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【2011西城二模】北京市西城区2011年高三二模试卷数学理


北京市西城区 2011 年高三二模试卷

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2011.5

小题, 在每小题列出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出 选择题: 符合题目要求的一项. 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A = {0,1} , B = {?1, 0, a + 3} ,且 A ? B ,则 a 等于 (A) 1 (B) 0
2 3

(C) ?2

(D) ?3

2.已知 i 是虚数单位,则复数 z = i+2i + 3i 所对应的点落在 (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限

3.在 “ 3. ?ABC 中, AB ? BC > 0 ”是“ ?ABC 为钝角三角形”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

uuu uuu r r

4.已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形,

PA ⊥ 平面 ABC .则下列结论不正确的是 ...
(A) CD // 平面 PAF (B) DF ⊥ 平面 PAF (C) CF // 平面 PAB (D) CF ⊥ 平面 PAD 5.双曲线

x2 y2 ? = 1 的渐近线与圆 x 2 + ( y ? 2) 2 = 1 相切,则双曲线离心率为 a2 b2
(B) 3 (C) 2 y P x A O B (D) 3

(A) 2

6.函数 y = sin( πx + ? ) (? > 0) 的部分图象如右图所示,设

P 是 图 象 的 最 高 点 , A, B 是 图 象 与 x 轴 的 交 点 , 则

tan ∠APB =

(A) 10

(B) 8

(C)

8 7

(D)

4 7

第 1 页 共 11 页 40965160.doc

已知数列 {an } 的通项公式为 an = n ? 13 , 那么满足 ak + ak +1 + L + ak +19 = 102 的整数 k 7. (A)有 3 个 (C)有 1 个 (B)有 2 个 (D)不存在
2 2

8.设点 A(1, 0) , B (2,1) ,如果直线 ax + by = 1 与线段 AB 有一个公共点,那么 a + b (A)最小值为

1 5

(B)最小值为

5 5 5 5

(C)最大值为

1 5

(D)最大值为

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9.在 ?ABC 中,若 B = 2 A , a : b = 1: 3 ,则 A = _____. 10.在 ( 10

1 + x)5 的展开式中, x 2 的系数是_____. 2 x
A
?

D C O B P

11.如图, AB 是圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PD 11 切圆 O 于点 C .已知圆 O 半径为 3 , OP = 2 ,则

PC = ______; ∠ACD 的大小为______. π 12.在极坐标系中,点 A(2, ) 关于直线 l : ρ cos θ = 1 的对称点 12 2
的一个极坐标为_____. 13.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如右图所示. 13 设 f ( x ) = (0 ? x ) x ? (2 ? x ) . 则 f (2) = ______;
开始 输入 a, b

a≥b




f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最小值为______. n?λ 14.数列 {an } 满足 a1 = 1 , an +1 = an ,其中 λ ∈ R , 14 n +1 n = 1, L . 2,
①当 λ = 0 时, a20 = _____;

S=b
输出 S 结束

S =a

②若存在正整数 m ,当 n > m 时总有 an < 0 ,则 λ 的取值范围是_____.

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小题, 解答应写出必要的文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 解答题: 骤. 15. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) =

cos 2 x

sin( x + ) 4

π

.

( Ⅰ ) 求 函 数 f ( x) 的 定 义 域 ; ( Ⅱ ) 若 f ( x) =

4 , 求 sin 2x 的 值 . 3

16. 16.(本小题满分 13 分) 如图,已知菱形 ABCD 的边长为 6 , ∠BAD = 60 , AC I BD = O .将菱形 ABCD 沿
o

对角线 AC 折起,使 BD = 3 2 ,得到三棱锥 B ? ACD . (Ⅰ)若点 M 是棱 BC 的中点,求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 二 面 角 A ? BD ? O 的 余 弦 值 ; (Ⅲ)设点 N 是线段 BD 上一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN = 4 2 ,并证明 你的结论.

