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河南省郑州市盛同学校2015届高三数学上学期12月月考试卷 文(含解析)


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河南省郑州市盛同学校 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷 (文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)集合 M={1,2},N={3,4,5},P={x|x=a+b,a∈M,b∈N},则集合 P 的元素个数 为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. (5 分)已知 A. 1+2i

=1﹣ni,其中 m,n∈R,i 为虚数 单位,则 m+ni=() B. 2+i C. 1﹣2i D. 2﹣i

3. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x﹣y 的最小值为()

A. ﹣4

B. 0

C.

D. 4

4. (5 分)若 A.

,则 sin θ +cos θ 的值为() B. C. D. 1

4

4

5. (5 分)若向量 , 的夹角为 A. B.

,且| |=2,| |=1,则 与 +2 的夹角为() C. D.

6. (5 分)一条直线上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的 位置关系是() A. l∥α B. l⊥α C. l 与 α 相交但不垂直 D. l∥α 或 l? α 7. (5 分)定义为 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x+2)=1,f(1)=3,f(2)=2,则 f=() A. 3 B. C. D. 2

8. (5 分)设△ABC 的三个内角为 A,B,C,则“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

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9. (5 分)若 x,y 满足不等式

,则 2x+y 的最小值为()

A. ﹣4

B. 3

C. 4

D. 0

10. (5 分)已知函数 y=

的图象如图所示(其中 f′(x)是定义域为 R 函数 f(x)

的导函数) ,则以下说法错误的是()

A. f′(1)=f′(﹣1)=0 B. 当 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极大值 C. 方程 xf′(x)=0 与 f(x)=0 均有三个实数根 D. 当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值

11. (5 分)将函数 y=3sin(2x+ A. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递减

)的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数()

B. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增

12. (5 分)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()

A. 7

B. 9

C. 10

D. 11

二、填空题( (每小题 5 分,共 20 分) ) 13. (5 分)经过(2,3)且在两坐标轴上截距相反的直线方程是. 14. (5 分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大 值,则 d 的取值范围为. 15. (5 分)下列命题中: 2 2 ①命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的否命题为“若 x ﹣3x+2=0,则 x≠1”;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ②命题“若方程 x ﹣mx+1=0 有解,则 m>4”的逆命题为真命题; ③对命题 p 和 q,“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的必要不充分条件. 假命题的序号为. 16. (5 分)已知 f(x)=2x +lnx﹣ax,若对? x1,x2∈(0,1) ,且 x1≠x2,都有(x1﹣x2)> 0 为真命题,则实数 a 的取值范围.
2 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (1)若△ABC 的面积等于 (2)若 cosA= ,求 b. ,求 a,b; .

18. (12 分)年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄人有 350 人,他们 的健康状况如下表: 健康指数 2 1 0 ﹣1 60 岁至 79 岁的人数 120 133 34 13 80 岁及以上的人数 9 18 14 9 其中健康指数的含义是:2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康,但生活能 够自理”,﹣1 代表“生活不能自理”. (Ⅰ)随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理的概率是多少? (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机 地访问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率. 19. (7 分)已知直线 l:y=kx+1,圆 C: (x﹣1) +(y+1) =12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长.
2 2

20. (7 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an,Sn)在直线 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

上.

(Ⅱ)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,求数列 前 n 项和 Tn.
2



21. (12 分)已知函数 f(x)=6lnx+x ﹣8x,



(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若在区间上至少存在一点 x0,使 f(x0)>g(x0)成立,求实数 p 的取值范围.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 四、选修题:请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作 答时请写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,延长 AD 与 CE 的延长线交于点 B,且 AD=DE, AB=2AC. (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

选修 4-5:不等式选讲 23. (10 分)选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣m|+|x+6|(m∈R) (Ⅰ)当 m=5 时,求不等式 f(x)≤12 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

河南省郑州市盛同学校 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)集合 M={1,2},N={3,4,5},P={x|x=a+b,a∈M,b∈N},则集合 P 的元素个数 为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 根据集合元素之间的关系,分别讨论 a,b 的取值即可得到结论. 解答: 解:∵M={1,2},N={3,4,5},a∈M,b∈N ∴a=1 或 2,b=3 或 4 或 5, 当 a=1 时,x=a+b=4 或 5 或 6, 当 a=2 时,x=a+b=5 或 6 或 7, 即 P={4,5,6,7}, 故选:B. 点评: 本题主要考查集合元素个数的判断,比较基础.

