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新疆生产建设兵团一中2015届高三上学期第二次月考数学(文)试卷


2014-2015 学年新疆生产建设兵团一中高三(上)第二次月考数 学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 A={x|x2﹣1<0},B={x|y= A.{x|x>1} B.{x|0<x<1} 2.已知复数 z 满足(1+ A. B. C. },则 A∩B

等于( )

C.{x|x<1} D.{x|0<x≤1} )

i)z=1+i,则|z|=( D.2

3.在△ ABC 中,“sinA>

”是“A>

”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在的大致区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 5.设向量 , 满足| + |= ,| ﹣ |= A.1 B.2 C.3 D.5 ,则 ? =(

)

)

6.函数

的图象大致是(

)

A.

B.

C.

D.

7.若角 α 的终边在直线 y=2x 上,则 A.0 B. C.1 D.

的值为(

)

8.△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 B=2A,a=1,b= A. B.2 C. D.1

,则 c=(

)

9.若 f(x)=﹣ x2+bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A.[﹣2,+∞) B.[﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣∞,﹣1]

)

10.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 且 f(﹣x)=f(x) ,则( A.f(x)在 C.f(x)在(0, ) 单调递减 B.f(x)在( )单调递增 D.f(x)在( , ,

的最小正周期为 π,

)单调递减 )单调递增

11.函数 ,则 ω 等于( )

的部分图象,如图所示,若

A.

B.

C.

D.

12. +∞) 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, 上是增函数. 令 a=f (sin b=f(cos ) ,c=f(tan ) ,则( )

) ,

A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =__________.

14.若

,则

的值是__________.

15.设函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣ f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是__________. 16.以下命题: ①若| ? |=| |?| |,则 ∥ ; ② =(﹣1,1)在 =(3,4)方向上的投影为 ; ③若△ ABC 中,a=5,b=8,c=7,则 ? =20; ④若非零向量 、 满足| + |=| |,则|2 |>| +2 |. 所有真命题的标号是__________.

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.设集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m﹣1≤x≤2m+1}. (1)若 A∩B=?,求 m 的范围; (2)若 A∪B=A,求 m 的范围.

18.已知向量 =(sinx, ) , =( 值为 6. (Ⅰ)求 A;

Acosx, cos2x) (A>0) ,函数 f(x)= ? 的最大

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向左平移

个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 ]上的值域.

来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 y=g(x)在[0,

19.已知 a、b、c 分别为△ ABC 三个内角 A、B、C 的对边,且 bsinA= (1)求 B; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c.

acosB.

20. =x3+ax2﹣9x﹣1 设函数 f (x) (a<0) . 若曲线 y=f (x) 的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 21.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边, (1)求 A 的大小; (2)若 a=7,求△ ABC 的周长的取值范围. 22.设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x) . (Ⅰ)求 g(x)的单调区间和最小值;

(Ⅱ)讨论 g(x)与

的大小关系;

(Ⅲ)求 a 的取值范围,使得 g(a)﹣g(x)< 对任意 x>0 成立.

2014-2015 学年新疆生产建设兵团一中高三(上)第二次 月考数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 A={x|x2﹣1<0},B={x|y= A.{x|x>1} B.{x|0<x<1} },则 A∩B 等于( )

C.{x|x<1} D.{x|0<x≤1}

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 x 的范围确定出 B,求出 A 与 B 的交 集即可. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (x+1) (x﹣1)<0, 解得:﹣1<x<1,即 A={x|﹣1<x<1}, 由 B 中 y= ,得到 0<x≤1,即 B={x|0<x≤1},

则 A∩B={x|0<x<1}. 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.已知复数 z 满足(1+ A. B. C. i)z=1+i,则|z|=( D.2 )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出 z,然后直接代入复数模的公式求解. 【解答】解:∵(1+ i)z=1+i, ∴ = .





故选:A. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.

3.在△ ABC 中,“sinA>

”是“A>

”的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【专题】简易逻辑. 【分析】先看由 sinA 上的单调性即可得到 否得到 sinA 举反例比如 A= 能否得到 ,而 A :A 时,根据 y=sinx 在 时显然满足 A ;然后看 能 ,并可

,这个可通过 y=sinx 在(0,π)上的图象判断出得不到 sinA .综合这两个方面便可得到“sinA> ], ; =sin ”是“A> ,所以 sinA

”的充分不必要条件. 得到 A ;

【解答】解:△ ABC 中,若 A∈(0, 若A 即 sinA 而 ∴“sinA ,显然得到 能得到 A ,得不到 sinA ”是“A ;

,比如,A= ”的充分不必要条件.





