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江西省宜春市五校2013届高三上学期12月联考理科数学试题


江西省宜春市五校 2013 届高三上学期 12 月联考 数学理试题
一:选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={2,3,4},B={2,4,6,8},C={(x,y)|x∈A,y∈B,且 logxy∈ N*},则 C 中元素个数是( ) A.9 B.8 C.3 D.4 2.下列选项中,说法正确的是( ) A.命题“若 am 2 ? bm 2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题; ? ? ? ? ?? ? ? B.设 a, b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则 a ? b ”的否命题是真命题; C.命题“ p ? q ”为真命题,则命题 p 和 q 均为真命题; D.命题 ?x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 2 ? x ? 0 ”. 3.已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的平面,那么下面给出的 条件中一定能 推出 m ? ? 的是( ) B. m ∥ n ,且 n ? ?

A. ? ? ? ,且 m ? ? C. ? ? ? ,且 m ∥ ?

D. m ? n ,且 n ∥ ? ? ? 4.已知平面直角坐标系内的两个向量 a =(1,2), b =(m,3m-2),且平面内的任 ? ? ? ? 一向量 c 都可以唯一的表示成 c =λ a +μ b (λ ,μ 是实数),则 m 的取值范围 是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞, +∞) 5.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和 等于 A.30 D.186 B.45 C.90

6.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(其中A ? 0,? ? ? ) 的图象如图所
2

示, 为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象, 则只需将 f (x) 的图象 (A)向右平移 ? 个长度单位
6

(B)向右平移 ? 个长度单位
3
A1

B1 C1

(C)向左平移 ?
6

个长度单位

(D)向左平移 ?
3

个长度单位
B

7.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长 为 2 的正三角形,侧棱长为 3,则 BB1 与平面 AB1C 1 所成的角为(
第 1 页 共 10 页

A

C



A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

??? ? ??? ??? ? ? 8.若 ?k ? R , | BA ? k BC |?| CA | 恒成立,则△ABC的形状一定是



) A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

9.设函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 ( s, f (t ))( s, t ? D) 构 成一个正方形区域,则 a 的值为 A. ?2 B. ?8 ( ) C. ?4 D.不能确定

10.函数 f ? x ? ? x (0 ? x ? 1) , 其在点 M (t , f (t )) 处的切线为 l ,与y 轴和直线 y ? 1 l 分别交于点 P, Q ,又点 N ? 0,1? ,若 ? PQN 的面积为 b 时的点 M 恰 好有两个,则 b 的取值范围为(
? 8 ? A. ? 0, ? ? 27 ? ?1 ? D. ? , ?? ? ?4 ? ?1 8 ? B. ? , ? ? 4 27 ?


?1 ? C. ? ,1? ?3 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,25 分。将答案填在答题卡相应位 置上。) 4 11. 若对任意 x ? 0, x ? ? a 恒成立,则 a 的取值范围是________ x 12.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是___
? ? ?? 13.已知函数 f ( x) ? x ? tan x .项数为 17 的等差数列 ?a n ? 满足 a n ? ? ? , ? ,且 ? 2 2?

公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a17 ) ? 0 ,则当 k =__________时, f (a k ) ? 0 . 14.一个盛满水的无盖三棱锥容器 S ? ABC ,不久发现三条侧棱上各有一个小洞
D, E , F 且知 SD : DA ? SE : EB ? CF : FS ? 2 : 1 ,若仍用这个容器盛水,则最多可

盛原来水的



1 1 2 n ?1 15.记函数 f ? x ? 的导数为 f ? ? ? x ? , f ? ? ? x ? 的导数为 f ? ? ? x ? ,? , f ? ? ? x ? 的导数为

f ? n ? ? x ? ? n ? N * ? 。若 f ? x ? 可进行 n 次求导,则 f ? x ? 均可近似表示为:

f ?1? ? 0 ? f ? 2 ? ? 0 ? 2 f ? 3? ? 0 ? 3 f ? n? ? 0 ? n f ? x ? ? f ? 0? ? x? x ? x ?? ? x 1! 2! 3! n!

第 2 页 共 10 页

若取 n ? 4 ,根据这个结论,则可近似估计自然对数的底数 e ? (用 分数表示) 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤) 16.(本题 12 分) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两非零向量 a, b 满足:2a ? b与b 垂直, 集合 A ? x x 2 ? ( a ? b ) x ? a b ? 0 是单元

?

?

素集合。 ? ? (1)求 a与b 的夹角

? ? ? ? (2)若关于 t 的不等式 a ? tb ? a ? mb 的解集为空集,求实数 m 的值。

17.(本题 12 分) 在 ?ABC 中,设角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , ?C ? 60 0 , c ? 3 . (Ⅰ)求
a ? 2 3 cos A 的值; sin B 3 ,求 ?ABC 的面积. 3

(Ⅱ)若 sin A ?

