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2016江门一模理科数学试题及答案


秘密★启用前

试卷类型:A

江门市 2016 年高考模拟考试

数学(理科)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将 自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的 相应位置填涂考生号。 2. 回答第Ⅰ卷时, 选出每小题答案后, 用铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.复数

5 ( i 是虚数单位)的共轭复数 是 .... 2?i
B. 2 ? i C. ? 2 ? i D. ? 2 ? i

A. 2 ? i

2.等比数列 ?an ? 的前 n ( n ? N * )项和为 S n ,若 S1 ? 1 , S 2 ? 3 ,则 S 3 ? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 3.已知向量 a ? (2 ? t , ? 3 , 0) , b ? (1 , t , ? 2) , t ? R ,则 | a ? b | 的最小值是 A. 5 A. f ( x) 在 ( ? B. 4 C. 3 D. 2 B. f ( x) 在 ( ? 4.若 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , f (0) ? 2 ,则

?
4

,
2 2

?
4

) 单调递增

?
4

,

?
4

) 单调递减

C. f ( x) 在 (0 , D. f ( x) 在 (0 ,

? ?

) 单调递增 ) 单调递减

5.如图,某几何体的正视图和侧视图都是正三角形,俯视图 是圆,若该几何体的表面积 S ? ? ,则它的体积 V ? A. ? B.

? 3

C.

? 9

D.

? 27

6.某地市高三理科学生有 15000 名,在一次调研测试中,数学成绩 ? 服从正态分布

N (100, ? 2 ) ,已知 P(80 ? ? ? 100) ? 0.40 ,若按成绩分层抽样的方式取 100 份
试卷进行分析,则应从 120 分以上的试卷中抽取

A. 5 份

B. 10 份

C. 15 份

D. 20 份

7.执行如图 2 所示的程序框图,输出 S 的值是
开始

n ? 1, S ? 0

n S ? S ? tan ? 3
n ? n ?1

n ? 2016 ?




输出 S

结束

A. 0 8 .若 ( ?

B.

3 3

C. 3

D. ? 3

x a

1
3

x

) 8 的展开式中常数项为 1 ,则实数 a ?
B. 7 C. ? 2 7 D. ? 7

A. ? 2 7

9. 如果某射手每次射击击中目标的概率为 0 .7 , 每次射击的结果相互独立, 那么他在 15
次射击中,最有可能击中目标的次数是

A. 10

B. 11

C. 10 或 11

D. 12

?x ? 0 ? 10.在平面直角坐标系 xOy 中, P 是由不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 所确定的平面区域内的 ?x ? y ? 4 ? 0 ? 2 2 动点, Q 是圆 x ? y ? 8x ? 8 y ? 30 ? 0 上的动点,则 | PQ | 的最小值为
A.

2 2

B. 2

C. 2 2

D. 2 2 ? 1

11.函数 f ( x) ( x ? 0 )的导函数为 f / ( x) ,若 xf / ( x) ? f ( x) ? e x ,且 f (1) ? e ,则 A. f ( x) 的最小值为 e C. f ( x) 的最小值为 12.过双曲线 B. f ( x) 的最大值为 e D. f ( x) 的最大值为

1 e

1 e

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点 F 作平行于渐近线的两直线, a2 b2 与双曲线分别交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2a ,则双曲线离心率 e 的值所在区间是

A. (1 ,

2)

B. ( 2 ,

3)

C. ( 3 , 2)

D. (2 ,

5)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.设 p : | x ? a |? 3 , q : ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0 ,若 ? p 是 q 的充分不必充要条件,则实 数 a 的取值范围是



14.?ABC 三边的长分别为 AC ? 3 ,BC ? 4 , AB ? 5 , 若 AD ? 则 CD ? CE ?