故选 A. 【点评】考查正弦函数 y=sinx 在(0,π)的图象及单调性,充分条件,必要条件,以及充 分不必要条件的概念.

4.函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在的大致区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】计算题.

)

【分析】函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数 值符号相反. 【解答】解:∵f(1)=ln(1+1)﹣2=ln2﹣2<0, 而 f(2)=ln3﹣1>lne﹣1=0, ∴函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在区间是 (1,2) , 故选 B. 【点评】 本题考查函数的零点的判定定理, 连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区 间端点处的函数值异号. 5.设向量 , 满足| + |= ,| ﹣ |= ,则 ? =( A.1 B.2 C.3 D.5 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】将等式进行平方,相加即可得到结论. )

【解答】解:∵| + |= ∴分别平方得 +2 ? +

,| ﹣ |= =10,

, =6,

﹣2 ? +

两式相减得 4 ? =10﹣6=4, 即 ? =1, 故选:A. 【点评】本题主要考查向量的基本运算,利用平方进行相加是解决本题的关键,比较基础.

6.函数

的图象大致是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数 的解析式,我们根据定义在 R 上的奇函数图象必要原点可

以排除 A,再求出其导函数,根据函数的单调区间呈周期性变化,分析四个答案,即可找到 满足条件的结论. 【解答】解:当 x=0 时,y=0﹣2sin0=0 故函数图象过原点, 可排除 A 又∵y'= 故函数的单调区间呈周期性变化 分析四个答案,只有 C 满足要求 故选 C 【点评】本题考查的知识点是函数的图象,在分析非基本函数图象的形状时,特殊点、单调 性、奇偶性是我们经常用的方法.

7.若角 α 的终边在直线 y=2x 上,则

的值为(

)

A.0

B.

C.1

D.

【考点】同角三角函数基本关系的运用;三角函数线. 【专题】三角函数的求值. 【分析】依题意,tanα=2,将所求的关系式中的“弦”化“切”即可求得答案. 【解答】解:∵角 α 的终边在直线 y=2x 上, ∴tanα=2, ∴ = = ,

故选:B. 【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用,“弦”化“切”是关键,属于基础题. 8.△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 B=2A,a=1,b= A. B.2 C. D.1 ,则 c=( )

【考点】正弦定理;二倍角的正弦. 【专题】解三角形. 【分析】利用正弦定理列出关系式,将 B=2A,a,b 的值代入,利用二倍角的正弦函数公式 化简,整理求出 cosA 的值,再由 a,b 及 cosA 的值,利用余弦定理即可求出 c 的值. 【解答】解:∵B=2A,a=1,b= , ∴由正弦定理 ∴cosA= , = 得: = = = ,

由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即 1=3+c2﹣3c, 解得:c=2 或 c=1(经检验不合题意,舍去) , 则 c=2. 故选 B 【点评】此题考查了正弦、余弦定理,二倍角的正弦函数公式,熟练掌握定理是解本题的关 键. 9.若 f(x)=﹣ x2+bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( A.[﹣2,+∞) B.[﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣∞,﹣1]

)

【考点】函数的单调性与导数的关系. 【专题】导数的综合应用. 【分析】由已知可得:在(﹣1,+∞)上,f′(x)≤0 恒成立,所以会得到 b≤(x+1)2﹣1, 所以只要满足 b≤( (x+1)2﹣1)min,所以求这个最小值即可. 【解答】解:由已知得:在(﹣1,+∞)上,f′(x)= ∴﹣(x+1)2+1+b≤0 ∴b≤(x+1)2﹣1; ∵在(﹣1,+∞)上, (x+1)2﹣1>﹣1; ∴b≤﹣1; ;

∴b 的取值范围是(﹣∞,﹣1]. 故选 D. 【点评】考查函数导数符号和函数单调性的关系,以及在(﹣1,+∞)上,b≤(x+1)2﹣1, 而求得(x+1)2﹣1>﹣1,所以只要 b≤1.

