motion

相对运动与伽利略变换
relative motion and Galileo transformation

第一节质点运动的描述 1-1
Description of particle motion
固联在参考系上的正交数轴组成的系统,可定量描 述物体的位置及运动。如直角坐标系、自然坐标系等。

坐标系 θ

卫星

r
φ
运动质点

切线 法线

自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切
线组成

n

τ

矢量知识

有大小、有方向,且服从平行四边形运算法则的量。

线段长度(大小);箭头(方向)。

A

手书 印刷

A

(附有箭头) (用黑体字,不附箭头)

矢量表示式 在 X-Y 平面上的某矢量 A 该矢量
Y

A 的坐标式
手书

y
j A i

A = xi +yj
印刷

0

x

X

= x

+y

i 、j 分别为 X、Y 轴的
单位矢量(大小为1,方向 分别沿 X、Y 轴正向)。

在课本中惯用印刷形式。
在本演示课件中,为了 配合同学做手书作业,采 用手书形式。

矢量加法
服从平行四边形法则 为邻边 若 则 为对角线

反向为

减法相当于将一矢量反向后再相加。

矢量乘法
两矢量的点乘 = 两量大小与它们夹角余弦的乘积

两矢量点乘的结果是标量 在直角坐标中 等于对应坐标乘积的代数和 例如

叉乘
两矢量叉乘的结果是矢量 大小 方向 垂直于两矢量决定的平面,指向
的方向
两矢量所在平面

按右螺旋从叉号前的矢量沿小于 角转向叉号后矢量的旋进方向。



的空间坐标式为

用一个三阶行列式 表示

位置矢量

运动学方程
随时 间变化
其投影式
称为

参 数方程

位移

平均速度

瞬时速度

平均加速度

瞬时加速度

自然坐标系

速度加速度

切向加速度

法向加速度

物理量小结

由运动学方程 随堂练习一 投影式 消去
得轨迹方程 由 运动学方程 坐标式

运动学方程投影式

位矢 质点的轨迹方程 ; 第 2 秒 末的位矢; 第 2 秒 末的速度

和加速度 。

随堂练习二 足球运动轨迹最高点处
的曲率半径

ρ

30 ?
由法向加速度大小
最高点处

cos30?



20× 9.8

30.6(m)

(备选例一)

(备选例二)

随堂小议
(1)
一质点作曲线运动,

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

(2)

aτ 表示切向加速度, (3)
(4)

(链接1)
(1)
一质点作曲线运动,

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

(2)

aτ 表示切向加速度, (3)
(4)

(链接2)
(1)
一质点作曲线运动,

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

(2)

aτ 表示切向加速度, (3)
(4)

(链接3)
(1)
一质点作曲线运动,

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

(2)

aτ 表示切向加速度, (3)
(4)

(链接4)
(1)
一质点作曲线运动,

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

(2)

aτ 表示切向加速度, (3)
(4)

第二节 两类问题
1-2

由初始条件定积分常量

随堂练习一

跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为

随堂练习二

式中 均为大于零的常量 及 时

任一时刻运动员下落速度大小

的表达式

注意到


对本题的一维情况有



分离变量求积分

(备选例一)

(备选例二)

(备选例三)

(备选例四)

(续选例四)

(备选例五)

第三节圆周、刚体运动
1-3
一质点A作圆周运动

descriptions of circular motion and rigid body motion
约定:反时针为正

角坐标、角位移

约定:反时针为正

角速度

角加速度

一般方法
求解圆周运动问题的一般方法

角线量关系

证明题

续证明

角线关系简例

刚体及其平动
刚 体
形状固定的质点系(含无数
质点、不形变、理想体。)