2. (5 分)已知 A. 1+2i

=1﹣ni,其中 m,n∈R,i 为虚数 单位,则 m+ni=() B. 2+i C. 1﹣2i D. 2﹣i

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用复数相等的条件求得 m,n 的值, 则答案可求. 解答: 解:∵ = =1﹣ni,



,解得



∴m+ni=2+i. 故选:B. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,是基础题.

3. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x﹣y 的最小值为()

A. ﹣4

B. 0

C.

D. 4

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,结合数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=3x﹣y 得 y=3x﹣z, 平移直线 y=3x﹣z 由图象可知当直线 y=3x﹣z 经过点 A 时,直线 y=3x﹣z 的截距最大, 此时 z 最小. 由 ,解得 ,

即 A(1,3) , 此时 z=3﹣3=0, 故选:B.

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点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关 键. ,则 sin θ +cos θ 的值为() B. C. D. 1
4 4

4. (5 分)若 A.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: 已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简,求出 cos θ 与 sin θ 的值,代入原式计 算即可得到结果. 解答: 解:∵cos2θ =2cos θ ﹣1=1﹣2sin θ = , ∴cos θ = ,sin θ = , 则原式= + = . 故选:C. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
2 2 2 2

5. (5 分)若向量 , 的夹角为 A. B.

,且| |=2,| |=1,则 与 +2 的夹角为() C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出. 解答: 解:∵向量 , 的夹角为 ∴ = = ,且| |=2,| |=1, =1.

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2



=

=2 +2×1=6, = = .



=

=

=



∴ 与 +2 的夹角为



故选:A. 点评: 本题考查了数量积运算性质、向量的夹角公式,属于基础题. 6. (5 分)一条直线上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,那么直线 l 与平面 α 的 位置关系是() A. l∥α B. l⊥α C. l 与 α 相交但不垂直 D. l∥α 或 l? α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用直线与平面的位置关系求解. 解答: 解:l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等; l? α 时,直线 l 上所有点与 α 距离都是 0; l⊥α 时,直线 l 上只能有两点到 α 距离相等; l 与 α 斜交时,也只能有两点到 α 距离相等. ∴一条直线上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等, 那么直线 l 与平面 α 的位置关系是 l∥α 或 l? α . 故选:D. 点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断,是基础题,解题时要注意空间思维能力的 培养. 7. (5 分)定义为 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x+2)=1,f(1)=3,f(2)=2,则 f=() A. 3 B. C. D. 2

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)?f(x+2)=1,可得函数 f(x)是周 期为 4 的周期函数,根据 f=f(2)得到答案. 解答: 解:若 f(x)?f(x+2)=1, 则 f(x+4)=f(x) 即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数, f(1)=3,f(2)=2, 又 2014÷4=503?2 ∴f=f(2)=2,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是函数的周期性,函数的值,其中分析出函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,是解答本题的关键. 8. (5 分)设△ABC 的三个内角为 A,B,C,则“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 本题考查充分条件必要条件的判断,由“sinA>sinB”成立能推出“cosA<cosB” 成立,反之由“cosA<cosB”能推出“sinA>sinB”成立,利用充要条件的定义得到答案. 解答: 解:由“sinA>sinB”成立, 若 A 是钝角,在△ABC 中,显然有 0<B<A<π ,可得,“cosB>cosA” 若 A 不是钝角,显然有 0<B<A< ,此时也有 cosB>cosA

综上,“sinA>sinB”推出“cosA<cosB”成立 反之,在△ABC 中,“cosA<cosB”成立, 由余弦函数在(0,π )是减函数,故有 A>B, 若 A 不是钝角,显然有“sinA>sinB”成立, 若 A 是钝角,因为 A+B<π ,故有 B<π ﹣A< ,故有 sinB<sin(π ﹣A)=sinA

综上,“cosA<cosB”可以推出“sinA>sinB” 故,“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的充要条件 故选 C 点评: 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,解题的关键是掌握充要条件的判 断方法,利用两边互推的方法,然后利用充要条件的有关定义进行判断即可.属于中档题.