18.(本题 12 分) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a 2 ? ?13 , a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? 2n ? 6 (Ⅰ)设 bn ? a n ?1 ? a n , 求数列{bn } 的通项公式; (Ⅱ)求 n 为何值时, a n 最小(不需要求 a n 的最小值)

19.(本题 12 分)

第 3 页 共 10 页

已知几何体 E-ABCD 如图 D7-13 所示,其中四边形 ABCD 为矩形,△ABE 为等边 三角形,且 AD= 3,AE=2,DE= 7,点 F 为棱 BE 上的动点. (1)若 DE 置; (2)在(1) 的余弦值.
?1 3 2 ? 3 x ? 80 x ? 5040 x, x ? [120,144) ? y?? ? 1 x 2 ? 200 x ? 80000, x ? [144,500) ?2 ?

∥平面 AFC,试确定点 F 的位

的条件下,求二面角 E-DC-F

20.(本题13分) 某企业为了保护环境, 发展低碳经济, 在国家科研部门的支持下, 进行技术攻关, 新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项 目月处理成本y(元)与月处理量z(吨)之间的函数关系 可近似的表示为:

且每处理一二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,亏 损数额国家将给予补偿. (I)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果亏损,则国家每月补偿 数额的范围是多少? (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

第 4 页 共 10 页

21.(本题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R). 3

(1)若 x=2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

(1 ? x)3 b 1 (3)当 a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? ? 有实根,求实数 b 的最大值。 3 x 2

第 5 页 共 10 页

宜春市 2013 届五校联考 数学(理)试题参考答案
一:选择题 题号 1 答案 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 A 7 A 8 B 9 C 10 B

二填空题 11: 4 12: 8 ?
2? 3

13:9

14:

4 27

15:

65 24

三:解答题
? ? b2 ? ? ? ? ? ? 16 : 解( )由2a ? b 与b 垂直得(2a ? b ) ? b ? 0 ? a ? b ? 1 ..........2分 2 ? ? ? ? 由A ? x x 2 ? ( a ? b ) x ? a b ? 0?是单元素集合得: ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ) 2 ? 4 a b ? 0 ? a ? b ,....................4分 (

?

? ? ? 1 b2 a ?b 1 ? ? ? 设a与b 的夹角为?,则 cos ? ? ? ? ? 2? 2 ? ? ? ? 2 3 ab b

? ? ? 则a与b 的夹角为 .................6分 3 ? ? ? ? (2)关于t的不等式 a ? tb ? a ? mb 的解集为空集, ? ? ? ? 则 a ? tb ? a ? mb 的解集为R................................8分 ? ? ? ?? ? ?? 从而a 2 ? 2ab ? t ? t 2b 2 ? a 2 ? 2ab ? m ? m 2b 2 对一切t ? R恒成立, ? ? ?? ? 将a 2 ? b 2 ,2ab ? b 2 代入上式得:
t 2 ? t ? m ? m 2 ? 0对一切t ? R恒成立......................10分 ? ? ? 1 ? (m ? m 2 ) ? 0 ? (2m ? 1) 2 ? 0 ? m ? 4 1 ................12分 2

17.解:( )由正弦定理得 1

a c ? ? a ? 2 sin A sin A sin C

4 sin( A ? ) a ? 2 3 sin A 2 sin A ? 2 3 cos A 3 ? 4...........6分 ? ? ? sin B sin B sin B 2 sin A ? 2 3 cos A 3 3 (2)由( )知 sin B ? 1 , 又 sin A ? , sin C ? , 4 3 2 6 3 ?3 2 ? A为锐角, cos A ? ? ,? sin B ? , 3 6 1 1 3 ?3 2 ? S ? ? ac sin B ? ? 2 sin A ? 3 ? sin B ? ...........12分 2 2 6
第 6 页 共 10 页

?

18:解(I)? bn ? a n ?1 ? a n ,? a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ? bn ?1 ? bn ? 2n ? 6

? bn ? bn ?1 ? 2(n ? 1) ? 6, bn ?1 ? bn ? 2 ? 2(n ? 2) ? 6,...., b2 ? b1 ? 2 ? 6 将这n ? 1个等式相加,得bn ? b1 ? 2[1 ? 2 ? ... ? (n ? 1)] ? 6(n ? 1) ? bn ? n(n ? 1) ? 6(n ? 1) ? (a 2 ? a1 ) ? n 2 ? 7 n ? 8
即数列{bn}的通项公式为 bn ? n 2 ? 7 n ? 8 .......................6 分 (Ⅱ)若 a n 最小,则 a n ? a n ?1且a n ? a n ?1 .即bn ?1 ? 0且bn ?1 ? 0 .........8 分
? 2 ?n ? 7 n ? 8 ? 0 注意 n 是正整数,解得 8≤n≤9 ?? ?(n ? 1) 2 ? 7(n ? 1) ? 8 ? 0 ?

