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直线与双曲线的位置关系(1)


复习:

椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组

相切

相交

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

初步感知



直线与双曲线位置关系:
Y

O

X

分类: 相离;相切;相交。

图象法:

根据交点个数判定
Y

相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点 相交:一个交点
Y

O

X

O

X

代数法:

判断直线与双曲线位置关系的操作流程图

把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

典型例题:

?1- k ? x
2

2

+ 2kx - 5 = 0

例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k< ? 5或k> 5 ;
2 2 2

(2)有两个公共点; (2) ? 5 <k< 5 ; k ? ?1 且
2

(3)只有一个公共点; (3)k=±1,或k= ± 5 ;
2

(4)交于异支两点; (4)-1<k<1 ;

5 (5)与左支交于两点. ? k ? ?1 2

练习:
x2 y2 ? ?1 交于两点的直线斜率的 1.过原点与双曲线 ? 4 3 取值范围是
? ? 3? ? 3 ? ? ??, ? ?? , ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?

2.过点P(1,1)与双曲线

x2 y2 ? ? 1 只有 一个 9 16
Y
(1,1)

4 交点的直线 共有_______条. 变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
O



X

2.B(3,0)
3.C(4,0)

4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.

倾斜角为30°的直线,交双曲线于A、B两点, 求|AB|. y
16 3 | A B |= 5

x y 例2 过双曲线 ? ? 1的右焦点作 3 6

2

2

F1

o
A

B F2

x

典型例题: 例3. 以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的一 条弦AB,求直线AB的方程。 解法一: (1) 当过P点的直线AB和x轴垂直时,直线 被双曲线截得的弦的中点不是P点。 (2) 当过P点的直线AB和x轴不垂直时,设 其斜率为k。则直线AB的方程为y-8=k(x-1)
? y - 8 = k ? x -1? ? 由? 2 ,得 2 ? y - 4x = 4 ?

?k

2

- 4 ? x + 2k ? k - 8 ? x + ?8 - k ? - 4 = 0
2 2

典型例题:

?k

2

- 4 ? x + 2k ? k - 8 ? x + ? 8 - k ? - 4 = 0
2 2

?1?
?2 ?

设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则x1 , x2是方程 ?1?的两个不等实根.
∴Δ = 4k ? 8 - k ? -4 ? k 2 -4 ? ??8 - k 2 ? -4 ? > 0 ? ?
2 2

?弦AB的中点是P ?1,8? ,

∵中点坐标公式与韦达定理,得 - 2 =1 k -4 1 由? 2 ? ? 3? 得k = 2 1 ? 直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? 2

k ? 8- k ?

?3?

即直线AB的方程为x-2y+15 = 0

典型例题:
解法二:设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 ?y12 ? 4 x12 ? 4 ? , ? 2 2 ?y2 ? 4 x2 ? 4 ? ? ? y1 ? y1 ?? y1 ? y1 ? ? 4 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ,
?弦AB的中点是P ?1,8? , ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 16.

?16 ? y1 ? y1 ? ? 8 ? x1 ? x2 ? , y1 ? y1 1 ? 直线AB的斜率为 ? , x1 ? x2 2 1 ? 直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? 2 即直线AB的方程为x-2y+15 = 0

典型例题:

例4 设两动点A、B分别在双曲线

x 2 - y = 1的两条渐近线上滑动,且 4 |AB|=2,求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A M
设A ? 2 y1 , y1 ? , B ? ?2 y2 , y2 ? , 则由 AB ? 2得

2

? 2 y1 ? 2 y2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2
2

o
B

x

x 2 + 4y = 1 4

2

例5.已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求:
(1)以2为斜率的弦的中点轨迹; (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹; (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗?说明理由;

韦达定理 与 点差法

x2 y 2 例7、由双曲线 9 ? 16 ? 1上的一点P与左、右 两焦点 F1、F2 构成 ?PF1 F2,求 ?PF1 F2的内切圆与
边 F1 F2 的切点坐标。

说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中 | PF1 | 、PF2 |和 | F1 F2 | | 为三角形的三边。

练习题 : 已知双曲线C : 2x - y = 2与点P ?1,2 ? .
2 2

?1? 求过点P ?1,2 ?的直线L的斜率k的取值范围,
使L与C有一个交点?两个交点?没有交点?

? 2 ? 是否存在过P的弦AB, 使AB的中点为P? ?3 ? 若Q ?1,1? , 试判断以点Q为中点的弦是否存在?
3 ?1? k ? ? 2或k ? ; 2 ? 2 ? 存在直线y=x+1;

? 3 ? 不存在.

小结:
1 .直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法; 2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标, 利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算,

使问题获解,但须注意检验直线与双曲线是否相交。

作业:
?1? 求实数k的取值范围; ? 2? 是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右
焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. 2.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点且互相垂直, 又知C的一个焦点与点A 1, 2 -1 关于直线y = x -1对称.

1.直线l : y = kx +1与双曲线C : 2x 2 - y 2 =1右支交于不同的两点A,B

?

?

?1? 求双曲线C的方程.
?2 ? ? 2? 是否存在直线y = kx + b与双曲线C交于P,Q两点,使PQ恰被点 ? ,1? 平分? ?3 ? ?3? 设直线y = mx +1与双曲线C的右支交于B,C两点,另一直线l经过M ?-2,0 ? 及CB的中点,求直线l在y轴上的截距t的取值范围.

作业:
y2 3.(课本B组题4)给定双曲线x 2 = 1,过点P(1,1) 2 能否作直线L使L与所给双曲线交于两点A,B,且P是线 段AB的中点?说明理由.

y1 - y 2 ∴ = 2,即k = 2 x1 - x 2 ∴ L方程为 : y - 1 = 2(x - 1)
ì 2 y2 ? ?x =1 ? 2 揶 2x - 4x + 3 = 0 í 2 ? ? y - 1 = 2(x - 1) ? ? ?

△< 0

方程组无解,故满足条件的L不存在。


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