9. (5 分)若 x,y 满足不等式

,则 2x+y 的最小值为()

A. ﹣4

B. 3

C. 4

D. 0

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

设 z=2x+y,化为 y=﹣2x+z,由图可知, 当直线过 A(﹣1,﹣2)时,z 有最小值,等于 2×(﹣1)﹣2=﹣4.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:A.

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

10. (5 分)已知函数 y=

的图象如图所示(其中 f′(x)是定义域为 R 函数 f(x)

的导函数) ,则以下说法错误的是()

A. f′(1)=f′(﹣1)=0 B. 当 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极大值 C. 方程 xf′(x)=0 与 f(x)=0 均有三个实数根 D. 当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值 考点: 专题: 分析: 解答: 利用导数研究函数的单调性;函数的图象;导数的运算. 导数的综合应用. 根据函数单调性和导数之间的关系,分别进行判断即可. 解:A.由图象可知 x=1 或﹣1 时,f′(1)=f′(﹣1)=0 成立. <0,此时 f′(x)>0,当﹣1<x<0 时, >0,此时

B.当 x<﹣1 时,

f′(x)<0,故当 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极大值,成立. C.方程 xf′(x)=0 等价为 D.当 0<x<1 时, ,故 xf′(x)=0 有两个,故 C 错误. <0,此时 f′(x)<0,当 x>1 时, >0,此时 f′

(x)>0,故当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值,成立.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:C 点评: 本题主要考查导数的应用,利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.

11. (5 分)将函数 y=3sin(2x+ A. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递减

)的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数()

B. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递增

考点: 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数 的单调性的求法求出函数的增区间,取 k=0 即可得到函数在区间上单调递增,则答案可求. 解答: 解:把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度,

得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin. 即 y=3sin(2x﹣ 当函数递增时, 由 取 k=0,得 . ) . , 得 .

∴所得图象对应的函数在区间上单调递增. 故选:B. 点评: 本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满 足“同增异减”原则,是中档题. 12. (5 分)阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()

A. 7

B. 9

C. 10

D. 11

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +?+lg 的值, 根据条件确定跳出循环的 i 值. 的值,

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=0+lg +lg +lg +?+lg ∵S=lg +lg +?+lg =lg >﹣1,而 S=lg +lg +?+lg ∴跳出循环的 i 值为 9,∴输出 i=9. =lg <﹣1,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:B. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键. 二、填空题( (每小题 5 分,共 20 分) ) 13. (5 分)经过(2,3)且在两坐标轴上截距相反的直线方程是 y= 或 x﹣y+1=0.

考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 通过对截距分类讨论,利用直线的截距式即可得出. 解答: 解:当直线经过原点时满足题意,此时直线方程为 .

当直线不经过原点时,设直线方程为 x﹣y=a,把点(2,3)代入可得 2﹣3=a, 化为 x﹣y+1=0. 综上可得:满足题意的直线方程为:y= 故答案为:y= 或 x﹣y+1=0. 或 x﹣y+1=0.

点评: 本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法,属于基础题. 14. (5 分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大 值,则 d 的取值范围为(﹣1,﹣ ) .