M

17. (本小题满分 13 分) 17. 甲班有 2 名男乒乓球选手和 3 名女乒乓球选手, 乙班有 3 名男乒乓球选手和 1 名女乒乓 球选手,学校计划从甲乙两班各选 2 名选手参加体育交流活动. (Ⅰ)求选出的 4 名选手均为男选手的概率. (Ⅱ)记 X 为选出的 4 名选手中女选手的人数,求 X 的分布列和期望. 18. 18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = (1 ? )e ( x > 0) ,其中 e 为自然对数的底数.
x

a x

(Ⅰ)当 a = 2 时,求曲线 y = f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e , 求 a 的值.
5

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19. 19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 2 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 , 且椭圆上一点与椭圆的两个焦 2 a b 3

点构成的三角形周长为 6 + 4 2 . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C , 求 ?ABC 面积的最大值.

20. 20.(本小题满分 13 分) 若 A1 , A2 , L , Am 为集合 A = {1,2, L , n}( n ≥ 2 且 n ∈ N* ) 的子集,且满足两个条件: ① A1 U A2 UL U Am = A ; ②对任意的 {x, y} ? A ,至少存在一个 i ∈ {1,2,3, L , m} ,使 Ai I {x, y} = {x} 或 { y} . 则称集合组 A1 , A2 , L , Am 具有性质 P . 如图, n 行 m 列数表, 作 定义数表中的第 k 行第 l 列

a11 a 21


a12 a 22


… … … …

a1m a 2m


?1 的数为 a kl = ? ?0

(k ∈ Al ) (k ? Al )

.

(Ⅰ)当 n = 4 时,判断下列两个集合组是否具有性 质 P ,如果是请画出所对应的表格,如果不是请说明理由; 集合组 1: A1 = {1, 3}, A2 = {2,3}, A3 = {4} ; 集合组 2: A1 = {2,3, 4}, A2 = {2,3}, A3 = {1, 4} .

a n1

an2

a nm

(Ⅱ)当 n = 7 时,若集合组 A1 , A2 , A3 具有性质 P ,请先画出所对应的 7 行 3 列的一 个数表,再依此表格分别写出集合 A1 , A2 , A3 ; (Ⅲ) n = 100 时, 当 集合组 A1 , A2 ,L , At 是具有性质 P 且所含集合个数最小的集合组, 求 t 的值及 | A1 | + | A2 | + L | At | 的最小值.(其中 | Ai | 表示集合 Ai 所含元素的个数)

第 4 页 共 11 页 40965160.doc

北京市西城区 2011 年高三二模试卷 参考答案及评分标准

数学(理科)
小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 C 6 B

2011.5

7 B

8 A

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9. 30o 10. 5 11. 1 ; 75 14.
o

12. (2 2, ) (或其它等价写法) 13. ?2 ; ?6

π 4

1 ; (2k ? 1, 2k ), k ∈ N* . 20

注:11、13、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 解答题: 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15.(本小题满分 13 分) 15. 解 : Ⅰ ) 由 题 意 , sin( x + ( 所以 x+

π ,k ∈Z} . 4 cos 2 x cos 2 x ( Ⅱ ) f ( x) = = π π π sin( x + ) sin x cos + cos x sin 4 4 4
函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 {x x ≠ k π ?

π ≠ k π( k ∈ Z ) , 4 π 所 以 x ≠ k π ? (k ∈ Z) , 4

π )≠0 , 4

………………2 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………7 分

=

2 cos 2 x sin x + cos x 2(cos 2 x ? sin 2 x) = 2(cos x ? sin x) . sin x + cos x 4 2 2 , 所 以 cos x ? sin x = . 3 3
2

………………8 分

=

………………10 分

因为 f ( x ) =

………………11 分

所以,sin 2 x = 1 ? (cos x ? sin x )

………………12 分

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= 1?

