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1.1.2弧度制


1.1.2 弧度制 教学目标: 知识与技能(1)了解弧度制的定义; (2)领会弧度制定义的合理性; (3)能进行角度制 与弧度制的换算; (4)角的集合与实数集 R 之间建立的一一对应关系. (5)会用弧度制 表示的弧长公式、扇形面积公式; 过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并了解弧度制的定义,领

会定义的合理性,以具体的实例学习角度

制与弧度制的互化; 情态与价值观 通过本节的学习,使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制,理解

并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的 关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立了一一对应关系 :即 每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有 唯一的一个角 (即弧度数等于这个实数的角) 与它对应, 为下一节学习三角函数做好准备。 教学重点:了解弧度制定义;能进行角度制与弧度制地互化换算. 教学难点:弧度制定义,弧度制的运用. 课时计划:1 授课类型:新授课 教法学法:启发式 教学用具:三角板 一、复习引入: 1.角的概念的推广: ⑴“旋转”形成角 ⑵角的分类: “正角”与“负角” “0 角”.

2.度量角的大小的单位是什么?1°的角是如何定义的?计算弧长,公式为 3.探究:30°、60°的圆心角,半径 r 为 1,2,3,4,分别计算对应的弧长 L,再计算弧 长与半径的比. 结论:圆心角不变,则比值不变. 因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是另一种 度量角的制度——弧度制.

1

二、讲解新课: 1. 定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角 它的单位是 rad 读作弧度,
王新敞
奎屯 新疆

这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 如下图,依次是 1rad , 2rad , 3rad ,α rad
2r
3r
3rad

l
? rad

r
1rad

r r

2rad

r

r

r

探究:⑴平角=? rad、周角=2? rad ⑵正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0 ⑶角?的弧度数的绝对值

? ? ( l 为弧长,为半径)

l r

⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法,单位、进制不同 2. 角度制与弧度制的换算: ∵ 360?=2? rad ∴ 1?= ∴180?=? rad

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

? 180? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?
三、讲解范例: 例 1 、按照下列要求,把 67 30' 化成弧度: (1)精确值; (2)精确到 0.001 的近似值. 解:(1) 67? 30' ? ? 67 ? ∴ 67 30' ?
?

?

? ?

1? 2?

?

(2)略

1 3 ? ?rad 180 2 8 3 3 3 ? ? 例 2、 把 ?rad 化成度 解: ?rad ? ? 180 ? 108 5 5 5 rad ? 67
注意:1.“弧度”二字和单位符号“rad” 在具体运算时可以省略.如:3 表示 3rad; sin?
2

?

表示?rad 角的正弦; 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住: 0° 角度 弧度 角度 弧度 0 210° 7π /6 π /6 225° 5π /4 π /4 240° 4π /3 π /3 270° 3π /2 π /2 300° 5π /3 2π /3 315° 7π /4 3π /4 330° 11π /6 5π /6 360° 2π π 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

3.角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立 一种一一对应的关系 正角 零角 负角 任意角的集合 思考:如何用弧度制表示: 1 终边在 x 轴上的角的集合 正实数 零 负实数 实数集 R

S1 ? ?? | ? ? k? , k ? Z ?

2

终边在

y 轴上的角的集合

? ? ? S 2 ? ?? | ? ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
? ? k? ? ,k ? Z? 2 ?

3 终边在坐标轴上的角的集合 S 3 ? ?? | ? ? 例 3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1) l ? ? R (2) S ?

1 ? R2 2

(3) S ?

1 lR 2

R o S l

其中 l 是扇形弧长, R 是圆的半径。 解: (1)由公式 ? ?

l ? r

l ?r??

即 l ??R

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径 (2、3) 如图:圆心角为 1rad 的扇形面积为:

1 ?R 2 2?

3

弧长为 l 的扇形圆心角为 比较这与扇形面积公式 S 扇 ?

l rad R

∴S ?

l 1 1 ? ? ?R 2 ? lR R 2? 2

n?R 2 要简单 360

练习:直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长 ⑴

4? 3

⑵ 165

?

小结:角的度量方法:角度制、弧度制;换算方法 作业:课本: 目标:

板书设计:1.1.2 弧度制 弧度制 换算法 课后反思: 例1 例2 例3

4


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