考点: 等差数列的性质. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据题意当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,得到 S7<S8,S9<S8,联立得不等式方程组, 求解得 d 的取值范围. 解答: 解:∵Sn =7n+ ,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,



,即

,解得:



综上:d 的取值范围为(﹣1,﹣ ) . 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式,解不等式方程组,属于中档题. 15. (5 分)下列命题中: 2 2 ①命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的否命题为“若 x ﹣3x+2=0,则 x≠1”; 2 ②命题“若方程 x ﹣mx+1=0 有解,则 m>4”的逆命题为真命题; ③对命题 p 和 q,“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的必要不充分条件. 假命题的序号为①. 考点: 命题的真假判断与应用.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 简易逻辑. 2 2 分析: 直接写出原命题的否命题判断①;由 m>4 时方程 x ﹣mx+1=0 的判别式为 m ﹣4>0, 方程有解判断②; 由复合命题的真值表判断③. 2 2 解答: 解: 对于①, 命题“若 x ﹣3x+2=0, 则 x=1”的否命题为“若 x ﹣3x+2≠0, 则 x≠1”, 命题①为假命题; 2 2 对于②,命题“若方程 x ﹣mx+1=0 有解,则 m>4”的逆命题为“若 m>4,则方程 x ﹣mx+1=0 有解” 2 2 ∵m>4 时方程 x ﹣mx+1=0 的判别式为 m ﹣4>0,方程有解, ∴命题②为真命题; ③对命题 p 和 q,若 p 且 q 为假,则 p,q 中至少一个为假,p 或 q 不一定为假,若 p 或 q 为 假,则 p,q 均为假, ∴“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的必要不充分条件,命题③为真命题. 故答案为:①. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了命题真假的判断方法,是基础题. 16. (5 分)已知 f(x)=2x +lnx﹣ax,若对? x1,x2∈(0,1) ,且 x1≠x2,都有(x1﹣x2)> 0 为真命题,则实数 a 的取值范围 a≤4. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由条件推出函数为增函数,先求出导函数,然后将函数 f(x)是单调递增函数,转 化成 f′(x)≥0 在(0,1)上恒成立,将 a 分离出来,利用基本不等式求出另一侧的最值, 即可求出所求. 解答: 解:∵f(x)满足对? x1,x2∈(0,1) ,且 x1≠x2,都有(x1﹣x2)>0 为真命题, 则数 f(x)是单调递增函数, 2 ∵f(x)=2x +lnx﹣ax, ∴f′(x)=4x﹣a+ ∵函数 f(x)是单调递增函数, ∴f′(x)=4x﹣a+ ≥0 在(0,1)上恒成立 即 a≤4x+ 在(0,+∞)上恒成立 而 x∈(0,+∞)时 4x+ ≥2 =4
2

∴a≤4, 故答案为:a≤4. 点评: 本题主要考查函数单调性的应用和判断,根据函数导数和单调性之间的关系转化为 函数恒成立即可得到结论. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= .

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)若△ABC 的面积等于 (2)若 cosA= ,求 b. ,求 a,b;

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1) 由三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积, 将 sinC 的值代入求出 ab 的值, 再由余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变形后,将 ab 的值代入即可求出 a+b 的值,由 此求得 a、b 的值. (2)由 cosA= 由 = ,求得 sinA= ,求得 b 的值. = ,∴ab=4①.
2 2

,由正弦定理求得 a 的值.再求得 sinB=sin(A+C) 的值,

解答: 解: (1)∵S△ABC= absinC=
2 2 2 2 2

由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab=(a+b) ﹣3ab,即 4=(a+b) ﹣12,则 a+b=4 ②. 由①②求得 a=b=2. (2)∵cosA= ,∴sinA= ,由正弦定理可得 = ,即 = ,求得 a= .

又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 故由 = ,即 = ,求得 b=

+

= .