∴当 n=8 或 n=9 时,n 的值相等并最小................................12 a 分 19:解:(1)连接 BD 交 AC 于点 M,若 DE∥平面 AFC, 则 DE∥FM,点 M 为 BD 中点,则 F 为棱 BE 的中点...............4 分 (2)AD= 3,AE=2,DE= 7,∴DA⊥AE. 又四边形 ABCD 为矩形,∴DA⊥面 ABE. 方法 1:以 AB 中点 O 为坐标原点,以 OE 为 x 轴,以 OB 为 y 轴,以 OM 为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 则=( 3,1,- 3),=( 3,-1,- 3), 设平面 DCE 的法向量 n=(x,y,z), ? ? 3x+y- 3z=0, ∴? ? ? 3x-y- 3z=0. 令 x=1,则 n=(1,0,1). ? 3 3 ? ? 3 ? 1 =? , ,- 3?,=? ,- ,- 3?. 2 ?2 2 ? ?2 ? 设平面 DCF 的法向量 m=(x,y,z).

? 3x+3y- ?2 2 ? ? 23x-1y- ? 2

3z=0, 3z=0.

令 x=2,则 m=(2,0,1).
第 7 页 共 10 页

设二面角 E-DC-F 的平面角为θ ,cosθ = 3 10 ....................12 分 10

m·n = |m||n|

方法 2:设二面角 E-DC-A 的平面角为α , 取 AB 中点 O,CD 中点 N,

EO⊥平面 ACD,ON⊥CD,∴∠ONE 就是二面角 E-DC-A 的平面角.....6 分
∴∠ONE=α ,tanα =1.........................8 分 同理设二面角 F-DC-A 的平面角为β , 1 tanβ = .......................................................10 2 分 1 设二面角 E-DC-F 为θ ,θ =α -β ,∴tanθ = ,∴cosθ = 3 3 10 ........12 分 10

20.解:( )当x ? ?200, 300?时,设该项目获利为S , 则 1 1 S ? 200 x ? ( x 2 ? 200 x ? 80000).............1分 2 1 1 ? ? x 2 ? 400 x ? 80000 ? ? ( x ? 400) 2 2 2 所以当x ? ?200, 300?时,S ? 0 因此该项目不会获利.....................3分 当x ? 300时,S取得最大值 ? 5000,当x ? 200时,S取得最小值 ? 20000. 所以国家每月补偿数额的范围是?5000, 20000?..................5分

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(2)由题意可知,二氧化碳的每吨处理成本为: ?1 2 ? x ? 80 x ? 5040, x ? ?120,144 ? y ?3 ?? ...........................7分 80000 x ?1 x? ? 200, x ? ?144, 500 ? ?2 x ? y 1 1 1 当x ? ?120,144 ?时, ? x 2 ? 80 x ? 5040 ? ( x ? 120) 2 ? 240 x 3 3 y 所以当x ? 120时, 取得最小值240; .......................9分 x y 1 80000 1 80000 2 当x ? ?140, 500 ?时, ? x ? ? 200 ? 2 x? ? 200 ? 200 x 2 x 2 x 1 80000 y 当且仅当 x ? , 即x ? 400时 取得最小值200................11分 2 x x ? 200 240, 当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最底.....12分 〈 ? 答:国家每月补偿数额的范围是?5000, 20000?:该项目每月处理量为400吨时, 每吨的平均处理成本最底....................13分

x[2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] 2a ........1 分 ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1 因为 x = 2 为 f (x)的极值点, 所以 f ?(2) ? 0 .................................2

21:(1)解: f ?( x) ? 分 即

2a 解得: = 0............................................3 a ? 2a ? 0 , 4a ? 1

分 又当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x = 2 为 f (x)的极值点成立.............4 分 (2)解:∵f (x)在区间[3,+∞)上为增函数, ∴ f ?( x) ?
x[2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立...........5 2ax ? 1

分 ①当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ≥ 0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f (x)在[3,+∞) 上为增函数,故 a = 0 符合题 意..........................................................6 分 ②当 a≠0 时,由函数 f (x)的定义域可知,必须有 2ax + 1 > 0 对 x≥3 恒成立, 故只能 a > 0, 所以 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ≥ 0 在区间[3, +∞)上恒成立. .................7 分 令 g ( x) ? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) , 其对称轴为 1 ?
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1 ........................8 4a

分 ∵a > 0,∴ 1 ? 可, 由 g (3) ? ?4a 2 ? 6a ? 1≥ 0 ,解得: 分 ∵a > 0,∴ 0 ? a ≤
3 ? 13 . 4 3 ? 13 3 ? 13 ......................9 ≤a≤ 4 4
1 ? 1 ,从而 g (x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g (3)≥0 即 4a

综上所述,a 的取值范围为[0,
3 ? 13 ]......................................10 分 4

(3)解: a ? ?

(1 ? x)3 b 1 b 时,方程 f (1 ? x) ? ? 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . x 3 x 2

问题转化为 b ? x[ln x ? x ? x 2 ] 在(0,+∞)上有 解...............................11 分 令 h( x) ? ln x ? x ? x 2 , h ?( x) ? 则 分 当 0 < x < 1 时, h ?( x) ? 0 ,∴h (x)在(0,1)上为增函数 当 x > 1 时, h ?( x) ? 0 ,∴h (x)在(1,+∞)上为减函数 故 h (x)≤h (1) = 0,而 x > 0,故 b ? xh( x) ≤ 0 即实数 b 的最大值是 0......................................................14 分
(2 x ? 1)(1 ? x) 1 .......................12 ? 1 ? 2x ? x x

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