10.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 且 f(﹣x)=f(x) ,则( A.f(x)在 C.f(x)在(0, ) 单调递减 B.f(x)在( )单调递增 D.f(x)在( , ,

的最小正周期为 π,

)单调递减 )单调递增

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简,根据周期与 ω 的关系确定出 ω 的值,根 据函数的偶函数性质确定出 φ 的值,再对各个选项进行考查筛选. 【解答】解:由于 f(x)=sin(ωx+?)+cos(ωx+?)= 由于该函数的最小正周期为 T= 又根据 f(﹣x)=f(x) ,得 φ+ 因此,f(x)= 若 x∈ 若 x∈( , ,得出 ω=2, = +kπ(k∈Z) ,以及|φ|< cos2x, ,则 2x∈(0,π) ,从而 f(x)在 ) ,则 2x∈( , ) , 单调递减, ,得出 φ= . ,

该区间不为余弦函数的单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确. 故选 A. 【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题,考查辅助角公式的运用,考查三角恒等变换 公式的逆用等问题, 考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考查学生的整体思想和余弦 曲线的认识和把握.属于三角中的基本题型. 11.函数 ,则 ω 等于( ) 的部分图象,如图所示,若

A.

B.

C.

D.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;平面向量数量积的运算. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由 ,可求得∠ABC=120°,再由函数最大值为 ,通过解三角形

可求得周期,由此即可求得 ω 值. 【解答】解:由 cos∠ABC)= 由图知| |=2| , |,所以 cos∠ABC=﹣ ,即得∠ABC=120°, ,在△ ABD 中∠ABD=60°,BD= = . ,易求得 AD=3, ,得| |?| |?cos(π﹣∠ABC)= ,即| |?(﹣

过 B 作 BD⊥x 轴于点 D,则 BD= 所以周期 T=3×4=12,所以 ω=

故选 B. 【点评】本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的运算, 解决本题的关键是由所给数量积求出∠ABC=120°.

12. +∞) 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, 上是增函数. 令 a=f (sin b=f(cos ) ,c=f(tan ) ,则( )

) ,

A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 【考点】偶函数;不等式比较大小. 【专题】压轴题. 【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内,根据单调性比较 a、b、c 的大小. 【解答】解: 因为 所以 , ,又由函数在区间[0,+∞)上是增函数, ,所以 b<a<c,

故选 A 【点评】本题属于单调性与增减性的综合应用,解决此类题型要注意: (1)通过周期性、对称性、奇偶性等性质将自变量调整到同一单调区间内,再比较大小. (2)培养数形结合的思想方法. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =(5,7) . 【考点】向量的减法及其几何意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量的坐标运算即可得出. 【解答】解:∵向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,

∴2 ﹣ =2(2,4)﹣(﹣1,1)=(5,7) . 故答案为: (5,7) . 【点评】本题考查了向量的坐标运算,属于基础题.

14.若

,则

的值是



【考点】两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 【专题】计算题. 【分析】把条件平方可得 sin2θ=1,变形为 = 【解答】解:∵ ∴ ∴ =1,tanθ=1. = = = , 可求出结果. ,平方可得 sin2θ=1, =1, =1,解出 tanθ 代入

故答案为 . 【点评】本题考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系的应用,由已知式求出 tanθ 值是解题的难点. 15.设函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣ f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(0,1) . 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【专题】转化思想;构造法;导数的概念及应用. 【分析】构造函数 g(x)= ,利用 g(x)的导数判断函数 g(x)的单调性与奇偶性,

画出函数 g(x)的大致图象,结合图形求出不等式 f(x)>0 的解集. 【解答】解:设 g(x)= ,则 g(x)的导数为:

g′(x)=



∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立, 即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)= 又∵g(﹣x)= = 为减函数, = =g(x) ,

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(﹣1)= =0,

∴函数 g(x)的大致图象如图所示:

数形结合可得,不等式 f(x)>0?x?g(x)>0 ? 或 ,

?0<x<1 或 x<﹣1. ∴f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(0,1) . 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(0,1) .