点评: 此题考查了正弦定理、余弦定理的应用,三角形的面积公式,以及完全平方公式的 运用,属于基础题. 18. (12 分)年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄人有 350 人,他们 的健康状况如下表: 健康指数 2 1 0 ﹣1 60 岁至 79 岁的人数 120 133 34 13 80 岁及以上的人数 9 18 14 9 其中健康指数的含义是:2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康,但生活能 够自理”,﹣1 代表“生活不能自理”. (Ⅰ)随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理的概率是多少? (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并随机 地访问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据 80 岁以下老龄人的人数,即可估计该地区 80 岁以下老龄人生活能够自 理的概率.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)由分层抽样方法可得被抽取的 5 位老龄人中有 4 位健康指数大于 0,有 1 位健康指数不 大于 0,设被抽取的 4 位健康指数大于 0 的老龄人为 1,2,3,4,健康指数不大于 0 的老龄人 为 B;列举从这五人中抽取 3 人的结果,由古典概型公式计算可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)该小区 80 岁以下老龄人生活能够自理的频率为 所以该小区 80 岁以下老龄人生活能够自理的概率约为 . ,

(Ⅱ)该小区健康指数大于 0 的老龄人共有 280 人, 健康指数不大于 0 的老龄人共有 70 人, 由分层抽样可知, 被抽取的 5 位老龄人中有 4 位健康指数大于 0,有 1 位健康指数不大于 0. 设被抽取的 4 位健康指数大于 0 的老龄人为 1,2,3,4, 健康指数不大于 0 的老龄人为 B. 从这五人中抽取 3 人,结果有 10 种: (1,2,3) , (1,2,4) , (1,2,B) , (1,3,4) , (1,3,B) , (1,4,B) , (2,3,4) , (2, 3,B) , (2,4,B) , (3,4,B, ) , 其中恰有一位老龄人健康指数不大于 0 的有 6 种: (1,2,B) , (1,3,B) , (1,4,B) , (2,3,B) , (2,4,B) , (3,4,B, ) , ∴被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的概率为 .

点评: 本题考查概率的计算,考查学生利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力, 属于中档题. 19. (7 分)已知直线 l:y=kx+1,圆 C: (x﹣1) +(y+1) =12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)联立直线 l 与圆 C 方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,根据根的判别式 恒大于 0,得到不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2) 设直线与圆相交于 A (x1, y1) , B (x2, y2) , 表示出直线 l 被圆 C 截得的弦长, 设 t= 讨论出 t 的最大值,即可确定出弦长的最小值. 解答: 解: (1)由 7=0, 2 2 ∵△=(2﹣4k) +28k +28>0, ∴不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)设直线与圆相交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|= |x1﹣x2|=2 =2 , ,消去 y 得到(k +1)x ﹣(2﹣4k)x﹣
2 2 2 2



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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令 t= ,则有 tk ﹣4k+(t﹣3)=0,
2

当 t=0 时,k=﹣ ; 当 t≠0 时,由 k∈R,得到△=16﹣4t(t﹣3)≥0, 解得:﹣1≤t≤4,且 t≠0, 则 t= 的最大值为 4,此时|AB|最小值为 2 ,

则直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 . 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:直线与圆的交点,两点间的距离 公式,根的判别式,以及一元二次方程的性质,是一道综合性较强的试题.

20. (7 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an,Sn)在直线 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

上.

(Ⅱ)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,求数列 前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的函数特性. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题设知, ﹣1,得



﹣1(n∈N ,n≥2) ,两式相减可

*

得数列递推式,由此可判断数列{an}为等比数列,从而可得其通项公式; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 an+1,an,根据等差数列的通项公式可得 dn,从而可得 , 得 Tn; 解答: 解: (Ⅰ)由题设知, 两式相减得: 又 S1= 得 a1=2, ﹣1,得
*

,令

,利用错位相减法即可求

﹣1(n∈N ,n≥2) ,

*

,即 an=3an﹣1(n∈N ,n≥2) ,

所以数列{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列, 所以 ; , , ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 因为 an+1=an+(n+1)dn,所以 所以 = ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 令 则 , ①, ②, ①﹣②得 ﹣

=

=







点评: 本题考查数列的函数特性、由数列递推式求通项公式、等差数列及错位相减法求数 列的前 n 项和,考查学生综合运用知识解决问题的能力,综合性较强,能力要求较高.
2