平 动
刚体任意两点的连线保持方 向不变。各点的 相同,可当作质点处理。

刚体定轴转动
刚体的定轴转动
刚体每点绕同一 轴线作圆周运动, 且该转轴空间位置 及方向不变。

定轴转动参量
1. 角位置
描述刚体(上某点)的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体

刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向

2. 角位移
描述刚体转过的大小和方向

转动平面(包含p并与转轴垂直) 转轴

3. 角速度
描述刚体转动的快慢和方向,

是转动状态量。
常量 匀角速

静止 常量 变角速

用矢量表 示 或 时,它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则

续参量
4. 角加速度 1. 角位置
描述刚体转动状态改变 描述刚体(上某点)的位置 的快慢和改变的方向 刚体定轴转动 的运动方程 刚体

刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向

2. 角位移

匀角速 常量 匀角加速

转动平面(包含p并与转轴垂直) 转轴

常量 变角加速 描述刚体转过的大小和方向

只有 同描述刚体转动的快慢和方向, 和反 两个方向,故

3. 角速度 定轴转动的

是转动状态量。 也可用标量

静止

常量 变角速 常量 匀角速 中的正和负表方向代替矢量。

用矢量表 示 或 时,它们 因刚体上任意两点的 与 刚体的 转动方向 距离不变,故刚体上各点 采用右螺 的 相同。旋定则

若由 a τ 随堂练习

an an

关键是设法求 线速率
若由

一质点作圆周运动 半径



关键是设法求 角速率 本题很易求

R = 0.1 m

其运动学方程为

θ = 2 + 4 t 3 (SI)
t = 2 s 时, 质点的
切向加速度 法向加速度

12 t
24 t

t=2

48 (rad·-1) s 12 t 48 (rad·-2) s 4.8 ( m · -2 ) s

t=2

aτ an

aτ an

230.4 ( m · -2 ) s

第四节
1-4

relative motion and Galileo transformation

相对运动
运动具有相对性

球作曲线运动

球 垂 直 往 返

如何变换?

运动的合成
描述运动三参量合成的约定 绝对量
静系(不动参考系 S)的量。

相对量
动系(运动参考系 S )的量。

牵连量
动系对静系的量。

位矢的合成
静系 (S) 动系 (S

位矢的合成
) S 相对 S 作平动

Y

Y

v
r相

对空间任一点 P P S:
S :
绝对位矢

r绝
相对位矢

r绝

r相 r牵

O
Z

r牵
Z

O

S 相对 S : ( OO ) X X
牵连位矢

位矢合成定理

r



r



r



速度的合成
将位矢合成公式

速度的合成

r r





r r



r



对时间求一次导数



r



速度合成定理

v



v



v




v 在S 观测到P点的速度: 相 对 速 度 v S 相对 S 的速度: 牵 连 速度 v
在 S 观测到P点的速度: 绝 对 速 度




加速度的合成
将位矢合成公式

加速度的合成

v v





v v

相 相

v



对时间求一次导数

v
a
绝 相



加速度合成定理

a



a





a 在S 观测到P点的加速度: 相对加速 度 a S 相对 S 的速加度: 牵连加速度 a
在 S 观测到P点的加速度: 绝对加速度


伽利略变换
伽利略变换是反映两个相对作 匀速直线运动的参考系(惯性系)
静系 (S) 动系 (S

)

Y

Y

v

P

之间的 坐标、速度、加速度 变换。

(x, y, z) (x, y, z )

约定: S 相对于S 作匀速直线运动。

t = 0 时动(S )静(S)两系重合。
( 这里设S 相对S 沿X 轴方向以 速率

O

O Z

X X

v 作匀速直线运动。)

Z

坐标变换
伽利略变换是反映两个相对作 坐标变换 匀速直线运动的参考系(惯性系)
静系 (S) 动系 (S

)

Y

Y

v

P

之间的 坐标、速度、加速度 变换。

(x, y, z) (x, y, z )

约定: S 相对于S 作匀速直线运动。 这就是经典力学的时空 t = 0 时动(S )静(S)两系重合。 O 观,认为空间和时间是绝 ( 对的,互不相关的。时间 这里设S 相对S 沿X 轴方向以 与观测坐标系是否运动无 Z Z 速率 v 作匀速直线运动。) 关。

O

X X

将坐标变换式对时间求一次导,得

速度变换

加速度变换
静系 (S) 动系 (S

)

Y

Y

v

P

将速度变换式对时间求一次导,并
注意到匀速 求导为零 ,得

(x, y, z) (x, y, z )

加速度变换 O O Z X X

Z


相对性原理 伽利略的相对性原理
伽利略的加速度变换 表明,在两个相互作 匀速直线运动的参考系(惯性系)中,观测同一质点的力 学运动,其加速度大小和方向,两系观测结果都是一样的。 也就是说,做一切力学实验都无法判断实验者所在系统是 绝对静止还是在作绝对匀速直线运动。 由于任意两个惯性系都可以由伽利略变换联系起来,故

力学规律在一切惯性系中具有相同的 形式,因而是等价的。
这一原理称为伽利略的相对性原理

随堂练习

续练习

(牵)

5

7.07
45°
-2.07

2.07

(m s

)

45°

α

10 2 7.07

2

大小 :

(绝)
2 2

-10

(相)

2.07 7.07 7.37 ( m s ) 方向 : 16.32 arctg 2.07 7.07 即来自西偏北(吹向东偏南)16.32

作业
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