【点评】 本题考查了利用导数判断函数的单调性, 并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应 用问题,是综合题目. 16.以下命题: ①若| ? |=| |?| |,则 ∥ ; ② =(﹣1,1)在 =(3,4)方向上的投影为 ; ③若△ ABC 中,a=5,b=8,c=7,则 ? =20; ④若非零向量 、 满足| + |=| |,则|2 |>| +2 |. 所有真命题的标号是①②④. 【考点】命题的真假判断与应用;向量的模;平面向量数量积的运算. 【专题】综合题;平面向量及应用. 【分析】①由| ? |=| |?| |得出两向量的夹角为 0°或 180°,判断命题正确; ②求出 在 方向上的投影即可; ③画出图形,结合图形求出 ? 的值即可; ④由| + |=| |,得出 2 ? =﹣ ,由 4 > ,即得|2 |>| +2 |.

【解答】解:对于①,当| ? |=| |?| |时,cos< , >=±1,两向量的夹角为 0°或 180°, ∴ ∥ ,命题正确; 对于②, =(﹣1,1)在 =(3,4)方向上的投影是 | |cos< , >= = = ,∴命题正确;

对于③,△ ABC 中,如图所示;

a=5,b=8,c=7, ∴cos< , >=﹣ =﹣ =﹣ ,

?

=5×8×(﹣ )=﹣20,∴命题错误; +2 ? =0,

对于④,∵非零向量 、 满足| + |=| |,∴ 即 2 ? =﹣ ∴4 ∴4 ﹣ > ; =﹣ ; ﹣4 ? =﹣

﹣(﹣2

)=

>0,

即|2 |>| +2 |,∴命题正确. 综上,正确的命题是①②④. 故答案为:①②④. 【点评】本题考查了平面向量的应用问题,也考查了命题真假的判断问题,解题时应对每一 个选项进行分析判断,从而得出正确的结论. 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.设集合 A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m﹣1≤x≤2m+1}. (1)若 A∩B=?,求 m 的范围; (2)若 A∪B=A,求 m 的范围. 【考点】并集及其运算;交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】 (1)由 A,B,以及两集合的交集为空集,确定出 m 的范围即可; (2)由 A 与 B 的并集为 A,得到 B 为 A 的子集,确定出 m 的范围即可. 【解答】解: (1)∵A={x|﹣2≤x≤5},B={x|m﹣1≤x≤2m+1},A∩B=?, ∴当 B=?时,则有 m﹣1>2m+1,即 m<﹣2,满足题意; 当 B≠?时,则有 m﹣1≤2m+1,即 m≥﹣2, 可得 ,无解,

综上,m 的范围为 m<﹣2; (2)∵A∪B=A,∴B?A, ∴当 B=?时,则有 m﹣1>2m+1,即 m<﹣2,满足题意; 当 B≠?,则有有 m﹣1≤2m+1,即 m≥﹣2,

可得



解得:﹣1≤m≤2, 综上,m 的范围为 m<﹣2 或﹣1≤m≤2. 【点评】此题考查了交集及其运算,并集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

18.已知向量 =(sinx, ) , =( 值为 6. (Ⅰ)求 A;

Acosx, cos2x) (A>0) ,函数 f(x)= ? 的最大

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向左平移

个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 ]上的值域.

来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象.求 y=g(x)在[0,

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变 换应用. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】 (Ⅰ)利用向量的数量积的坐标运算及倍角公式可求得 f(x)=Asin(2x+ 题意即可求得 A; (Ⅱ)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得 g(x)=6sin(4x+ 数的单调性即可求得 y=g(x)在[0, 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)= ? = =A( sin2x+ cos2x) ) , ]上的值域. Asinxcosx+ cos2x ) ,再利用正弦函 ) ,依

=Asin(2x+

因为 A>0,函数 f(x)= ? 的最大值为 6, ∴A=6. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=6sin(2x+ 到 y=6sin[2(x+ )+ ]=6sin(2x+ ) ,将函数 y=f(x)的图象向左平移 )的图象; ) 的图象, 个单位后得

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的 倍 (纵坐标不变) , 得到 y=6sin (4x+ ∴g(x)=6sin(4x+ ∵x∈[0, ∴4x+ ∈[ ], , ]. ) .

∴g(x)在[0,

]上的值域为[﹣3

,6].

【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,着重考查三角函数中的恒等变换应用、 考查平面向量数量积的坐标运算,属于中档题. 19.已知 a、b、c 分别为△ ABC 三个内角 A、B、C 的对边,且 bsinA= (1)求 B; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c. 【考点】正弦定理. 【专题】计算题;综合法;解三角形. 【分析】 (1)根据条件及正弦定理便可得到 而得出 B= ; ,从而可以得到 ,从 acosB.