21. (12 分)已知函数 f(x)=6lnx+x ﹣8x,



(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若在区间上至少存在一点 x0,使 f(x0)>g(x0)成立,求实数 p 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;一元二次不等式与 一元二次方程. 专题: 综合题. 分析: (1)由 (x)的单调递增区间. (2)令 ,则 ,能求出函数 f

.令﹣8x +6x+p=0,知△=36+32p.由此进行分类讨论能 求出实数 p 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ ∴x∈(1,3)时,f'(x)<0, ∴f(x)在单调递减, x∈(0,1)或 x∈(3,+∞)时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,1]和 △≤0,此时 h'(x)≤0, ∴h(x)在单调递减, (3 分)

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴h(x)max=h(1)=﹣8﹣p>0, ∴p<﹣8(9 分) (ii)当 方程(1)有两根 ①若 ,即 p≥8e ﹣6e 时,
2

时, . (10 分)

当 x∈,h'(x)≥0,此时 h(x)在上单调递增. ∴ ②若 即 , 时, ,得 p<6e﹣8e ,此时无解. (11 分)
2

当 x∈,h'(n)<0, ∴h(x)在单调递减. ∴h(x)max=h(1)=﹣8﹣p>0, ∴p<﹣8 此时无解. (12 分) ③当 2<p<8e ﹣6e 时, ∴
2

, 单调递增, h(x)单调递减,

∴ ,此时无解(13 分)

综上知 p<﹣8 时存在 x0 使 f(x0)>g(x0) . (14 分) 点评: 本题考查用导数求函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归 与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,易出错.是 2015 届高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答. 四、选修题:请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作 答时请写清题号.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,四边形 ACED 是圆内接四边形,延长 AD 与 CE 的延长线交于点 B,且 AD=DE, AB=2AC. (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

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考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (I) 根据圆内接四边形的性质证出∠BDE=∠BCA 且∠DBE=∠CBA, 可得△BDE∽△BCA, 从而得到 AB:AC=BE:DE,结合 AB=2AC、AD=DE 可得 BE=2AD; (II)根据切割线定理得 BD?BA=BE?BC,即(AB﹣AD)?BA=2AD?BC,代入数据得到关于 AD 的 方程,解之可得 AD= . 解答: 解: (Ⅰ)∵四边形 ACED 为圆内接四边形,∴∠BDE=∠BCA, 又∵∠DBE=∠CBA,∴△BDE∽△BCA,则 .

∵AB=2AC, ∴BE=2DE,结合 AD=DE,可得 BE=2AD. (II)根据题意,AB=2AC=4, 由切割线定理得 BD?BA=BE?BC,即(AB﹣AD)?BA=2AD?4, 可得(4﹣AD)?4=2AD?4,解得 AD= . 点评: 本题给出圆的内接四边形 ABCD,在已知线段的长度关系情况下,求线段 AD 的长.着 重考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质、割线定理等知识,属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲 23. (10 分)选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣m|+|x+6|(m∈R) (Ⅰ)当 m=5 时,求不等式 f(x)≤12 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≥7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)当 m=5 时,f(x)≤12,即|x﹣5|+|x+6|≤12.由绝对值的意义可得 、﹣

对应点到 5 和﹣6 对应点的距离之和正好等于 12,从而求得不等式 f(x)≤12 的解集. (Ⅱ)由绝对值不等式的性质求得 f(x)的最小值为|m+6|,由题意得|m+6|≥7,由此求得 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=5 时,f(x)≤12,即|x﹣5|+|x+6|≤12. 由于|x﹣5|+|x+6|表示数轴上的 x 对应点到 5 和﹣6 对应点的距离之和,而 到 5 和﹣6 对应点的距离之和正好等于 12, 故不等式 f(x)≤12 的解集为 . 、﹣ 对应点

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)f(x)=|x﹣m|+|x+6|≥|(x﹣m)﹣(x+6)|=|m+6|,由题意得|m+6|≥7, 故有 m+6≥7,或 m+6≤﹣7,解得 m≥1 或 m≤﹣13,故 m 的取值范(﹣∞,﹣13]∪[1,+∞) . 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了等价转化的数学思想, 属于中档题.

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