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内蒙古乌拉特前旗第一中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 理


月 考 数 学 试 卷(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.. 1.已知集合 A ? {x x ? 1 } , B ? {0,1,2,4} ,则 (C R A) ? B = A. {0,1} B. {0} C. {2,4} D. ?

2.下列命题中的假命题是 A. ?x ? R,2 x?1 ? 0 C. ?x0

? R, lg x0 ? 1 B. ?x ? N ? , ( x ? 1) 2 ? 0 D. ?x0 ? R, tan x0 ? 2 ) D. 2 ? 3i

3.若复数 z ? i ? 3 ? 2i ? ( i 是虚数单位 ),则 z ? ( A. 3 ? 2i B. 3 ? 2i C. 2 ? 3i

4. 如图, 某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y ? 3sin( 函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( A.5 B.6 C.8 ) D.10

?
6

x ? ? ) ? k ,据此

5.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下 统计数据表: 收入 x (万元) 支出 y (万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一户 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
收入为 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 ) C.12.0 万元 D.12.2 万元

?4 x ? 5 y ? 8 ? 6.若变量 x,y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为 ?0 ? y ? 2 ?
A.

31 5

B. 6

C.

23 5
)

D. 4

7 执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=(

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

8.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] ? [4, ??) B. (??, ?2] ? [5, ??) D. (??,1] ? [2, ??) w..5.u.co.m C .



[1, 2]

9. 已知 P, Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限, 且 P 点的纵坐标为 A.

4 5 , Q 点的横坐标为 ,则 cos?POQ ? 5 13
B.

33 65

34 65

C. ?

34 65

D. ?

33 65

?x ? y ? 0 ? 10.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 4,则 a ? ( ?y ? 0 ?
(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3



11.设 f ( x) ? ln x, 0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f ( 列关系式中正确的是( A. q ? r ? p 12. 已知 ? , ? ? [ ? A. ? ? ? ) B. q ? r ? p

a?b 1 ) , r ? ( f (a ) ? f (b)) ,则下 2 2
D. p ? r ? q

C. p ? r ? q

? ?

, ] , ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ,则下列不等式一定成立的是 2 2
B. ? ? ? C. ? ? ? ? 0 D.

?2 ? ?2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.不等式 2
x2 ? x

? 4 的解集为________.

x2 ? y 2 14.定义运算“ ? ”: x ? y ? ( x,y ? R, xy ? 0 ).当 x ? 0,y ? 0 时, xy
x ? y ? (2 y ) ? x 的最小值是
( ,?) 15.已知 ? ? , sin ? ? cos ? ? ? 2
.

?

1 ? ,则 tan(? ? ) = 4 5
1 1 的扇形面积为 2 2

16.给出下列四个命题:①半径为 2,圆心角的弧度数为 ②若 ? , ? 为锐角, tan( ? ? ? ) ? ③? ?

1 1 ? , tan ? ? ,则 ? ? 2 ? ? 2 3 4

3? 是函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数的一个充分不必要条件 2

④函数 y ? cos( 2 x ? 其中正确的命题是

?
3

) 图象的一条对称轴是 x ?
.

2? 3

三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? sin 2 ? x ?

? ?

??

?, x?R 6?

(I)求 f ( x) 最小正周期;(II)求 f ( x) 在区间 ??

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 3 4? ?

18.(本小题满分 12 分) 某高校共有学生 15 000 人,其中男生 10 500 人,女生 4500 人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生 每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时). (1)应收集多少位女生的样本数据? (2)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图示), 在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时,请完成每周平均体育运动 时间与性别列联表, 并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别 有关”.

P(K2≥k0) k0

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

n(ad-bc) 2 附:K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19. (本小题满分 12 分)某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐 3 名男生,2

名女生,B 中学推荐了 3 名男生,4 名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员 的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3 人,女生中随机抽取 3 人组成代表队 (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率. (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,设 X 表示参赛的男生人数,求

X 得分布列和数学期望.

20. (本小题满分 12 分)如图所示, 在多面体 A1 B1 D1 DCBA , 四边形 AA1 B1 B , ADD1 A1 , ABCD 均为正方形, E 为 B1 D1 的中点,过 A1 , D, E 的平面交 CD1 于 F. (Ⅰ)证明: EF / / B1C ; (Ⅱ)求二面角 E ? A1 D ? B1 余弦值.

21. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其 ? y ? t sin ? ,

中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线

C3 : ? ? 2 3 cos ? .(Ⅰ).求 C2 与 C3 交点的直角坐标;
(Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.

22. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | ?2 | x ? a | (a ? 0) (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年度前旗一中月考试卷答案(理科)2015-9-25 一、A B D C 二、 (?1, 2). B C C A D B C D ③④

2

1 7

三、17【答案】(I) ? ; (II) f ( x ) max ? 【解析】(I) 由已知,有

3 1 , f ( x ) min ? ? . 4 2

?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? 1 1 ? cos 2 x 3 3? 1?1 ? f ( x) ? ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x 2 2 2?2 2 ? 2
? 3 1 1 ? ?? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? .------------------------------------4 分 4 4 2 ? 6?
2? ? ? .-----------------------------------------6 分 2

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)因为 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? ? ? ?? , ? ? 上是减函数,在区间 ? ? , ? 上是增函数, ? 3 6? ? 6 4?

? 1 ? 1 ? 3 3 ? ? ?? ,所以 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值为 , f (? ) ? ? , f (? ) ? ? , f ( ) ? 3 4 6 2 4 4 4 ? 3 4?
最小值为 ?

1 .----------------------------------------------12 分 2

4500 18.解: (1)300× =90,所以应收集 90 位女生的样本数据.------------------4 分 15 000 (2) 300 位学生中有 300×0.75=225(位)的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的 每周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是关 于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:

男生 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 每周平均体育运动时间超过 4 小时 总计 45 165 210

女生 30 60 90

总计 75 225 300 ------8分

300×(165×30-45×60) 100 2 结合列联表可算得 K = = ≈4.762>3.841.-------------10 分 75×225×210×90 21

2

所以有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” .---12 分

19.(1)由题意,参加集训的男女生各有 6 名. 参赛学生全从 B 中抽取(等价于 A 中没有学生入选代表队)的概率为
3 3 C3 C4 1 . ? 3 3 C6 C6 100

因此,A 中学至少 1 名学生入选的概率为 1 ? 分 (2)根据题意,X 的可能取值为 1,2,3.

1 99 ? .------------------------------5 100 100

P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ?

1 3 C3 C3 1 ? , C64 5

C32C32 3 ? , C64 5
3 1 C3 C3 1 ? ,--------------------------------------8 分 C64 5

所以 X 的分布列为:

X p

1 1 5

2 3 5

3 1 5
-------------------10 分

因此,X 的期望为 E ( X ) ? 1?

1 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .---------------12 分 5 5 5

20【答案】 (Ⅰ) EF / / B1C ;--------------------6 分

(Ⅱ)

6 .-------------------12 分 3

解析: (Ⅰ)证明:由正方形的性质可知 A1 B1 / / AB / / DC ,且 A1 B1 ? AB ? DC ,所以四边 形 A1 B1CD 为平行四边形,从而 B1C / / A1 D ,又 A1 D ? 面 A1 DE , B1C ? 面 A1 DE ,于 是 B1C / / 面 A1 DE ,又

?? ?? ? n1 ? (?1,1,1) .设面 A1 B1CD 的法向量 n2 ? (r2 , s2 , t2 ) ,而该面上向量 ???? ? ???? ? ?? ? A1 B1 ? (1, 0, 0), A1 D ? (0,1, ?1) ,由此同理可得 n2 ? (0,1,1) .所以结合图形知二面角
?? ?? ? | n1 ? n2 | 2 6 ? ? ? E ? A1 D ? B 的余弦值为 ?? ?? . 3 | n1 | ? | n2 | 3? 2
21.

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? .因此 A 得到极坐标为

(2sin ? , ? )



B











(2 3 cos? , ? )





AB ? 2 sin? ? 2 3 cos ? ? 4 s in(? ?
22.

?
3

) ,当 ? ?

5? 时, AB 取得最大值, 最大值为 4 . 6

(Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|>1, 等价于 ?

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ?x ? 1 2 或? 或? ,解得 ? x ? 2 , 3 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1
2 ? x ? 2} . 3
??--------------5 分

所以不等式 f(x)>1 的解集为 {x |

所以函数 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A(

2a ? 1 , 0) , 3

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , B (2a ? 1, 0) , C (a, a +1) ,所以△ABC ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
的面积为

2 (a ? 1) 2 . 3 2 (a ? 1) 2 >6,解得 a ? 2 . 3
??----------------10 分

由题设得

所以 a 的取值范围为(2,+∞).


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