8 1 = . 9 9

………………13 分

16.(本小题满分 13 分) 16. (Ⅰ)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . 因为 OM ? 平 面 ABD , AB ? 平 面 ABD , 所 以 OM // 平 面 ABD . (Ⅱ)解:由题意, OB = OD = 3 , 因为 BD = 3 2 , 所以 ∠BOD = 90 ,OB ⊥ OD .
o

………………1 分

………………3 分 B ………………4 分 x A O y z M C

又因为菱形 ABCD ,所以 OB ⊥ AC , OD ⊥ AC . 建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.

D

A(3 3, 0, 0), D (0,3, 0), B (0, 0, 3) . uuu r uuur 所以 AB = ( ?3 3, 0, 3), AD = ( ?3 3, 3, 0),
设平面 ABD 的法向量为 n = ( x, y , z ) ,

………………6 分

uuu r ??3 3 x + 3 z = 0, ? AB ? n = 0, ? ? 则有 ? uuur 即: ? ? AD ? n = 0 ? ?3 3 x + 3 y = 0 ? ?
令 x = 1 ,则 y = 3, z =

3 ,所以 n = (1, 3, 3) .

………………7 分

因为 AC ⊥ OB, AC ⊥ OD ,所以 AC ⊥ 平面 BOD . 平面 BOD 的法向量与 AC 平行, 所以平面 BOD 的法向量为 n0 = (1, 0, 0) . ………………8 分

cos? n0 , n? =

n0 ? n 1 7 = = , n0 n 1× 7 7

因 为 二 面 角 A ? BD ? O 是 锐 角 , 所 以 二 面 角 A ? BD ? O 的 余 弦 值 为

7 . 7

……………9 分

(Ⅲ)解:因为 N 是线段 BD 上一个动点,设 N ( x1 , y1 , z1 ) , BN = λ BD , 则 ( x1 , y1 , z1 ? 3) = λ (0,3, ?3) , 所以 x1 = 0, y1 = 3λ , z1 = 3 ? 3λ , ……………10 分

uuur

uuu r

uuur 则 N (0,3λ ,3 ? 3λ ) , CN = (3 3,3λ ,3 ? 3λ ) ,
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由 CN = 4 2 得 27 + 9λ + (3 ? 3λ ) = 4 2 ,即 9λ ? 9λ + 2 = 0 ,…………11 分
2 2
2

解得 λ =

1 2 或λ = , 3 3

……………12 分 ……………13 分

所以 N 点的坐标为 (0, 2,1) 或 (0,1, 2) .

uuur uuur uuur uuur (也可以答是线段 BD 的三等分点, BN = 2 ND 或 2BN = ND )

17. 17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)事件 A 表示“选出的 4 名选手均为男选手”.由题意知 解:

C32 P( A) = 2 2 C5 C4 = 1 1 1 × = . 10 2 20

………………3 分

………………5 分 ………………6 分

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2, 3 .

P( X = 0) =

C32 3 1 , = = 2 2 C5 C4 10 × 6 20

………………7 分

1 1 1 C2C3C32 + C3 2 × 3 × 3 + 3 7 , P( X = 1) = = = 10 × 6 20 C52C42 1 C32C3 3× 3 3 = = , 2 2 C5 C4 10 × 6 20

………………9 分

P( X = 3) =

………………10 分

P ( X = 2) = 1 ? P ( X = 0) ? P ( X = 1) ? P ( X = 3) = X 的分布列: X P
………………12 分

9 . 20
3 3 20

………………11 分

0 1 20

1 7 20

2 9 20

E( X ) = 0 ×

1 7 9 3 17 + 1× + 2 × + 3 × = . 20 20 20 20 10

………………13 分

18、 、 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ′( x ) =

x 2 ? ax + a x e , x2 x2 ? 2 x + 2 x e , x2

………………3 分

当 a = 2 时, f ′( x ) =

f ′(1) =

1? 2 + 2 1 × e = e , f (1) = ?e , 12
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所以曲线 y = f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y = ex ? 2e , 切线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 ( 2, 0) , (0, ?2e) , 所以,所求面积为

………………5 分 ………………6 分 ………………7 分

1 × 2 × ?2e = 2e . 2

(Ⅱ)因为函数 f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点, 所以,方程 x ? ax + a = 0 在 (0, +∞ ) 内存在两个不等实根,
2

………………8 分 ………………9 分

则?