(2)先由正弦定理得到 c=2a,然后由余弦定理便可得到 可得出 c. 【解答】解: (1)∵ ∴ ∴ ∴ ; ∵0<B<π; ∴ ; ; ; ;

,解出 a,从而便



(2)sinC=2sinA, ∴c=2a; ;

∴由余弦定理得:



解得 ,∴ . 【点评】考查已知三角函数值求角,清楚三角形内角的范围,以及正弦定理、余弦定理. 20. =x3+ax2﹣9x﹣1 设函数 f (x) (a<0) . 若曲线 y=f (x) 的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 【考点】导数的运算;利用导数研究函数的单调性;两条直线平行的判定. 【专题】计算题.

【分析】 (1)先求出导函数的最小值,最小值与直线 12x+y=6 的斜率相等建立等式关系, 求出 a 的值即可; (2)先求导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0,解得的区间 就是所求. 【解答】解: (Ⅰ)因 f(x)=x3+ax2﹣9x﹣1 所以 f'(x)=3x2+2ax﹣9= 即当 x= 时,f'(x)取得最小值 . .

因斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,即该切线的斜率为﹣12, 所以 .

解得 a=±3,由题设 a<0,所以 a=﹣3. =x3﹣3x2﹣9x﹣1, f' =3x2﹣6x﹣9=3 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 a=﹣3, 因此 f (x) (x) (x﹣3) (x+1) , 令 f'(x)=0,解得:x1=﹣1,x2=3. 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)>0,故 f(x)在(﹣∞,﹣1)上为增函数; 当 x∈(﹣1,3)时,f'(x)<0,故 f(x)在(﹣1,3)上为减函数; 当 x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在(3,+∞)上为增函数. 由此可见,函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞) ; 1 3 单调递减区间为(﹣ , ) . 【点评】本小题主要考查导数的几何意义,及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式 的解法等基础知识,属于基础题. 21.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边, (1)求 A 的大小; (2)若 a=7,求△ ABC 的周长的取值范围. 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】解三角形. 【分析】 (1)利用正弦定理,结合和差的正弦公式,化简可得结论; 2 ( )利用余弦定理结合基本不等式,可求△ ABC 的周长的取值范围. 【解答】解: (1)∵ , ∴由正弦定理可得 , ∴sinAcosC+ sinAsinC=sin(A+C)+sinC, ∴ sinA﹣cosA=1, ∴sin(A﹣30°)= , ∴A﹣30°=30°,∴A=60°; (2)由题意,b>0,c>0,b+c>a=7, ∴由余弦定理 49= 号) , ∴b+c≤14, ∵b+c>7, ∴7<b+c≤14, =(b+c)2﹣3bc≥ (b+c)2(当且仅当 b=c 时取等

∴△ABC 的周长的取值范围为(14,21]. 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,属 于中档题. 22.设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x) . (Ⅰ)求 g(x)的单调区间和最小值; (Ⅱ)讨论 g(x)与 的大小关系;

(Ⅲ)求 a 的取值范围,使得 g(a)﹣g(x)< 对任意 x>0 成立. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】计算题;综合题;压轴题;转化思想. 【分析】 (I)求导,并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值,即可求得结果; (Ⅱ)通过函数的导数,利用函数的单调性,判断两个函数的大小关系即可. (Ⅲ)利用(Ⅰ)的结论,转化不等式,求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)由题设知 f(x)=lnx,g(x)=lnx+ ,

∴g'(x)=

,令 g′(x)=0 得 x=1,

当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调减区间. 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调递增区间, 因此,x=1 是 g(x)的唯一值点,且为极小值点, 从而是最小值点,所以最小值为 g(1)=1. (II)



,则 h'(x)=﹣



当 x=1 时,h(1)=0,即



当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(1)<0, 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减, 当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即 (III)由(I)知 g(x)的最小值为 1, 所以,g(a)﹣g(x)< ,对任意 x>0,成立?g(a)﹣1< , 即 Ina<1,从而得 0<a<e. 【点评】此题是个难题.主要考查导数等基础知识,考查推理论证能力和、运算求解能力, 考查函数与方程思想,数形结合思想,化归和转化思想,分类与整合思想.其考查了同学们 观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. . ,


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