1 1 AB ,BE ? BC , 3 2

. 3 3 15.对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解: 2 ? 3 ? 5 , 3 ? 7 ? 9 ? 11,

4 3 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,……,根据上述规律,103 的分解式中,最大的数是



16 . 已 知 平 面 区 域 D ? ?( x , y) | 0 ? x ? 1 , | y |? 1? , ?( x , y) ? D ,

1 1 ( x ? ) 2 ? y 2 ?| x ? | 的概率 P ? 4 4



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是正项等差数列, ?n ? N ,数列 ?
*

?

1 ? n . ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? 4 ? a n ? a n ?1 ?

(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? (?1) n an , n ? N ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
2
*

18. (本小题满分 12 分) 某普通高中组队参加中学生辩论赛,文科班推荐了 3 名男生、4 名女生,理科班推荐 了 3 名男生、2 名女生,他们各有所长,总体水平相当,学校拟从这 12 名学生随机抽取 3 名男生、3 名女生组队集训. (Ⅰ)求理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率; (Ⅱ)若先抽取女生,每次随机抽取 1 人,设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到的 理科班女生的人数,求 X 的分布列和均值(数学期望) . 19. (本小题满分 12 分) 如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 是四棱柱, 侧棱 AA1 ? 底面 ABCD , 底面 ABCD 是梯形,

AB ? BC ? CD ? 1 , AD ? AA 1 ?2.
(Ⅰ)求证:平面 BDD 1 B1 ? 平面 ABB 1A 1; (Ⅱ) E 是底面 A1 B1C1 D1 所在平面上一个动点, DE 与平 面 C1 BD 夹角的正弦值为 线上.

A1

E

D1

B1

C1

4 17

,试判断动点 E 在什么样的曲

A B

D

C

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4 ,且经过点 P(2 , 2 ) . a2 b2 (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ) A 、 B 是椭圆 ? 上两点,线段 AB 的垂直平分线 l 经过 M (0 , 1) ,求 ?OAB
已知椭圆 ? : 面积的最大值( O 为坐标原点) . 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax , a 是常数,且 a ? 1 . x?a

(Ⅰ)讨论 f ( x) 零点的个数; (Ⅱ)证明:

2 1 3 * ? ln(1 ? ) ? ,n? N . 2n ? 1 n 3n ? 1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做 答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于 E ,过点 A 作⊙ O 的切线与 DC 的延长线交于点

P . PA ? 6 , AE ? CD ? EP ? 9 .
(Ⅰ)求 BE ; (Ⅱ)求⊙ O 的半径. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 以原点为极点, ?y ? 3 t ? 2 ? x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 1 ? 0 .
(Ⅰ)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ) P 是曲线 C 上任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)已知非零常数 a 、 b 满足 a ? b ?

1 1 ? ,求不等式 | ?2 x ? 1 |? ab 的解集; a b

(Ⅱ)若 ?x ? [1 , 2] , x? | x ? m |? 1 恒成立,求常数 m 的取值范围.

评分参考
一、选择题:BADD CBAC BBAC

7 7 二、填空题:⒔ (?? , ? 4] ? [ , ? ?) (说明:①写出 (?? , ? 4) 或 ( , ? ?) 中任何 2 2 7 1 个给 1 分;②写出 (?? , ? 4] 或 [ , ? ?) 中任何 1 个给 2 分;③写出 2 7 7 7 (?? , ? 4] ? ( , ? ?) 或 (?? , ? 4) ? [ , ? ?) 或 (?? , ? 4) ? ( , ? ?) 给 4 分。 ) 2 2 2 8 1 ⒕ ⒖ 109 ⒗ 3 3 三、解答题:
17.解: (Ⅰ)依题意,设 an ? ? ? ? n ( ? 、 ? 是常数,且 ? ? 0 )……1 分

S1 ?

1 ,即 (? ? ? )(? ? 2? ) ? 6 ……2 分 a1 ? a 2

1 ? S 2 ? S1 ,即 (? ? 2? )(? ? 3? ) ? 12 ……3 分 a 2 ? a3
解?