?? = a 2 ? 4a > 0,

?a > 0.

所以 a > 4 . 设 x1 , x2 为函数 f ( x) 的极大值点和极小值点, 则 x1 + x2 = a , x1 x2 = a , 因为, f ( x1 ) f ( x2 ) = e ,
5

………………10 分

………………11 分

所以,

x1 ? a x1 x2 ? a x2 e × e = e5 , x1 x2

………………12 分



x1 x2 ? a ( x1 + x2 ) + a 2 x1 + x2 a ? a2 + a2 a e = e5 , e = e5 , e a = e5 , x1 x2 a

解得, a = 5 ,此时 f ( x ) 有两个极值点, 所以 a = 5 . 19. 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6 + 4 2 , 所以 2a + 2c = 6 + 4 2 , 又椭圆的离心率为 ……………1 分 ………………2 分 ………………4 分 ………………14 分

2 2 c 2 2 2 2 ,即 = ,所以 c = a, 3 a 3 3

所以 a = 3 ,c = 2 2 . 所以 b = 1 ,椭圆 M 的方程为

x2 + y2 = 1. 9

………………5 分

(Ⅱ)方法一:不妨设 BC 的方程 y = n( x ? 3), ( n > 0) ,则 AC 的方程为 y = ?

1 ( x ? 3) . n

? y = n( x ? 3), 1 ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 ( + n ) x ? 6n x + 9n ? 1 = 0 , 2 9 ? + y =1 ?9
设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,
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………………6 分

因为 3 x2 =

81n 2 ? 9 27 n 2 ? 3 ,所以 x 2 = , 9n 2 + 1 9n 2 + 1 27 ? 3n 2 , 9 + n2
2

………………7 分

同理可得 x1 =

………………8 分

所以 | BC |= 1 + n

6 9n 2 + 1

, | AC |=

1 + n 2 6n 2 , n 9 + n2

………………10 分

S ?ABC

1 = | BC || AC |= 2

1 2(n + ) n , 1 2 64 (n + ) + n 9

………………12 分

1 ≥ 2, n 2t 2 3 则S = = ≤ , 64 64 8 t2 + t+ 9 9t 8 当且仅当 t = 时取等号, 3 3 所以 ?ABC 面积的最大值为 . 8
设t = n + 方法二:不妨设直线 AB 的方程 x = ky + m .

………………13 分

………………14 分

? x = ky + m, ? 由 ? x2 消去 x 得 ( k 2 + 9) y 2 + 2kmy + m 2 ? 9 = 0 , 2 ? + y = 1, ?9
设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,

………………6 分

2km m2 ? 9 ,y1 y2 = 2 . ① k2 + 9 k +9 uuu uuu r r 因为以 AB 为直径的圆过点 C ,所以 CA ? CB = 0 . uuu r uuu r 由 CA = ( x1 ? 3, y1 ), CB = ( x2 ? 3, y2 ) ,
则有 y1 + y2 = ? 得 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) + y1 y2 = 0 . 将 x1 = ky1 + m, x2 = ky2 + m 代入上式, 得 ( k + 1) y1 y2 + k ( m ? 3)( y1 + y2 ) + ( m ? 3) = 0 .
2 2

………………7 分

………………8 分

12 或 m = 3 (舍). ………………10 分 5 12 12 (此时直线 AB 经过定点 D ( , 0) ,与椭圆有两个交点) , 所以 m = 5 5
将 ① 代入上式,解得 m =
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所以 S ?ABC =

