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高考数学椭圆与双曲线经典性质50条(完美)


祝各位莘莘学子高考成功!高考数学考出好成绩!

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 1. 2. 3. 4. 5. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 圆

4. 5.

以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

6. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 7.

6.

7.

8.

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 若P 在椭圆 ( x , y ) 0 0 0 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 若P 0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1 外 , 则 过 Po 作 椭 圆 的 两 条 切 线 切 点 为 P1 、 P2 , 则 切 点 弦 P1P2 的 直 线 方 程 是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b 2 x y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 a b ? S?F1PF2 ? b 2 tan . 2 2 2 x y 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

8.

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的 a b x0 x y0 y 直线方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则双曲线的焦 a b ? 2 点角形的面积为 S ?F PF ? b co t . 1 2 2 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F 1 (?c,0) , F 2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF 1 |? ?ex0

? a , | MF2 |? ?ex0 ? a

9.

设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10.

过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

9.

11.

AB 是双曲线

b 2 x0 x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, 则 ( x , y ) K ? K ? 0 0 OM AB a 2 b2 a 2 y0




10.

过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N, 则 MF⊥NF. 12.
2 2 2

即 K AB

?

b 2 x0 a 2 y0

11.

AB 是椭圆 即 K AB

x y b ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 2 a b a 2 b x ?? 2 0 。 a y0

, 13.

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ( a > 0,b > 0 )内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2 a2 b a b 2 2 2 2 x0 x y0 y x y x y ? 2 . 若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a b a2 b
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 高三数学备课组 椭
2 2

.

12.

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 若P 在椭圆 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 a2 b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 1 ? ? 2 ? 2 . 若P 在椭圆 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 ( x , y ) 0 0 0 a 2 b2 a 2 b2 a b
双曲线 1. 2. 3. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角.

. 1. 椭圆




13.

2.

x y ? 2 ? 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1 P2 时 A1P1 与 A2P2 2 a b x2 y 2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有 a b

PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

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定向且 kBC

?

b2 x0 a 2 y0

(常数).

(1) | PF 1 || PF2

|?

2b2 1 ? cos ?

.(2)

S?PF1F2 ? b 2 tan

?
2

.

3.

若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, a 2 b2

F

2

是焦点,

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则

12.

设 A、 B 是椭圆

x2 y 2 ? ?1 ( a 2 b2

?PAB a>b>0) 的长轴两端点, P 是椭圆上的一点,

??

,

?PBA ? ? , ?BPA ? ?



a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2
4.

c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1)

| PA |?

2ab2 | cos ? | a 2 ? c 2co s2 ?

.(2)

tan ? tan ? ? 1 ? e2

.(3)

x2 y 2 设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的两个焦点为 F1、 F2,P (异于长轴端点) 为椭圆上任意一点, 在△PF1F2 中, 记 ?F 1 PF2 ? ? , a b

S?PAB ?
13. 已知椭圆

2a 2 b 2 cot ? b2 ? a 2

.

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有
2 2

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

x2 y 2 ? ? 1( a 2 b2

a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,

点 C 在右准线 l 上,且 BC 5.

? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF

的中点.

x y 若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 a b
P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

14. 15.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

6.

P 为 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭 圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ?1 与 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .

直 线

A ? x

B? y 0 ?C 有

公 共 点 的 充 要 条 件 是

8.

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ), O 为 坐 标 原 点 , P 、 Q 为 椭 圆 上 两 动 点 , 且 OP ? OQ a 2 b2 4a 2 b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ; ( 3 ) 的最小值是 . S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2

.(1) 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 高三数学备课组 双曲线 1.

9.

过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 a 2 b2 | PF | e ? . | MN | 2
AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则

10.

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 a b 2 2 a ?b a 2 ? b2 ? ? x0 ? . a a
设 P 点是椭圆

2.

11.

x2 y 2 ? ?1 ( a 2 b2

a > b > 0 ) 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1 、 F2 为 其 焦 点 记

?F1PF2 ? ?

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1 P2 时 a 2 b2 x2 y 2 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点,则 a b b2 x0 直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 (常数). a y0
双曲线


,则

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3.

若 P

x2 y 2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )右(或左)支上除顶点外的任一点 ,F1, a b
c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

F

2

是焦点 ,

?PF1F2 ? ? ,

?PBA ? ? , ?BPA ? ?
(2)

,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |?

2ab2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s2 ? |

?PF2 F1 ? ? ,则
2 2

tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? b2 ? a 2

.

4.

设双曲线

x y ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中, 2 a b

13.

已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F a 2 b2
? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF
的中点.

的直线与双曲线相交于

sin ? c ? ?e. 记 ?F 1 PF2 ? ? , ?PF 1 F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有 ?(sin ? ? sin ? ) a
5. 若双曲线

A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC 14. 15.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲 a 2 b2

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

6.

P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 a 2 b2

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 . 2 a b x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a b 4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为 2 (1 ) ;(3) S ?OPQ 的最小值是 2 . b ? a2 b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
7. 双曲线 9.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x a 2 b2 | PF | e ? . 轴于 P,则 | MN | 2
过双曲线

10.

11.

12.

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) ,A、 B 是双曲线上的两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )上异于实轴端点的任一点 ,F1 、 F2 为其焦点记 ?F 1PF2 ? ? ,则 a b ? 2b2 2 (1) | PF .(2) S ?PF F ? b cot . 1 || PF2 |? 1 2 2 1 ? cos ? 2 2 x y 设 A 、 B 是 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 双 曲 线 上 的 一 点 , ?PAB ? ? , a b
已知双曲线

第 3 页

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