?(? ? ? )(? ? 2? ) ? 6 ?? ? ?1 ?? ? 1 得? (舍去) ,或 ? , an ? n ? 1 ……5 分 ?(? ? 2? )(? ? 3? ) ? 12 ?? ? ?1 ?? ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? (?1) n (n ? 1) 2 ,

bn?1 ? bn ? (?1) n [(n ? 1) 2 ? n 2 ] ? (?1) n (2n ? 1) ……7 分

n 为偶数时,Tn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (bn?1 ? bn ) ? 5 ? 9 ? ? ? (2n ? 1) ……
8 分, ?

n( n ? 3) ……9 分 2

n 为奇数时, Tn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (bn?2 ? bn?1 ) ? bn
? 5 ? 9 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1) 2 ……10 分
(n ? 1)(n ? 2) n 2 ? 3n ? 4 2 ? ? (n ? 1) ? ? ……11 分 2 2 ? n 2 ? 3n ? 4 ? , n为奇数 ? ? 2 所以, Tn ? ? ……12 分 ? n(n ? 3) , n为偶数 ? 2 ?
18.解: (Ⅰ)理科班没有学生入选集训队的概率为
3 3 C3 C4 1 ……2 分 ? 3 3 C6 C6 100

理科班有 1 名学生入选集训队的概率为

3 1 3 2 1 C32 C4 C3 ? C 3 C4 C2 3 ……4 分 ? 3 3 25 C6 C6

理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率为 1 ? ( (Ⅱ) X ? 0 , 1 , 2 ……6 分

1 3 87 ? )? ……5 分 100 25 100

4 2 2? 4 4 ? ……7 分, P( X ? 2) ? ? ……8 分 6 3 6 ? 5 15 2 ? 1? 4 1 P( X ? 2) ? ? ……9 分 6 ? 5 ? 4 15 X 的分布列为: 0 X 1 2 P ( X ? 0) ?
……10 分

P

2 3

4 15

1 15

2 4 1 2 X 的均值(数学期望) EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? ……12 分 3 15 15 5
19.证明与求解: (Ⅰ)取 AD 的中点 F ,连接 BF ,则

AB ? BC ? CD ? AF ? DF ? 1 , BCDF 是平行四边形……1 分
BF ? CD ? 1 , ?ABF 是正三角形, ?ABF ? ?AFB ? 600 ,

?DBF ? ?BDF ?

1 ?AFB ? 30 0 , AB ? BD ……2 分 2

因为侧棱 AA1 ? ABCD , AA1 ? BD , AA 1 ? AB ? A ,所以 BD ? 面 ABB 1A 1 …… 3 分, BD ? 平面 BDD1 B1 ,所以平面 BDD 1 B1 ? 平面 ABB 1A 1 ……4 分 (Ⅱ) 以 B 为原点,BD 、BA 、BB1 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系……

3 1 , ? , 2) ,并设 E ( x , y , 2) ……6 分 2 2 ?n ? BD ? 3a ? 0 ? 设平面 C1 BD 的一个法向量为 n ? (a , b , c) ,则 ? 3 1 a ? b ? 2c ? 0 ?n ? BC1 ? 2 2 ? ?a ? 0 ……7 分, ? ,取 n ? (0 , 4 , 1) ……8 分 ?b ? 4c
5 分,则 B(0 , 0 , 0) , D( 3 , 0 , 0) , C1 (

cos ? DE , n ??
…10 分

( x ? 3 , y , 2) ? (0 , 4 , 1) | ( x ? 3 , y , 2) | ? | (0 , 4 , 1) |

?

4y ? 2 17 ? ( x ? 3 ) 2 ? y 2 ? 4



依题意, cos ? DE , n ??
2

4 17

,即

4y ? 2 17 ? ( x ? 3 ) ? y ? 4
2 2

?

4 17

……11 分

化简整理得, y ? ( x ? 3 ) ?