1 | DC || y1 ? y2 | 2
……………12 分

1 3 9 25(k 2 + 9) ? 144 = × ( y1 + y2 ) 2 ? 4 y1 y2 = . 2 5 5 25(k 2 + 9) 2
设t =

1 1 ,0 < t ≤ , k +9 9
2

则 S ?ABC = 所以当 t =

9 144 2 ? ?t + t . 5 25
25 1 3 ∈ (0, ] 时, S ?ABC 取得最大值 . 288 9 8
……………14 分

20. 20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:集合组 1 具有性质 P . 所对应的数表为:
1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

………………1 分

………………3

分 集合组 2 不具有性质 P . 因为存在 {2,3} ? {1, 2,3, 4} , 有 {2,3} I A1 = {2, 3}, {2,3} I A2 = {2,3} , {2,3} I A3 = ? , 与对任意的 {x, y} ? A ,都至少存在一个 i ∈ {1, 2, 3} ,有 Ai I {x, y} = {x} 或 {y} 矛盾, 所 以 集 合 组 ………………4 分

A1 = {2,3, 4}, A2 = {2,3}, A3 = {1, 4}











P.
(Ⅱ)
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1

………………5 分
1 0 0 0 1 1 1

……………7 分

A1 = {3, 4, 5, 7}, A2 = {2, 4, 6, 7}, A3 = {1,5, 6, 7} .
(Ⅲ)设 A1 , A2 ,L , At 所对应的数表为数表 M , 因为集合组 A1 , A2 ,L , At 为具有性质 P 的集合组, 所以集合组 A1 , A2 ,L , At 满足条件①和②, 由条件①: A1 U A2 ULU At = A ,
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………………8 分

(注:表格中的 7 行可以交换得到不同的表格,它们所对应的集合组也不同)

可得对任意 x ∈ A ,都存在 i ∈ {1, 2, 3,L , t} 有 x ∈ Ai , 所以 a xi = 1 ,即第 x 行不全为 0, 所以由条件①可知数表 M 中任意一行不全为 0. ………………9 分

由 条 件 ② 知 , 对 任 意 的 {x, y} ? A , 都 至 少 存 在 一 个 i ∈ {1, 2, 3,L , t} , 使

Ai I {x, y} = {x} 或 { y} ,所以 a xi , a yi 一定是一个 1 一个 0,即第 x 行与第 y 行的第 i 列的
两个数一定不同. 所以由条件②可得数表 M 中任意两行不完全相同. 又因数表 M 中任意两行都不完全相同,所以 100 ≤ 2 ? 1 ,
t

………………10 分

t 去掉全是 0 的 t 元有序数组, 共有 2t ? 1 个, 因为由 0,1 所构成的 t 元有序数组共有 2 个,

所以 t ≥ 7 . 又 t = 7 时,由 0,1 所构成的 7 元有序数组共有 128 个,去掉全是 0 的数组,共 127 个, 选择其中的 100 个数组构造 100 行 7 列数表,则数表对应的集合组满足条件①②,即具有性 质P. 所以 t = 7 . 因为 | A1 | + | A2 | + L + | At | 等于表格中数字 1 的个数, 所以,要使 | A1 | + | A2 | + L + | At | 取得最小值,只需使表中 1 的个数尽可能少, 而 t = 7 时,在数表 M 中, ………………12 分

1 的个数为 1 的行最多 7 行; 1 的个数为 2 的行最多 C72 = 21 行;
3 1 的个数为 3 的行最多 C7 = 35 行;

1 的个数为 4 的行最多 C74 = 35 行;
因为上述共有 98 行,所以还有 2 行各有 5 个 1 , 所以此时表格中最少有 7 + 2 × 21 + 3 × 35 + 4 × 35 + 5 × 2 = 304 个 1 . 所以 | A1 | + | A2 | + L + | At | 的最小值为 304 . ………………14 分

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