15 ,动点 E 的轨迹是一条抛物线……12 分 4

20.解: (Ⅰ)依题意, 2c ? 4 ,椭圆 ? 的焦点为 F1 (?2 , 0) , F2 (2 , 0) ……1 分

2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (2 ? 2) 2 ? ( 2 ) 2 ? (2 ? 2) 2 ? ( 2 ) 2 ? 4 2 ……3 分

x2 y2 ? ? 1 ……4 分 8 4 (Ⅱ)根据椭圆的对称性,直线 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB : y ? kx ? m ……5 分
所以 b ? a ? c ? 4 ,椭圆 ? 的方程为
2 2 2

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 8 得, (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 8 ? 0 ……6 分 4 ? y ? kx ? m ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?
2

4km 2m 2 ? 8 x ? x ? , ……7 分 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

2 k 2 ? 1 16k 2 ? 8 ? 2m 2 , O 到 直 线 AB 的 距 离 | AB |? k ? 1 | x1 ? x2 |? 2k 2 ? 1 d? |m| 1? k 2
, ?OAB 的面积 S ?
2

2m 2 (8k 2 ? 4 ? m 2 ) 1 ……8 分 ? | AB | ?d ? 2 2k 2 ? 1
2

依题意, | AM |?| BM | , x1 ? ( y1 ? 1) 2 ? x2 ? ( y2 ? 1) 2 ,

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ? 2) ? 0 ……9 分

( x1 ? x2 ) ?

y1 ? y 2 [k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2] ? 0 , (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? k (2m ? 2) ? 0 , x1 ? x2
2

代入整理得, k (2k ? m ? 1) ? 0 ……10 分 若 k ? 0 ,则 S ?

2m 2 (4 ? m 2 ) ? 2 2 ,等号当且仅当 m ? ? 2 时成立……11 分
2(?4m ? m 2 ) ? 2 2 ,等号当且仅当 m ? ?2 ,

2 若 k ? 0 ,则 2k ? m ? 1 ? 0 ,S ?

k ??

2 时成立。 2

综上所述, ?OAB 面积的最大值为 2 2 ……12 分

21.证明: (Ⅰ) f / ( x) ?

1 a2 x( x ? a 2 ? 2a) ……1 分 ? ? x ? 1 ( x ? a) 2 ( x ? 1)(x ? a) 2
x ,若 x ? (?1 , 0) , f / ( x) ? 0 , f ( x) ? f (0) ? 0 , 2 ( x ? 1)

2 解 f / ( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? a ? 2a

/ ① a ? 1 时, f ( x) ?

若 x ? (0 , ? ?) , f / ( x) ? 0 , f ( x) ? f (0) ? 0 。 f ( x) 有一个零点……2 分
2 ② 1 ? a ? 2 时, ? 1 ? a ? 2a ? 0 ,

x
f / ( x)
f ( x)

(?1 , a 2 ? 2a)
+ ↗

a 2 ? 2a
0

(a 2 ? 2a , 0)
- ↘

0
0

(0 , ? ? )
+ ↗ ……3 分

由上表可知, f ( x) 在区间 (a 2 ? 2a , ? ?) 有一个零点 x ? 0 ……4 分

f (a 2 ? 2a) ? f (0) ? 0 , 又 ?

ax a2 a2 a ? ?a ? ?a ? , 任 取 x?a x?a a ?1 a ?1

t ? (?1 , e

a 1? a

? 1) , f (t ) ?

a a ? ? 0 , f ( x) 在区间 (t , a 2 ? 2a) 有一个零点,从 1? a a ?1

而 f ( x) 有两个零点……5 分 ③ a ? 2 时, f / ( x) ? 零点 x ? 0 ……6 分
2 ④ a ? 2 时, a ? 2a ? 0 ,

x2 ? 0 , f ( x) 在 (?1 , ? ?) 上单调递增,有一个 ( x ? 1)(x ? 2) 2

x
f / ( x)
f ( x)

(?1 , 0)
+ ↗

0
0

(0 , a 2 ? 2a)
- ↘
2

a 2 ? 2a
0

(a 2 ? 2a , ? ?)
+ ↗ ……7 分
2

由上表可知, f ( x) 在区间 (?1 , a ? 2a) 有一个零点 x ? 0 ,在区间 (a ? 2a , ? ?) 有一个零点,从而 f ( x) 有两个零点……8 分

2x 1 在 (?1 , ? ?) 上单调递增, 取x ? x?2 n 1 1 2 * (n? N ) ,则 f ( ) ? f (0) ? 0 ……9 分,化简得 ln(1 ? ) ? ……10 分 n n 2n ? 1 3x 3 3 取 a ? ,由⑴知 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? 在区间 ( ? , 0) 上单调递减……11 分, 2x ? 3 4 2
(Ⅱ) 取a ? 2, 由⑴知 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

1 3 1 ? (? , 0) ( n ? N * ) 取x ?? ,由 f ( x) ? f (0) 得 ln(1 ? )? n ?1 4 n ?1
即 ln(1 ?

3 n ?1 , 1 2(? )?3 n ?1 ?

1 3 2 1 3 * * )? ? ln(1 ? ) ? (n? N ) ,综上, , n ? N ……12 分 n 3n ? 1 2n ? 1 n 3n ? 1
2

22.解: (Ⅰ)因为 PA 是切线,所以 PA ? PC ? PD ……1 分

6 2 ? PC ? ( PC ? 9) ……2 分,解得 PC ? 3 ,或 PC ? ?12 (舍去)……3 分
AB 、 CD 相交于 E , AE ? BE ? CE ? DE ……4 分, 即 9 ? BE ? 6 ? 3 ,解得 BE ? 2 ……5 分
(Ⅱ)连接 OA ,作 OF ? AB 于 F , EG ? AP 于 G ,则 AF ?

1 11 AB ? ……6 分 2 2

AG 1 1 ? ……7 分, sin ?OAF ? cos ?PAE ? ……8 分, AE 3 3 2 2 AF 2 2 33 2 ……9 分, ,解得⊙ O 的半径 OA ? ……10 分 cos?OAF ? ? 3 OA 3 8 1 ? x ? 3? t ? 2 ? 23.解: (Ⅰ)由 ? 消去参数 t 得, 3x ? y ? 3 3 ? 0 ……2 分 3 ?y ? t ? 2 ? 由 ? 2 ? 4? cos? ? 1 ? 0 得 x 2 ? y 2 ? 4x ? 1 ? 0 ……4 分 cos ?PAE ?
2 2 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得曲线 C :( x ? 2) ? y ? 3 ……5 分, 圆心为 (2 , 0) , 半径为 3 ……

6分

| 3?2?0?3 3 | 3 ? ……8 分 2 2 3 3 P 到直线 l 的距离的最大值 M ? d ? r ? ……10 分 2 1 1 a?b 24.证明与求解: (Ⅰ)由 a ? b ? ? ? ,得 ab ? 1 ……1 分 a b ab | ?2 x ? 1 |? ab 即 | 2 x ? 1 |? 1, 2 x ? 1 ? 1 或 2 x ? 1 ? ?1 ……3 分
圆心到直线 3x ? y ? 3 3 ? 0 的距离 d ? 解得 x ? 1 或 x ? 0 ,原不等式的解集为 (?? , 0] ? [1 , ? ?) ……5 分 (Ⅱ)由已知得, | x ? m |? x ? 1 ? 0 , ( x ? m) ? ( x ? 1) ……6 分
2 2

(m ? 1)(m ? 2 x ? 1) ? 0 ,
m ? 1 时, (m ? 1)(m ? 2 x ? 1) ? 0 恒成立……7 分

m ? 1 时,由 (m ? 1)(m ? 2 x ? 1) ? 0 得, m ? 2 x ? 1 ,从而 m ? 3 ……8 分 m ? 1 时,由 (m ? 1)(m ? 2 x ? 1) ? 0 得, m ? 2 x ? 1 ,从而 m ? 1 ……9 分
综上所述, m 的取值范围为 (?? , 1] ? [3 , ? ?) ……10 分


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